ガロア理論

数学において、エヴァリスト・ガロアによって最初に導入されたガロア理論は、体論と群論を結び付けます。この結び付き、つまりガロア理論の基本定理により、体論の特定の問題を群論に還元することが可能になり、問題がより単純化され、理解しやすくなります。

ガロアは多項式の根を研究する主題を導入した。これにより、根号で解ける多項式方程式を根号の置換群の特性の観点から特徴付けることができた。方程式は定義により根号で解けるとは、その根号が整数、 $n$ 乗根、および 4 つの基本的な算術演算のみを含む式で表せる場合である。これは、少なくとも 5 次以上の一般多項式は根号で解けないと主張するアベル・ルフィニの定理を広く一般化するものである。

ガロア理論は、古代の 2 つの問題 (立方体を 2 倍にすることと角度を 3 等分すること) が当初述べられたとおりには解決できないことを示すことや、作図可能な正多角形を特徴付けること(この特徴付けは以前にガウスによって与えられましたが、作図可能な多角形のリストが完全であるという証明はありませんでした。この特徴付けが完全であるという既知の証明はすべてガロア理論を必要とします) などの古典的な問題を解決するために使用されてきました。

ガロアの業績は彼の死後 14 年後にジョセフ・リウヴィルによって出版されました。この理論が数学者の間で人気を博し、十分に理解されるまでにはさらに長い時間がかかりました。

ガロア理論はガロア接続とグロタンディークのガロア理論に一般化されています。

古典的問題への応用

ガロア理論の誕生と発展は、19 世紀初頭まで未解決だった主要な数学の問題の 1 つであった次の疑問によって引き起こされました。

通常の代数演算 (加算、減算、乗算、除算) と根号 (平方根、立方根など) の適用のみを使用して、多項式の係数に関する 5 次 (またはそれ以上) の多項式方程式の根を求める公式は存在しますか?

アーベル・ルフィニの定理は、そのような公式が存在しない多項式方程式が存在することを証明する反例を提供します。ガロアの理論は、なぜ4次以下のすべての方程式を含むいくつかの方程式を上記の方法で解くことが可能であり、なぜ5次以上のほとんどの方程式では不可能であるかを説明することで、この質問に対するより完全な答えを提供します。さらに、特定の方程式が概念的に明確で、アルゴリズムとして簡単に表現できるかどうかを判断する手段を提供します。

ガロアの理論は、コンパスと定規による作図の問題に関する疑問にも明確な洞察を与えてくれます。この方法で作図できる長さの比を巧みに特徴づけています。これを使うと、次のような幾何学の古典的な問題に比較的簡単に答えることができます。

どの正多角形が作図可能か？^[1]
コンパスと定規を使ってすべての角度を三等分することができないのはなぜでしょうか？^[1]
同じ方法で立方体を2倍にすることができないのはなぜですか?

歴史

先史時代

ガロアの理論は対称関数の研究から生まれました。単項多項式の係数は（符号まで）根の基本対称多項式です。たとえば、 $(x - a)(x - b) = x 2 - (a + b) x + ab$ で、1、 $a + b$ 、 $ab$ はそれぞれ 2 変数の次数 0、1、2 の基本多項式です。

これは、16 世紀フランスの数学者フランソワ・ヴィエトによって、ヴィエトの公式の中で、正の実根の場合について初めて形式化されました。18 世紀イギリスの数学者チャールズ・ハットン^[2]の意見によれば、多項式の係数を根で表す (正の根に限らない) ことは、17 世紀フランスの数学者アルベール・ジラールによって初めて理解されました。ハットンは次のように書いています。

...[ジラールは]根とその積の和から累乗の係数を形成するという一般原則を理解した最初の人物でした。彼は、あらゆる方程式の根の累乗を合計する規則を発見した最初の人物でした。

この意味で、判別式は根の特性を反映する根の対称関数です。判別式は、多項式が多重根を持つ場合にのみ 0 になり、2 次および 3 次多項式の場合は、すべての根が実数で異なる場合にのみ正になり、異なる複素共役根のペアがある場合にのみ負になります。詳細については、「判別式: 根の性質」を参照してください。

