マイケル選択定理

数学の一分野である関数解析において、マイケル選択定理はアーネスト・マイケルにちなんで名付けられた選択定理である。最も一般的な形式では、次のことを述べている。^[1]

逆に、位相空間Xからバナッハ空間への、空でない凸閉値を持つ任意の下側半連続多重写像が連続選択を許容する場合、Xはパラコンパクトです。これは、パラコンパクト性の別の特徴付けを提供します。

関数: は、右の図の灰色の領域で示され、実数区間 [0,1] からそれ自身への集合値関数です。これはすべてのマイケルの条件を満たし、実際に連続選択を持ちます。たとえば、またはです。${\displaystyle F(x)=[1-x/2,~1-x/4]}$${\displaystyle f(x)=1-x/2}$${\displaystyle f(x)=1-3x/8}$

機能

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}3/4&0\leq x<0.5\\\left[0,1\right]&x=0.5\\1/4&0.5<x\leq 1\end{cases}}}$

は実区間[0,1]からそれ自身への集合値関数である。これは空でない凸閉値を持つ。しかし、 0.5では下半連続ではない。実際、マイケルの定理は適用されず、関数は連続選択を持たない。0.5での選択は必ず不連続である。^[2]

マイケル選択定理を適用すれば、微分包含が

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}}$

F が下半連続で、F ( t ,  x ) がすべての ( t ,  x )に対して空でない閉凸集合である場合、 C ¹解が存在します。 Fが単値の場合、これは古典的なペアノの存在定理です。

ドイチュとケンデロフによる定理は、ミシェル選択定理を、近似選択をほぼ下半連続性に関連付ける同値に一般化します。ここで、がほぼ下半連続であるとは、各 において、のすべての近傍にの近傍が存在し、${\displaystyle F}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \cap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset .}$

正確には、ドイチェ・ケンデロフの定理は、 がパラコンパクト、ノルムベクトル空間であり、 が各 に対して非空凸である場合、 がほぼ下半連続であるためには が連続近似選択を持つ必要があること、つまりにおけるの各近傍に対してとなる連続関数が存在することを述べています。[ ^3]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\colon X\mapsto Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)\in F(X)+V}$

徐はノートの中で、 が局所凸位相ベクトル空間である場合にもドイチェ・ケンデロフの定理が成り立つことを証明した。^[4]${\displaystyle Y}$

• ゼロ次元マイケル選択定理
• 選択定理
• 最大値定理

• Repovš, Dušan ; Semenov, Pavel V. (2014)。「多値マッピングの連続選択」。Hart, KP; van Mill, J.; Simon, P. (編)。Recent Progress in General Topology。第 3 巻。ベルリン: Springer。pp. 711–749。arXiv : 1401.2257。Bibcode : 2014arXiv1401.2257R。ISBN 978-94-6239-023-2。
• オーバン、ジャンピエール。チェリーナ、アリゴ (1984)。差分包含、集合値マップおよび実行可能性理論。グランドル。数学。ウィス。 Vol. 264. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13105-1。
• オーバン、ジャンピエール。フランコウスカ、H. (1990)。設定値分析。バーゼル：ビルクホイザー。ISBN 3-7643-3478-9。
• クラウス・ダイムリング (1992)。多値の微分方程式。ウォルター・デ・グルイテル。ISBN 3-11-013212-5。
• Repovš, ドゥシャン;セミノフ、パベル V. (1998)。多値マッピングの連続選択。ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers。ISBN 0-7923-5277-7。
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• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007).無限次元解析: ヒッチハイク・ガイド(第 3 版). Springer. ISBN 978-3-540-32696-0。
• Hu, S.; Papageorgiou, N.多値分析ハンドブック。第 1 巻。Kluwer。ISBN 0-7923-4682-3。