ペロン法

調和関数の数学的研究において、ペロン法は分数調和関数法としても知られ、ラプラス方程式のディリクレ問題を解くためにオスカー・ペロンが導入した手法です。ペロン法は、境界値が目的の値より低い最大の分数調和関数を見つけることで機能します。問題が解ける場合、「ペロン解」はディリクレ問題の実際の解と一致します。

ディリクレ問題は、連続関数によって境界条件が与えられた領域内の調和関数を見つけることです。ペロン解は、関数族上の点ごとの最大値を取ることによって定義されます。 ${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle S_{\varphi}}$

${\displaystyle u(x)=\sup _{v\in S_{\varphi }}v(x)}$

ここで、は、領域の境界上に あるすべてのサブハーモニック関数の集合です。${\displaystyle S_{\varphi}}$${\displaystyle v(x)\leq \varphi (x)}$

ペロン解u(x) は常に調和的です。しかし、境界上でとる値は、望ましい境界値 と同じではない可能性があります。境界の点yがバリア条件を満たすのは、領域全体で定義された超調和関数 が存在し、すべての に対してかつとなる場合です。バリア条件を満たす点は、ラプラシアンの境界の正規点と呼ばれます。これらは、まさに望ましい境界値 が得られることが保証されている点です。 ${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle w_{y}(x)}$${\displaystyle w_{y}(y)=0}$${\displaystyle w_{y}(x)>0}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle x\rightarrow y,u(x)\rightarrow \varphi (y)}$

曲面上の正則点の特徴付けはポテンシャル理論の一部である。領域の境界上の正則点とは、ウィーナー基準を満たす点である。任意の に対して、 を集合の容量とすると、 が正則点となるのは、次の場合のみである。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \lambda \in (0,1)}$${\displaystyle C_{j}}$${\displaystyle B_{\lambda^{j}}(x_{0})\cap \Omega^{c}}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }C_{j}/\lambda ^{j(n-2)}}$

発散します。

ウィーナー基準は、ノルベルト・ウィーナーによって最初に考案され、ヴェルナー・ピュシェルによって滑らかな係数を持つ一様楕円発散形式方程式に拡張され、その後、ウォルター・リットマン、グイド・スタンパッキア、ハンス・ワインバーガーによって有界測定可能係数を持つ一様楕円発散形式方程式に拡張されました。

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