三次方程式は、15世紀から16世紀にかけてのイタリアの数学者シピオーネ・デル・フェロによって初めて部分的に解かれたが、デル・フェロは結果を公表しなかった。この方法で解けるのは三次方程式の1種類だけだった。この解法は1535年にニッコロ・フォンターナ・タルタリアによって独立に再発見され、ジェロラモ・カルダーノに共有したが、公表しないよう頼んだ。カルダーノはその後、同様の議論を用いて、これを他の多くのケースに拡張した。詳細はカルダーノの方法を参照のこと。デル・フェロの研究の発見後、彼はタルタリアの方法がもはや秘密ではないと感じ、1545年の著書『アルス・マグナ』でその解法を発表した。^[3]彼の弟子のルドヴィコ・フェラーリは四次多項式を解き、その解法も『アルス・マグナ』に収録された。しかし、この本では、カルダノは三次方程式を解くための「一般的な公式」を提供していません。なぜなら、彼は複素数を利用できず、一般的な三次方程式を記述できる代数表記法も持っていなかったからです。現代の表記法と複素数のおかげで、この本の公式は一般的なケースでは機能しますが、カルダノはそれを知りませんでした。あらゆる形式の三次方程式を解くために複素数を扱う方法を理解したのは、ラファエル・ボンベリでした。

さらなる進歩は、フランス系イタリア人の数学者ジョゼフ・ルイ・ラグランジュによる1770年の論文「方程式の代数解法についての考察」で、ラグランジュの分解法において、彼はカルダノとフェラーリの3次方程式と4次方程式の解を根の順列の観点から考察して解析し、より低い次数の補助多項式を生成して解の統一的な理解をもたらし、群論とガロア理論の基礎を築いた。しかし、重要なのは、彼が順列の合成を考慮しなかったことである。ラグランジュの方法は、分解の次数が高いため、5次方程式以上には拡張されなかった。

1799年、パオロ・ルフィニは根号によって五次方程式に一般解が存在しないことをほぼ証明した。ルフィニの重要な洞察は、単一の順列ではなく順列群を使用することだった。ルフィニの解にはギャップがあり、コーシーはそれを重要でないと考えたが、ノルウェーの数学者ニールス・ヘンリク・アーベルが1824年に証明を発表してアーベル・ルフィニの定理を確立するまで修正されなかった。

ルフィニとアーベルは、一般の5次方程式は解けないことを証明しましたが、 $x$ $5$ $- 1 = 0などの$ 特定の5次方程式は解くことができ、与えられた5次以上の多項式が解けるかどうかを決定できる正確な基準は、エヴァリスト・ガロアによって与えられました。ガロアは、多項式が解けるかどうかは、その根の置換群（現代の言葉で言えば、そのガロア群）が特定の構造（現代の言葉で言えば、それが解ける群であるかどうか）を持っているかどうかと同義であることを示しました。この群は、次数4以下の多項式では常に解けますが、次数5以上の多項式では必ずしもそうではなく、これが、高次では一般解が存在しない理由を説明しています。

ガロアの著作

1830年、ガロワ（当時18歳）はパリ科学アカデミーに根号による可解性の理論に関する回想録を提出した。ガロワの論文は、あまりにも大まかすぎることと、方程式の係数ではなく根号で条件を与えていることを理由に、1831年に最終的に却下された。ガロワは1832年に決闘で亡くなり、彼の論文「根号による方程式の可解性の条件に関する回想録」は、1846年にジョセフ・リウヴィルが自身の説明を添えて出版するまで未発表のままだった。 ^[4]この出版に先立ち、リウヴィルは1843年7月4日のスピーチでアカデミーにガロワの結果を発表した。^[5]アラン・クラークによると、ガロワの描写は「アーベルとルフィニの研究を劇的に凌駕する」という。^[6]

余波

ガロアの理論は、同時代の人々にとって、特にそれを展開できるレベルまで理解するのが難しいことで有名だった。例えば、1846年の解説では、リウヴィルはガロアの方法の群論的な核心を完全に見逃していた。^{[7]リウヴィルの講演に何度か出席した} ジョセフ・アルフレッド・セレは、1866年（第3版）の教科書Cours d'algèbre supérieureにガロアの理論を含めた。セレの弟子カミーユ・ジョーダンは、1870年の著書Traité des replacements et des équations algébriquesに、ガロアの理論をさらに深く理解していたことが反映されている。フランス国外では、ガロアの理論はより長い間不明瞭なままだった。イギリスでは、ケーリーはその深さを理解できず、イギリスの一般的な代数学の教科書は、世紀の変わり目を過ぎてもガロアの理論にはまったく触れなかった。ドイツでは、クロネッカーの著作はアーベルの結果に重点を置いたものだった。デデキントはガロアの理論についてほとんど書いていないが、1858年にゲッティンゲンで講義し、非常に深い理解を示した。^{[8]ジョーダンの『} 理論』に基づいた1880年代のオイゲン・ネットの著書は、ハインリヒ・マルティン・ウェーバーの1895年の代数学の教科書と同様に、より広いドイツとアメリカの読者にガロア理論を理解しやすくした。 ^[9]

