非可換トーラス

数学、より具体的にはC*-代数の理論において、非可換トーラスA _{θは、 θ の}無理数に対する無理回転代数としても知られ、 2-トーラス上の連続関数の代数を一般化する非可換C*-代数の族を形成します。古典的な 2-トーラスの多くの位相的および幾何学的性質は、非可換トーラスの代数的類似物を持ち、それ自体アラン・コンヌの意味での非可換空間の基本的な例です。

任意の無理実数θに対して、非可換トーラスは の C* 部分代数であり、単位円上の二乗可積分関数の有界線型作用素の代数であり、次のように定義される2 つのユニタリ作用素によって生成される。${\displaystyle A_{\theta}}$${\displaystyle B(L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} ))}$ ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle U,V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)(z)&=zf(z)\\V(f)(z)&=f(ze^{-2\pi i\theta }).\end{aligned}}}$

簡単に計算すると、VU = e ^{−2π i θ} UVとなる。^[1]

• 普遍的性質: A _{θ は}、関係VU  = e ^{2π i θ} UVを満たす2 つのユニタリ元UとVによって生成される普遍 C* 代数として (同型を除いて) 定義できます。^{[1]この定義は、} θが有理数の場合にも拡張されます。特に、 θ  = 0 の場合、A _{θ は}ゲルファント変換によって2 次元トーラス上の連続関数と同型です。
• 無理回転代数:無限巡回群Z が円S ¹に角度 2 π iθの回転作用を及ぼすとする。これにより、連続関数代数C ( S ¹ )上の自己同型によるZの作用が誘導される。結果として得られる C*交差積C ( S ¹ ) ⋊ Z はA _θと同型である。生成ユニタリーは、群Zの生成元と円z  : S ¹ → C上の恒等関数である。^[1]
• ツイスト群代数:関数 σ : Z ² × Z ² → C ; σ(( m , n ), ( p , q )) = e ^{2π inpθ は}Z ²上の群2コサイクルであり、対応するツイスト群代数C* ( Z ² ;  σ ) はA _θと同型です。

• あらゆる無理数回転代数Aθ_は単純である、つまり、それ自体以外の適切な閉じた両側イデアルを含まない。^[1]${\displaystyle \{0\}}$
• あらゆる無理数回転代数は固有の軌跡状態を持つ。^[1]
• 無理回転代数は核です。

A _θのK理論は偶数次元と奇数次元の両方でZ ²であるため、無理回転代数を区別しません。しかし、順序付き群としては、K ₀ ≃ Z + θ Zです。したがって、2 つの非可換トーラスA _θとA _{η が}同型であるためには、 θ  +  ηまたはθ  −  ηのいずれかが整数である必要があります。^{[1] [2]}

2つの無理回転代数AθとAη_が強く森田同値となるのは、θとηが分数線型変換によってSL(2, Z )のRへの作用の同じ軌道上にある _場合に限られる。特に、θが有理数の非可換トーラスは古典的なトーラスと森田同値である。一方、θが無理数の非可換トーラスは単純なC*代数である。^[2]