クアジトレース

数学、特に関数解析において、準トレースはC*-代数上の必ずしも加法的なトレース関数ではない。加法的な準トレースはトレースと呼ばれる。すべての準トレースがトレースであるかどうかは、大きな未解決問題である。

C*-代数A上の準トレースは次のような写像である: ${\displaystyle \tau \colon A_{+}\to [0,\infty ]}$

• ${\displaystyle \tau}$均質である：

${\displaystyle \tau (\lambda a)=\lambda \tau (a)}$すべてのおよびに対して。${\displaystyle a\in A_{+}}$${\displaystyle \lambda \in [0,\infty )}$

• ${\displaystyle \tau}$は伝統的です:

${\displaystyle \tau (xx^{*})=\tau (x^{*}x)}$すべての について。${\displaystyle x\in A}$

• ${\displaystyle \tau}$通勤要素に加算されます :

${\displaystyle \tau (a+b)=\tau (a)+\tau (b)}$を満たすものすべてについて。 ${\displaystyle a,b\in A_{+}}$${\displaystyle ab=ba}$

• そして、各誘導写像${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \tau _{n}\colon M_{n}(A)_{+}\to [0,\infty ],(a_{j,k})_{j,k=1,...,n}\mapsto \tau (a_{11})+...\tau (a_{nn})}$

同じ特性を持っています。

準トレースとは、 ${\displaystyle \tau}$

• 有界の場合

${\displaystyle \sup\{\tau (a):a\in A_{+},\|a\|\leq 1\}}\infty .}$

• 正規化した場合

${\displaystyle \sup\{\tau (a):a\in A_{+},\|a\|\leq 1\}=1.}$

• 下半連続の場合

${\displaystyle \{a\in A_{+}:\tau (a)\leq t\}}$はそれぞれ休業となります。${\displaystyle t\in [0,\infty )}$

• 1-準トレースは、可換な要素上では同次、トレース、加法であるが、A上の行列代数上のそのようなマップに必ずしも拡張されるわけではないマップです。 1-準トレースが行列代数 に拡張される場合、それはn-準トレースと呼ばれます。 2-準トレースではない 1-準トレースの例があります。任意の 2-準トレースは、任意の に対して自動的に n-準トレースであることが示されます。文献では、準トレースは1-準トレースを意味し、2-準トレースは準トレースを意味することがあります。${\displaystyle A_{+}\to [0,\infty ]}$${\displaystyle M_{n}(A)}$${\displaystyle n\geq 1}$

• すべての要素に加算される準トレースはトレースと呼ばれます。

• Uffe Haagerupは、単位的かつ正確なC*-代数上のすべての準トレースは加法的であり、したがってトレースであることを示した。Haagerupの論文^[1]は1991年に手書きのメモとして配布され、2014年まで未発表のままだった。BlanchardとKirchbergはHaagerupの結果から単位性の仮定を削除した。^[2]今日（2020年8月）現在、すべての準トレースが加法的であるかどうかは未解決の問題のままである。

• ヨアヒム・クンツは、単純で単位な C* 代数が安定的に有限なのは、次元関数を許容する場合に限ることを示しました。単純で単位な C* 代数が安定的に有限なのは、正規化された準トレースを許容する場合に限ることです。重要な結論は、単純で単位な、安定的に有限な、正確な C* 代数はすべてトレース状態を許容するということです。

• フォン・ノイマン代数上のすべての準トレースはトレースです。

• Blanchard, Etienne; Kirchberg, Eberhard (2004 年 2 月). 「単純でない純粋無限 C∗ 代数: ハウスドルフの場合」(PDF) . Journal of Functional Analysis . 207 (2): 461–513. doi :10.1016/j.jfa.2003.06.008.
• ハーゲルップ、ウッフェ (2014)。 「正確な C* 代数上の準トレースはトレースである」。CR数学。アカド議員。科学。カナダ。36：67-92。