関数解析の用語集

これは関数解析という数学の分野における用語集です。

この記事全体を通じて、特に明記しない限り、ベクトル空間の基底体は実数体または複素数体です。代数は単位体であるとは想定されていません。

参照:バナッハ空間の一覧、実解析と複素解析の用語集。

*

合致的バナッハ代数間の*-準同型は、* を保存する代数準同型です。

アーベル

「可換」と同義です。たとえば、アーベルバナッハ代数は可換バナッハ代数を意味します。

アンダーソン・ケーデック

アンダーソン・ケーデックの定理によれば、可分な無限次元フレシェ空間は に同型です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

アログル

アローグルの定理は、ノルム空間内の閉じた単位球が弱*位相においてコンパクトであることを述べています。

副次的

ヒルベルト空間間の有界線型作用素の随伴作用素は、各 に対して となる有界線型作用素です。${\displaystyle T:H_{1}\to H_{2}}$${\displaystyle T^{*}:H_{2}\to H_{1}}$${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle }$${\displaystyle x\in H_{1},y\in H_{2}}$

おおよその同一性

必ずしも単位的ではないバナッハ代数では、近似的な恒等式は代数内の各xに対してとなる要素のシーケンスまたはネットです。${\displaystyle \{u_{i}\}}$${\displaystyle u_{i}x\to x,xu_{i}\to x}$${\displaystyle i\to \infty }$

近似特性

すべてのコンパクト演算子が有限ランク演算子の極限である場合、バナッハ空間は近似特性を持つと言われます。

ベール

ベールのカテゴリ定理は、完全な距離空間はベール空間であることを述べています。 が開稠密な部分集合の列である場合、 は稠密です。${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle \cap _{1}^{\infty }U_{i}}$

バナッハ

1.バナッハ空間は、距離空間として完全なノルムベクトル空間です。

2.バナッハ代数は、次のよう な非単位結合代数の構造を持つバナッハ空間である。

${\displaystyle \|xy\|\leq \|x\|\|y\|}$代数中のあらゆる に対して。${\displaystyle x,y}$

3.バナッハ円板は、バナッハ空間内の単位球の連続した線形像です。

バランスのとれた

実数または複素数上のベクトル空間の部分集合Sは、長さが最大で 1 であるすべてのスカラーに対してバランスが取れている。${\displaystyle \lambda S\subset S}$${\displaystyle \lambda}$

バレル

1.位相ベクトル空間内の樽は、閉じており、凸状で、バランスが取れており、吸収性のあるサブセットです。

2. 位相ベクトル空間がバレル型であるとは、すべてのバレルがゼロの近傍である（つまり、ゼロの開いた近傍を含む）場合です。

ベッセル

ベッセルの不等式は、正規直交集合Sとヒルベルト空間の ベクトルxが与えられたとき、

${\displaystyle \sum _{u\in S}|\langle x,u\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}}$, ^[1]

ここで、等式はSが正規直交基底、つまり最大正規直交集合で ある場合にのみ成立します。

バイポーラ

双極定理。

境界のある

有界演算子は、単位球の像が有界であるバナッハ空間間の線形演算子です。

生まれつき

ボルノロジー空間。

バーコフ直交性

ノルム線形空間内の2 つのベクトル xとy は、すべてのスカラー λに対してバーコフ直交であると言われます。ノルム線形空間がヒルベルト空間である場合、それは通常の直交性と同等です。${\displaystyle \|x+\lambda y\|\geq \|x\|}$

ボレル

ボレル関数計算

ｃ

c スペース。

カルキン

ヒルベルト空間上のカルキン代数は、ヒルベルト空間上のすべての有界作用素の代数をコンパクト作用素によって生成されるイデアルで割った商です。

コーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式は、内積空間内の ベクトルの各ペアに対して、${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|}$。

閉鎖

1.閉グラフ定理は、バナッハ空間間の線型演算子が連続（有界）であるためには、それが閉グラフを持つ必要があることを述べています。

2.閉じた演算子は、グラフが閉じている線形演算子です。

3.閉範囲定理は、密に定義された閉演算子が閉像（範囲）を持つのは、その転置が閉像を持つ場合のみであると述べています。

可換

1. 「中心化子」の別名。つまり、代数の部分集合Sの可換子は、 Sの各元と可換な元の代数であり、 と表記されます。${\displaystyle S'}$

2.フォン・ノイマンの二重可換定理は、ヒルベルト空間上の作用素の非退化 *-代数がフォン・ノイマン代数であるための必要条件であり、その場合のみであることを述べています。${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}''={\mathfrak {M}}}$

