ダグラスの補題

作用素論という数学の分野において、ダグラスの補題^{[ 1 ]}は、ヒルベルト空間作用素の因数分解、値域包含、および優位化の関係を示している。これは一般的にロナルド・G・ダグラスに帰せられているが、ダグラス自身も結果の一部は既に知られていた可能性があると認めている。結果の記述は以下のとおりである。

定理：もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$ヒルベルト空間上の有界作用素である${\displaystyle H}$以下は同等です。

1. ${\displaystyle \operatorname {range} A\subseteq \operatorname {range} B}$
2. $\displaystyle AA^{*}\leq \lambda ^{2}BB^{*}}$一部の人にとって${\displaystyle \lambda \geq 0}$
3. 有界作用素が存在する${\displaystyle C}$の上${\displaystyle H}$そのため${\displaystyle A=BC}$。

さらに、これらの同等条件が満たされる場合、一意の演算子が存在する。${\displaystyle C}$そのため

• ${\displaystyle \Vert C\Vert ^{2}=\inf\{\mu$ :\,AA^{*}\leq \mu BB^{*}\}}
• ${\displaystyle \ker A=\ker C}$
• ${\displaystyle \operatorname {range} C\subseteq {\overline {\operatorname {range} B^{*}}}}$。

バナッハ空間上の非有界作用素に対するダグラスの補題の一般化は、Forough (2014) によって証明された。^{[ 2 ]}

• 正演算子