解決セット

線型代数学と作用素理論において、線型作用素のレゾルベント集合は、その作用素が何らかの意味で「行儀良く」動作する複素数の集合である。レゾルベント集合はレゾルベント形式論において重要な役割を果たしている。

X をバナッハ空間とし、 を定義域を持つ線型作用素とする。 id をX上の恒等作用素とする。任意の に対して、 ${\displaystyle L\colon D(L)\rightarrow X}$ ${\displaystyle D(L)\subseteq X}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle L_{\lambda }=L-\lambda \,\mathrm {id} .}$

次の 3 つの条件が満たされる場合、 複素数は正規の値であると言われます。${\displaystyle \lambda}$

1. ${\displaystyle L_{\lambda}}$は単射である、つまり、 のその像への共制限は、逆変換と呼ばれるものを持つ。^[1]${\displaystyle L_{\lambda}}$ ${\displaystyle R(\lambda ,L)=(L-\lambda \,\mathrm {id} )^{-1}}$
2. ${\displaystyle R(\lambda,L)}$は有界線形演算子です。
3. ${\displaystyle R(\lambda,L)}$はXの稠密な 部分空間上で定義され、つまり稠密な値域を持ちます。${\displaystyle L_{\lambda}}$

Lの解決集合は、 Lのすべての正規値の集合です。

${\displaystyle \rho (L)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \lambda {\mbox{ は }}L\} の通常の値です。}$

スペクトルはレゾルベントセットの 補集合である

${\displaystyle \sigma (L)=\mathbb {C} \setminus \rho (L),}$

そして、点スペクトル（条件 1 が失敗した場合）、連続スペクトル（条件 2 が失敗した場合）、および残差スペクトル（条件 3 が失敗した場合）への相互に特異なスペクトル分解の対象となります。

が閉じた演算子である場合、各 も閉じた演算子であり、条件 3 は が全射であることを要求することに置き換えることができます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{\lambda}}$${\displaystyle L_{\lambda}}$

• 有界線型作用素Lの分解集合は開集合である。${\displaystyle \rho (L)\subseteq \mathbb {C} }$
• より一般的には、密に定義された閉じた非有界演算子の解決集合は開集合です。

• リード、M.; サイモン、B. (1980)。現代数理物理学の方法: 第1巻: 関数解析。アカデミック プレス。ISBN 978-0-12-585050-6。
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004).偏微分方程式入門. 応用数学テキスト 13 (第 2 版). ニューヨーク: Springer-Verlag. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0。 MR 2028503（セクション8.3を参照）

• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994]、「Resolvent set」、Encyclopedia of Mathematics、EMS Press

• 解決形式主義
• スペクトル（機能解析）
• スペクトルの分解（関数解析）