求積領域

ポテンシャル理論と呼ばれる数学の分野では、 2次元実ユークリッド空間の求積法領域は、領域 D (開連結集合) と D の有限部分集合 { z ₁ , …, z _k } であり、面積測度に関して D 上で調和かつ積分可能なすべての関数 u に対して、この測度に関するuの積分が「求積法公式」によって与えられる。つまり、

${\displaystyle \iint _{D}u\,dxdy=\sum _{j=1}^{k}c_{j}u(z_{j}),}$

ここで、c _{j は}uに依存しない非ゼロの複素定数です。

最も明白な例は、D が円板である場合です。ここで、k  = 1、z ₁は円の中心、c _{1 は} D の面積に等しくなります。この求積法の公式は、円板に関する調和関数の 平均値特性を表します。

求積領域はkのすべての値に対して存在することが知られています。次元 d が 2 より大きいユークリッド空間にも、求積領域の類似の定義があります。また、求積領域の別の静電的解釈もあります。領域 D が求積領域であるのは、 D 上の電荷の均一な分布が、点z ₁、…、  z _kにおける点電荷のk組と同じ静電場を D の外部に生成する場合です。

求積領域とその多数の一般化（例えば、D の境界上で面積測度を長さ測度に置き換える）は、近年、ニュートンの重力の逆問題、粘性流体のヘレ・ショー流れ、純粋に数学的な等周問題などのさまざまな関係で遭遇しており、それらに対する関心は着実に高まっているようです。それらは 2003 年にカリフォルニア大学サンタバーバラ校で開催された国際会議の主題であり、その時点での最新技術は、ビルクハウザー出版から出版されたその会議の議事録で見ることができます。

• エベンフェルト、ピーター (2005)。求積領域とその応用: ハロルド S. シャピロ記念巻。ビルクハウザー。ISBN 3-7643-7145-5. 2007年4月11日閲覧。
• Aharonov, Dov; Shapiro, Harold S. (1976). 「解析関数が求積恒等式を満たす領域」. Journal d'Analyse Mathématique . 30 : 39–73. doi :10.1007/BF02786704. S2CID  121520007.