閉範囲定理

バナッハ空間の数学的理論において、閉範囲定理は、密に定義された閉じた演算子が閉範囲を持つための必要十分条件を与えます。

この定理は、Stefan Banachによって1932 年の Théorie des operations linéairesで証明されました。

およびをバナッハ空間、つまり に稠密な定義域を持つ閉線型作用素、およびの転置とします。定理は、以下の条件が同値であることを主張します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:D(T)\to Y}$${\displaystyle D(T)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle R(T),}$の範囲は閉じている${\displaystyle T,}$${\displaystyle Y.}$
• ${\displaystyle R(T'),}$の範囲は、の双対で閉じている${\displaystyle T',}$${\displaystyle X',}$${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle R(T)=N(T')^{\perp }=\left\{y\in Y:\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{すべて}}\quad x^{*}\in N(T')\right\}.}$
• ${\displaystyle R(T')=N(T)^{\perp }=\left\{x^{*}\in X':\langle x^{*},y\rangle =0\quad {\text{すべて}}\quad y\in N(T)\right\}.}$

ここで、 および はそれぞれ、およびのヌル空間です。 ${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle N(T')}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T'}$

常に包含 が存在することに注意してください。なぜなら、および であれば となるからです。同様に、包含 も存在します。したがって、上記の定理の重要な部分は、最後の 2 つの箇条書きにおける反対の包含です。 ${\displaystyle R(T)\subseteq N(T')^{\perp}}$${\displaystyle y=Tx}$${\displaystyle x^{*}\in N(T')}$${\displaystyle \langle x^{*},y\rangle =\langle T'x^{*},x\rangle =0}$${\displaystyle R(T')\subseteq N(T)^{\perp}}$

この定理からは、いくつかの系がすぐに導かれます。たとえば、上記のように稠密に定義された閉じた演算子は、転置が連続的な逆を持つ場合のみ、を持ちます。同様に、が連続的な逆を持つ 場合のみ、 を持ちます。${\displaystyle T}$${\displaystyle R(T)=Y}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle R(T')=X'}$${\displaystyle T}$

Tのグラフは閉じているので、証明は がバナッハ空間間の有界作用素である場合に帰着する。ここで はとして因数分解される。双対的には ${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X{\overset {p}{\to }}X/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{\to }}\operatorname {im} T{\overset {i}{ \hookrightarrow }}Y}$${\displaystyle T'}$

${\displaystyle Y'\to (\operatorname {im} T)'{\overset {T_{0}'}{\to }}(X/\operatorname {ker} T)'\to X'.}$

ここで、が閉じている場合、それはバナッハであり、開写像定理により、は位相同型です。したがって、 は同型であり、 となります。(他の意味についてはさらに研究が必要です。)${\displaystyle \operatorname {im} T}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{0}'}$${\displaystyle \operatorname {im} (T')=\operatorname {ker} (T)^{\bot }}$${\displaystyle \square}$

• ステファン・バナハ（1932年）。 Théorie des Opérations Linéaires [線形演算の理論] (PDF)。 Monografie Matematyczne (フランス語)。 Vol. 1. ワルシャワ: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej。Zbl  0005.20901。2014 年 1 月 11 日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2020年7月11日に取得。
• Yosida, K. (1980)、『Functional Analysis』、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Fundamental Principles of Mathematical Sciences)、vol. 123 (第 6 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。