順列群アプローチ

多項式が与えられた場合、いくつかの根はさまざまな代数方程式によって結び付けられることがあります。たとえば、2つの根、たとえば $A$ と $B$ については、 $A 2 + 5 B 3 = 7$ となることがあります。ガロアの理論の中心的なアイデアは、根が満たされる代数方程式は根が入れ替えられた後も満たされるように、根の順列（または並べ替え）を考慮することです。もともと、この理論は係数が有理数である代数方程式のために開発されました。これは任意の体の係数を持つ方程式に自然に拡張されますが、これは以下の簡単な例では考慮されません。^[10]

これらの順列は、多項式のガロア群とも呼ばれる順列群を形成します。これは、次の例で明示的に説明されています。

二次方程式

二次方程式を考えてみましょう

x^{2}-4x+1=0.

二次方程式の公式を使うと、2つの根は次のようになる。

{\begin{aligned}A&=2+{\sqrt {3}},\\B&=2-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}

$A$ と $B$ が満たす代数方程式の例としては、

A+B=4,

そして

AB=1.

$最後の 2 つの方程式のいずれかでA$ と $B を$ 交換すると、別の正しいステートメントが得られます。たとえば、方程式 $A + B = 4は$ $B + A = 4$ になります。より一般的には、すべての係数が有理数である $A$ と $B$ の間のすべての可能な代数関係に対してこれが成り立つことが当てはまります。つまり、そのような関係では、 $A$ と $B を$ 交換すると別の正しい関係が生成されます。これは対称多項式の理論から得られますが、この場合、対称多項式は二項定理を含む数式操作に置き換えることができます。

$A$ と $B は$ 代数方程式 $A - B - 2 \sqrt 3 = 0で関係付けられているが、$ $A$ と $B$ を入れ替えるとこの関係は成り立たなくなる、と反論する人もいるかもしれない。しかし、この関係には有理数ではない係数 $-2 \sqrt 3$ があるため、ここではこの関係は考慮しない。

多項式 $x 2 - 4 x + 1のガロア群は、$ $A$ と $B を$ そのままにする恒等置換と、 $A$ と $B を$ 交換する転置置換の2つの置換から構成されると結論付けられます。2つの元を持つすべての群は同型であるため、このガロア群は乗法群 ${1, -1}$ と同型です。

同様の議論は、任意の二次多項式 $ax 2 + bx + c$ にも当てはまります。ここで、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ は有理数です。

多項式に有理根がある場合、たとえば $x 2 - 4 x + 4 = (x - 2) 2$ 、または $x 2 - 3 x + 2 = (x - 2)(x - 1)$ の場合、ガロア群は自明です。つまり、恒等置換のみが含まれます。この例では、 $A = 2$ および $B = 1$ の場合、 $A$ と $B$ を入れ替えると $A - B = 1$ は真ではなくなります。
2 つの無理根 (たとえば $x 2 - 2 )$ がある場合、ガロア群には上記の例のように 2 つの順列が含まれます。

四次方程式

多項式を考える

x^{4}-10x^{2}+1.

珍しい方法で平方完成すると、次のようにも書ける。

(x^{2}-1)^{2}-8x^{2}=(x^{2}-1-2x{\sqrt {2}})(x^{2}-1+2x{\sqrt {2}}).

二次方程式を各因数に適用すると、4つの根は

{\begin{aligned}A&={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\B&={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\\C&=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\D&=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}

これら 4 つの根の24 通りの可能な順列のうち、0、1、または 2 個の平方根の符号変更からなる 4 つは特に単純です。これらは、クラインの 4 元群と同型の群を形成します。

ガロア理論によれば、多項式は既約なので、ガロア群には少なくとも 4 つの元があります。ガロア群がこれらの 4 つの順列から構成されることを証明するには、ガロア群のすべての元が $A$ の像によって決定されることを示すだけで十分であり、これは次のように示されます。

ガロア群の要素は、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、および $D$ を含む有理係数を持つ任意の代数方程式を保存する必要があります。

これらの方程式の中には次のものがあります。

{\begin{aligned}AB&=-1\\AC&=1\\A+D&=0\end{aligned}}

したがって、 $φ が$ ガロア群に属する順列である場合、次の式が成り立つ。

{\begin{aligned}\varphi (B)&={\frac {-1}{\varphi (A)}},\\\varphi (C)&={\frac {1}{\varphi (A)}},\\\varphi (D)&=-\varphi (A).\end{aligned}}