コンパクト

コンパクト演算子は、単位球の像がプレコンパクトであるバナッハ空間間の線形演算子です。

コヌ

コヌの融合。

C*

C * 代数は、を満たす反転バナッハ代数です。${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}$

凸状の

局所凸空間は、その位相が凸部分集合によって生成される位相ベクトル空間です。

周期的な

バナッハ代数の表現が与えられた場合、巡回ベクトルはにおいて稠密であるようなベクトルです。${\displaystyle (\pi,V)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \pi (A)v}$${\displaystyle V}$

膨張

膨張（作用素理論）。

直接

哲学的には、直積分は直和の連続的な類似物です。

ダグラス

ダグラスの補題

ダンフォード

ダンフォード・シュワルツの定理

デュアル

1.位相ベクトル空間の連続双対は、その空間上のすべての連続線形関数のベクトル空間です。

2.位相ベクトル空間の代数的双対は、基礎となるベクトル空間の双対ベクトル空間です。

エイデルハイト

アイデルハイトの定理。

要素

因子は、中心が自明なフォン・ノイマン代数です。

忠実な

代数上の線形関数は、代数内の各非ゼロ要素に対して である場合に忠実です。${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega (x^{*}x)\neq 0}$${\displaystyle x}$

フレシェ

フレシェ空間は、その位相が半ノルムの可算な族によって与えられ（これにより距離空間となる）、距離空間として完全な位相ベクトル空間です。

フレドホルム

フレドホルム演算子は、範囲が閉じており、演算子と随伴演算子の核が有限次元であるような有界演算子です。

ゲルファンド

1.ゲルファンド・マズールの定理は、分周環であるバナッハ代数は複素数体であることを述べています。

2.スペクトルを持つ可換バナッハ代数のゲルファンド表現は代数準同型 であり、ここで は無限遠で消える連続関数の代数を表し、 によって与えられる。 が可換 C*-代数である場合、これは *-保存等長同型である。${\displaystyle A}$${\displaystyle \オメガ (A)}$${\displaystyle F:A\to C_{0}(\Omega (A))}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(x)(\omega )=\omega (x)}$${\displaystyle A}$

グロタンディーク

1.  グロタンディークの不等式。

2. グロタンディークの因数分解定理。

ハーン・バナッハ

ハーン・バナッハの定理は、複素ベクトル空間Vの部分空間上の線型関数が与えられたとき、 の絶対値がV上の半ノルムによって上方に制限される場合、それは半ノルムによって制限されるV上の線型関数に拡張される、ということを述べています。幾何学的には、これは超平面分離定理の一般化です。${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$

ハイネ

位相ベクトル空間は、すべての閉じた有界部分集合がコンパクトである場合に、ハイネ・ボレル特性を持つと言われます。リースの補題によれば、ハイネ・ボレル特性を持つバナッハ空間は有限次元でなければなりません。

ヒルベルト

1.ヒルベルト空間は距離空間として完全な内積空間です。

2.富田・竹崎理論では、（左または右）ヒルベルト代数は反転を持つ特定の代数です。

ヒルベルト・シュミット

1.ヒルベルト空間上の有界作用素のヒルベルト・シュミットノルムは、ヒルベルト空間の正規直交基底である。${\displaystyle T}$${\displaystyle \sum _{i}\|Te_{i}\|^{2}}$${\displaystyle \{e_{i}\}}$

2.ヒルベルト・シュミット演算子は有限のヒルベルト・シュミットノルムを持つ有界演算子です。

索引

1. フレドホルム演算子のインデックスは整数です。${\displaystyle T:H_{1}\to H_{2}}$${\displaystyle \operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T^{*}))-\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))}$

2.アティヤ・シンガー指数定理。

インデックスグループ

単位バナッハ代数の指数群は商群であり、ここではAの単位群と群の単位元成分です。${\displaystyle G(A)/G_{0}(A)}$${\displaystyle G(A)}$${\displaystyle G_{0}(A)}$

内積

1.実ベクトル空間または複素ベクトル空間上の内積は、各 に対して、(1) が線形であり、(2) が成り立つ関数である。ここで、バーは複素共役を意味する。${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {R} }$${\displaystyle v,w\in V}$${\displaystyle x\mapsto \langle x,v\rangle }$${\displaystyle \langle v,w\rangle ={\overline {\langle w,v\rangle }}}$

