インデックスグループ

数学の一分野である作用素論では、あらゆるバナッハ代数は、その抽象指数群と呼ばれる群に関連付けることができます。

A をバナッハ代数とし、G をAの可逆な元の群とする。集合Gは開集合であり、位相群である。単位元成分を考える。

G ₀、

または言い換えれば、Aの単位元 1 を含む連結成分、G _{0 は}Gの正規部分群である。商群

ΛA = G / G _0​

はAの抽象インデックス群です。開集合の成分であるG _0はGにおいて開集合かつ閉集合であるため、インデックス群は離散群です。

L ( H ) をヒルベルト空間上の有界作用素のバナッハ代数とする。L ( H )の可逆元の集合はパス連結である。したがって、Λ L _{( H )は}自明群である。

T を複素平面上の単位円とする。Tから複素数への連続関数の成す代数C ( T )は、一様収束の位相を持つバナッハ代数である。C ( T ) 内の関数は、 T のどの元もゼロに写さないとき、可逆である（可逆関数であるという意味ではなく、点ごとの乗法逆を持つという意味） 。群G _0は、 G内の恒等関数1に同型な、 G内の元から構成される。関数 f _n ( z ) = z ^{n を、}写像T → Tの異なるホモトピー類の G 内の代表として選択することができる。したがって、インデックス群 Λ _{C ( T )}は、そのメンバーの巻数によってインデックス付けされたホモトピー類の集合である。したがって、 Λ _{C (} T _{) は、} Tの基本群と同型である。これは可算な離散群である。

カルキン代数 Kは、コンパクト演算子に関するL ( H )の商C* 代数です。 π を商写像とします。アトキンソンの定理により、 Kの可逆な要素はπ( T )の形式をとります。ここで、 T はフレドホルム演算子です。 指数群 Λ _Kは、再び可算な離散群です。 実際、 Λ _{K は}、フレドホルム指数を介して、整数の加法群Zと同型です。 言い換えると、フレドホルム演算子の場合、指数の 2 つの概念は一致します。

• 朱可河 (1993)。作用素代数入門、CRC Press、ボカラトン、ルイジアナ州、OCLC  27680761