$これは、順列がA$ の像によって適切に定義され、ガロア群に次の 4 つの元があることを意味します。

(A 、 B 、 C 、 D) \to (A 、 B 、 C 、 D)

(恒等式)

(A, B, C, D) \to (B, A, D, C)

(の符号の変化)

{\sqrt {3}}

(A, B, C, D) \to (C, D, A, B)

(の符号の変化)

{\sqrt {2}}

(A, B, C, D) \to (D, C, B, A)

(両方の平方根の符号の変更)

これは、ガロア群がクラインの4元群と同型であることを意味します。

場の理論による現代的なアプローチ

現代的なアプローチでは、体拡大 $L / K$ (「 $L$ 上の $K 」と読む) から始めて、$ $K を$ 固定する $L$ の自己同型群を調べます。詳細な説明と例については、ガロア群に関する記事を参照してください。

2 つのアプローチの関係は次のとおりです。問題の多項式の係数は、基本体 $K$ から選択する必要があります。トップ体 $L は、問題の多項式の根を基本体$ $K$ に接続することによって得られる体である必要があります。上記のように代数方程式を尊重する根の任意の置換により、 $L / K$ の自己同型が生じ、その逆も同様です。

上記の最初の例では、拡張 $Q (\sqrt 3)/ Q を$ 学習していました。ここで、 $Q は$ 有理数体、 $Q (\sqrt 3) は$ $\sqrt$ $3$ を付加することによって $Q$ から得られる体です。2 番目の例では、拡張 $Q$ $($ $A$ $、$ $B$ $、$ $C$ $、$ $D$ $)/$ $Q を$ 学習していました。

順列群アプローチに比べて、現代的なアプローチにはいくつかの利点があります。

これにより、ガロア理論の基本定理をはるかに簡単に述べることができます。
$Q$ 以外の基底体の使用は、数学の多くの分野で重要です。たとえば、代数的整数論では、数体、有限体、または局所体を基底体として使用してガロア理論を行うことがよくあります。
これにより、無限拡大をより簡単に研究できます。これも代数的整数論で重要であり、たとえば、 $K が$ $Q$ の代数的閉包であるときに $K$ $/$ $Q$ のガロア群として定義される $Q$ の絶対ガロア群についてよく議論されます。
これにより、分離不可能な拡張を考慮することができます。この問題は古典的な枠組みでは発生しません。なぜなら、算術は常に特性0 で行われると暗黙的に想定されていたからです。しかし、非ゼロ特性は数論や代数幾何学では頻繁に発生します。
これにより、多項式の根を追うという、かなり不自然な依存が排除されます。つまり、異なる多項式が同じ拡大体を生成する可能性があり、最新のアプローチでは、これらの多項式間の接続が認識されます。

解ける基とラジカルによる解

群論における可解群の概念により、ガロア群が可解性を持つかどうかによって、多項式が根号で解けるかどうかを決定できます。本質的には、各体拡大 $L$ $/$ $K は、$ ガロア群の合成級数の因数群に対応します。合成級数の因数群が $n$ 次巡回であり、対応する体拡大 $L$ $/$ $K$ で体 $K$ がすでに原始的な $n$ 乗根 1 を含んでいる場合、それは根号拡大であり、 $Lの要素は$ $Kの何らかの要素の$ $n$ 乗根を使用して表すことができます。

ガロア群を構成するすべての因子群が巡回的である場合、そのガロア群は可解であるとされ、対応する体のすべての元は、基本体 (通常は $Q$ )から元の根、積、和を繰り返し取ることによって見つけることができます。

ガロア理論の偉大な功績の 1 つは、任意の $n > 4$ に対して、根号で解けない $n$ 次多項式が存在するという証明 (これは数年前にニールス・ヘンリック・アーベルによって同様の方法を使用して独立に証明されており、アーベル・ルフィニの定理と呼ばれています) と、特定の多項式が根号で解けるかどうかをテストする体系的な方法でした。アーベル・ルフィニの定理は、 $n > 4$ に対して対称群 S $n に$ 単純で非巡回な正規部分群、つまり交代群 $A n が$ 含まれるという事実から生じます。

解けない五次方程式の例

Van der Waerden ^[11]は、多項式 $f (x) = x 5 - x - 1$ を引用しています。

有理根定理により、これには有理零点が存在しません。

また、2 または 3 を法とする線形因子もありません。

$2を法とする$ $f (x)$ のガロア群は6次の巡回群です。これは、 2を法とする $f (x)が2次と3次の多項式$ $(x2 + x +1)(x3 + x2 + 1)に因数$ 分解されるためです。