2.内積空間は内積を備えたベクトル空間です。

退化

1.バナッハ代数Aの反転は、共役線型であり、となる等長自己準同型である。${\displaystyle A\to A,\,x\mapsto x^{*}}$${\displaystyle (xy)^{*}=(yx)^{*}}$

2.反転バナッハ代数は反転を備えたバナッハ代数です。

等長法

ノルム付きベクトル空間間の線型等長写像は、ノルムを保存する線型写像です。

ケーテ

ケーテ数列空間。今のところは、https://mathoverflow.net/questions/361048/on-k%C3%B6the-sequence-spaces を参照してください。

クレイン・ミルマン

クライン＝ミルマン定理は、局所凸空間の空でないコンパクト凸部分集合には極値点が存在することを述べています。

クレイン・スムリアン

クライン・スムリアン定理

リニア

Linear Operators は、Dunford と Schwartz による 3 つの価値を持つ本です。

局所凸代数

局所凸代数とは、基礎となるベクトル空間が局所凸空間であり、その乗算が局所凸空間位相に関して連続である代数です。

マズール

マズール・ウラム定理。

モンテル

モンテルスペース。

非退化

各ベクトルに対して、となる要素が存在する場合、代数の表現は非退化であると言われます。${\displaystyle (\pi ,V)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \pi (a)v\neq 0}$

非可換

1. 非可換積分

2.  非可換トーラス

規範

1.ベクトル空間X上のノルムは、内の各スカラーおよびベクトルに対して、(1) 、(2) (三角不等式) 、(3)が成り立つ実数値関数であり、ただし等式は に対してのみ成り立つ。${\displaystyle \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \|ax\|=|a|\|x\|}$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$${\displaystyle \|x\|\geq 0}$${\displaystyle x=0}$

2.ノルムベクトル空間は、ノルムを備えた実ベクトル空間または複素ベクトル空間であり、距離関数を持つ距離空間です。${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

普通

演算子は、その演算子とその随伴演算子が可換である場合に正規演算子となります。

核

原子力発電所を参照してください。

1つ

単位バナッハ代数Aの1パラメータ群は、からAの単位群への連続群準同型です。${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

開ける

開写像定理は、バナッハ空間間の射影連続線型演算子が開写像であることを示します。

正規直交

1.ヒルベルト空間の部分集合Sは、集合内の各u、vに対して、 のとき、 = 0 であるとき、正規直交である。${\displaystyle \langle u,v\rangle }$${\displaystyle u\neq v}$${\displaystyle =1}$${\displaystyle u=v}$

2.正規直交基底は最大正規直交集合です (注意: 必ずしもベクトル空間基底であるとは限りません)。

直交する

1. ヒルベルト空間Hと閉部分空間Mが与えられたとき、Mの直交補空間は閉部分空間である。${\displaystyle M^{\bot }=\{x\in H|\langle x,y\rangle =0,y\in M\}}$

2. 上記の表記法では、Mへの直交射影は H上の（唯一の）有界作用素であり、${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{2}=P,P^{*}=P,\operatorname {im} (P)=M,\operatorname {ker} (P)=M^{\bot }.}$

パーセヴァル

パーセヴァルの恒等式によれば、ヒルベルト空間の正規直交基底Sが与えられると、 . ^[1]${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{u\in S}|\langle x,u\rangle |^{2}}$

ポジティブ

合致的バナッハ代数上の線型関数は、代数の各要素に対して である場合に正であると言われます。${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega (x^{*}x)\geq 0}$${\displaystyle x}$

先行する

先行。

投影

演算子T は、べき等である場合、つまり である場合、射影と呼ばれます。${\displaystyle T^{2}=T}$

準トレース

クアジトレース。

ラドン

ラドン測定を参照してください。

リース分解

リース分解。

リースの補題

リースの補題。

反射的な

反射空間は、ベクトル空間から 2 番目の (位相的な) 双対への自然な写像が同型であるような位相的なベクトル空間です。

解決者

単位バナッハ代数の元xの分解は、xのスペクトルの補集合です。${\displaystyle \mathbb {C} }$

リル・ナルゼフスキ

Ryll-Nardzewski 不動点定理。

シャウダー

シャウダー基底。

シャッテン

シャッテンクラス

選択

マイケル選択定理。

自己随伴

自己随伴演算子は、随伴がそれ自身である有界演算子です。

分離可能な

可分ヒルベルト空間は有限または可算な正規直交基底を許容するヒルベルト空間です。

スペクトラム

1. 単位バナッハ代数の元xのスペクトルは、逆変換不可能な複素数の集合です。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x-\lambda }$