$f (x)$ を法として 3 には線形因子も二次因子もないので、既約ではありません。したがって、その法 3 のガロア群には 5 次元が含まれます。

素数を法とするガロア群は有理数上のガロア群の部分群と同型であることが知られている^{[12] 。6と5の位数の元を持つ5つのオブジェクト上の置換群は対称} $群$ $S5でなければならず、したがってそれは$ $f (x)$ のガロア群である。

これは解けない五次多項式の最も単純な例の一つである。セルジュ・ラングによれば、エミール・アルティンはこの例を好んでいたという。^[13]

逆ガロア問題

逆ガロア問題とは、与えられたガロア群を持つ体の拡大を見つけることです。

基底体も指定しない限り、問題は非常に難しくなく、すべての有限群はガロア群として現れます。これを示すには、次のように進めます。体 $K$ と有限群 $G を$ 選択します。ケーリーの定理によれば、 $G$ は (同型を除いて) $G$ の元上の対称群 $S$ の部分群です。 $G$ の元 $α$ ごとに 1 つずつ不定元 ${$ $x$ $α$ $}を選択し、$ $K$ に付加して体 $F$ $=$ $K$ $({$ $x$ $α$ $})$ を取得します。 $F$ $には、 {$ $x$ $α$ $}$ 内の対称有理関数の体 $L$ が含まれます。エミール・アルティンの基本結果により、 $F$ $/$ $L$ のガロア群は $S$ です。 $G は、$ $S$ の作用の制限によって $F$ に作用します。この作用の固定体が $M$ である場合、ガロア理論の基本定理により、 $F$ $/$ $M$ のガロア群は $G$ です。

一方、すべての有限群が有理数体Q の拡大体のガロア群であるかどうかは未解決の問題である。 $イゴール$ ・シャファレヴィッチは、すべての解ける有限群は $Q$ の何らかの拡大体のガロア群であることを証明した。さまざまな人々が、選択された非アーベル単純群の逆ガロア問題を解いてきた。26 個の散在単純群のうち、おそらく 1 つ (マシュー群 $M 23$ )を除くすべてについて、解の存在が示されている。ガロア群がモンスター群である整数係数の多項式さえ存在する。

分離不可能な拡張機能

ガロア理論の基本定理を特に含む上記の形式では、理論はガロア拡大のみを考慮しており、ガロア拡大は特に分離可能である。一般的な体拡大は、分離可能と、それに続く純粋に分離不可能な体拡大に分割できる。純粋に分離不可能な拡大F / Kに対して、ガロア群が微分、つまりライプニッツ則を満たすFのK線型自己準同型のベクトル空間に置き換えられたガロア理論が存在する。この対応では、中間体Eが割り当てられる。逆に、適切なさらなる条件を満たす部分空間がにマッピングされる。仮定の下で、Jacobson (1944) は、これが 1 対 1 対応を確立することを示した。Jacobson によって課された条件は、導来代数幾何学の概念を使用して対応を与えることで、Brantner & Waldron (2020) によって削除された。 $Der_{K}(F,F)$ $Der_{E}(F,F)\subset Der_{K}(F,F)$ $V\subset Der_{K}(F,F)$ $\{x\in F,f(x)=0\ \forall f\in V\}$ $F^{p}\subset K$

参照

ガロア群の例
ガロア理論の基本定理
微分方程式のガロア理論のための微分ガロア理論
ガロア理論の広範な一般化のためのグロタンディークのガロア理論
位相的ガロア理論
Artin-Schreier 理論、ガロア理論の下位分野

注記

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外部リンク

ウィクショナリーのガロア理論の辞書定義
ウィキメディア・コモンズのガロア理論に関連するメディア

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[10] 「ガロア理論に関する講義ノート」カリフォルニア大学デービス校https://www.math.ucdavis.edu/~egorskiy/MAT150C-s17/Galois.pdf

[11] van der Waerden、Modern Algebra (1949 英語版)、Vol. 1、セクション 61、p.191

[12] Prasolov, VV (2004). 「5 ガロア理論定理 5.4.5(a)」.多項式. 数学におけるアルゴリズムと計算. 第 11 巻. Springer. pp. 181–218. doi :10.1007/978-3-642-03980-5_5. ISBN 978-3-642-03979-9。

[13] ラング、セルジュ(1994)。代数的数論。数学大学院テキスト。第 110 巻。シュプリンガー。p. 121。ISBN 9780387942254。