2.可換バナッハ代数のスペクトルは、代数上のすべての指標（ への準同型）の集合です。${\displaystyle \mathbb {C} }$

スペクトル

1.単位バナッハ代数の元xのスペクトル半径は、sup がxのスペクトル上にある場合です。${\textstyle \sup _{\lambda }|\lambda |}$

2.スペクトル写像定理は、x が単位バナッハ代数の要素であり、f がxのスペクトルの近傍における正則関数である場合、 であり、ここで はコーシーの積分公式によって定義されたバナッハ代数の要素である、ということを述べています。${\displaystyle \sigma (x)}$${\displaystyle f(\sigma (x))=\sigma (f(x))}$${\displaystyle f(x)}$

州

状態はノルム 1 の正の線形関数です。

対称的な

プレヒルベルト空間上の線型作用素Tが対称的であるとは、${\displaystyle (Tx,y)=(x,Ty).}$

テンソル積

1.位相テンソル積を参照してください。バナッハ空間を含む位相ベクトル空間の正しいテンソル積を定義したり計算したりすることは、まだ未解決の問題であることに注意してください。

2.射影テンソル積。

位相的な

1.位相ベクトル空間とは、(1)位相がハウスドルフであり、(2)加算とスカラー乗算が連続であるような位相を備えたベクトル空間である。${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}$${\displaystyle (\lambda ,x)\mapsto \lambda x}$

2. 線型写像は、開写像である場合、位相準同型写像と呼ばれます。${\displaystyle f:E\to F}$${\displaystyle f:E\to \operatorname {im} (f)}$

3. シーケンスが位相的に正確であるとは、それが基になるベクトル空間上の正確なシーケンスであり、さらにそれぞれが位相的な準同型である場合に言います。${\displaystyle \cdots \to E_{n-1}\to E_{n}\to E_{n+1}\to \cdots }$${\displaystyle E_{n}\to E_{n+1}}$

極弱

超弱トポロジー。

無制限演算子

非有界演算子は、通常は密な部分空間上で定義される、部分的に定義された線形演算子です。

一様有界性原理

一様有界性原理は、バナッハ空間間の演算子の集合が与えられたとき、その集合上で が成り立つ場合、バナッハ空間の各xに対して、 となることを述べています。${\textstyle \sup _{T}|Tx|<\infty }$${\textstyle \sup _{T}\|T\|<\infty }$

単一

1.ヒルベルト空間間のユニタリ作用素は、その逆が作用素の随伴となるような可逆な有界線型作用素である。

2.ヒルベルト空間上の反転バナッハ代数Aの 2 つの表現は、 A内の各xに対してとなるユニタリ演算子が存在する場合に、ユニタリ同値であると言われます。${\displaystyle (\pi _{1},H_{1}),(\pi _{2},H_{2})}$${\displaystyle H_{1},H_{2}}$${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$${\displaystyle \pi _{2}(x)U=U\pi _{1}(x)}$

フォン・ノイマン

1.フォン・ノイマン代数。

2.  フォン・ノイマンの定理。

3.  フォン・ノイマンの不等式。

W*

AW*-代数は、ヒルベルト空間上の忠実な表現を許容し、その表現の像がフォン・ノイマン代数となる C*-代数です。

• ブルバキ、エスパス・ベクトル・トポロジーク
• コネス、アラン（1994）、非可換幾何学、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミックプレス、ISBN 978-0-12-185860-5
• コンウェイ、ジョン B. (1990)。関数解析コース。数学大学院テキスト。第96巻 (第 2 版)。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• ダンフォード、ネルソン、シュワルツ、ジェイコブ T. (1988)。線形演算子。純粋数学と応用数学。第 1 巻。ニューヨーク: Wiley - Interscience。ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC  18412261.
• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I、Springer、2001、1979年初版の第2刷。
• 吉田耕作（1980）『関数解析』（第6版）、シュプリンガー

• Antony Wassermann の講義ノートは http://iml.univ-mrs.fr/~wasserm/ にあります。
• ジェイコブ・ルリーのフォン・ノイマン代数に関する講義ノート https://www.math.ias.edu/~lurie/261y.html
• https://mathoverflow.net/questions/408415/takesaki-theorem-2-6