オイラー標数

連結平面グラフのオイラー標数は、同じ方法で定義できる。${\displaystyle \ V-E+F\ }$多面体表面の場合と同様の式で、Fはグラフ内の面の数であり、外面も含む。

任意の平面連結グラフGのオイラー標数は 2 です。これは、木を基本ケースとして、Gによって決定される面の数に関する帰納法によって容易に証明できます。木の場合、${\displaystyle \ E=V-1\ }$そして${\displaystyle \ F=1~.}$G がC個の連結成分 (連結でないグラフ)を持つ場合、 Fに関する帰納法による同様の議論により、${\displaystyle \ V-E+FC=1~.}$コーシーの数少ないグラフ理論に関する論文の一つも、この結果を証明している。

立体射影によって平面は2次元球面に写像され、連結グラフは球面の多角形分割に写像される。この多角形分割のオイラー標数は 2である。この観点は、以下に示すコーシーによるオイラーの公式の証明に暗黙のうちに含まれている。

オイラーの公式には多くの証明が存在する。その一つは、1811年にコーシーによって以下のように示された。この公式は、任意の凸多面体に適用でき、より一般的には、境界が位相的に球と等価であり、面が位相的に円盤と等価である任意の多面体に適用できる。

多面体表面の1つの面を取り除きます。取り除いた面の辺を互いに引き離すことで、残りの面を点と曲線の平面グラフに変形します。このとき、取り除いた面の周囲は、得られたグラフの外側に配置されます。これは、立方体の特殊な場合の3つのグラフのうち最初のグラフで示されています。（多面体表面が最初に球面と同相であるという仮定が、これを可能にしています。）この変形後、正則面は一般に正則ではなくなります。頂点と辺の数は同じままですが、面の数は 1つ減ります。したがって、多面体に対するオイラーの公式を証明することは、次のことを証明することに帰着します。${\displaystyle \ V-E+F=1\ }$この変形した平面物体の場合。

If there is a face with more than three sides, draw a diagonal—that is, a curve through the face connecting two vertices that are not yet connected. Each new diagonal adds one edge and one face and does not change the number of vertices, so it does not change the quantity ${\displaystyle \ V-E+F~.}$ (The assumption that all faces are disks is needed here, to show via the Jordan curve theorem that this operation increases the number of faces by one.) Continue adding edges in this manner until all of the faces are triangular.

Apply repeatedly either of the following two transformations, maintaining the invariant that the exterior boundary is always a simple cycle:

1. Remove a triangle with only one edge adjacent to the exterior, as illustrated by the second graph. This decreases the number of edges and faces by one each and does not change the number of vertices, so it preserves ${\displaystyle \ V-E+F~.}$
2. Remove a triangle with two edges shared by the exterior of the network, as illustrated by the third graph. Each triangle removal removes a vertex, two edges and one face, so it preserves ${\displaystyle \ V-E+F~.}$

These transformations eventually reduce the planar graph to a single triangle. (Without the simple-cycle invariant, removing a triangle might disconnect the remaining triangles, invalidating the rest of the argument. A valid removal order is an elementary example of a shelling.)

At this point the lone triangle has ${\displaystyle \ V=3\ ,}$${\displaystyle \ E=3\ ,}$ and ${\displaystyle \ F=1\ ,}$ so that ${\displaystyle \ V-E+F=1~.}$ Since each of the two above transformation steps preserved this quantity, we have shown ${\displaystyle \ V-E+F=1\ }$ for the deformed, planar object thus demonstrating ${\displaystyle \ V-E+F=2\ }$ for the polyhedron. This proves the theorem.

For additional proofs, see Eppstein (2013).^[4] Multiple proofs, including their flaws and limitations, are used as examples in Proofs and Refutations by Lakatos (1976).^[5]

さらに一般的に、任意の位相空間に対して、 n番目のベッチ数b _nをn番目の特異ホモロジー群のランクとして定義できます。オイラー標数は、交代和として定義できます。

${\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\cdots .}$

この量は、ベッチ数がすべて有限であり、あるインデックスn ₀を超えるとゼロになる場合に適切に定義されます。単体複体の場合、これは前の段落の定義とは異なりますが、ホモロジー計算により、2 つの定義が同じ値を与えることがわかります。 ${\displaystyle \chi }$。

境界のない、向き付けられたコンパクトな滑らかな多様体の場合、${\displaystyle X}$定義する

${\displaystyle \chi (X)=I(\Delta ,\Delta )}$

対角線の自己指向交差の数${\displaystyle X}$、 ${\displaystyle \Delta }$、 内部${\displaystyle X\times X.}$

ホモロジーは位相不変量であり、さらにホモトピー不変量でもある。ホモトピー同値な2つの位相空間は同型なホモロジー群を持つ。したがって、オイラー標数もホモトピー不変量である。

例えば、可縮空間（つまり、1つのホモトピーが点と等価な空間）は自明なホモロジーを持ち、0番目のベッチ数は1で、他のベッチ数は0である。したがって、そのオイラー標数は1である。このケースにはユークリッド空間が含まれる。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$あらゆる次元の物体、およびあらゆるユークリッド空間における固体単位球（ 1次元の区間、2次元の円盤、3次元の球など）も含まれる。

別の例として、任意の凸多面体は3次元球と同相であるため、その表面は2次元球と同相（つまりホモトピー同値）であり、オイラー標数は 2です。これが、凸多面体の表面がオイラー標数2を持つ理由です。

MとNが任意の2つの位相空間である場合、それらの非交和のオイラー標数は、それらのオイラー標数の和に等しい。なぜなら、ホモロジーは非交和に関して加法的だからである。

${\displaystyle \chi (M\sqcup N)=\chi (M)+\chi (N).}$

より一般的に言えば、MとNがより大きな空間Xの部分空間である場合、それらの和集合と共通部分も同様である。場合によっては、オイラー標数は包含排除原理の一種に従う。

${\displaystyle \chi (M\cup N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (M\cap N)。}$

これは以下のケースに当てはまります。

• MとNが排他的ペアである場合。特に、和集合内のMとNの内部が依然として和集合を覆う場合。 ^{[ 6 ]}
• Xが局所的にコンパクトな空間であり、コンパクトな台を持つオイラー標数を用いる場合、MやNに関する仮定は不要である。
• Xがすべての層が偶数次元である層状空間である場合、 MとN が層の和集合であれば包含排除原理が成り立つ。これは特に、MとN が複素代数多様体の部分多様体である場合に当てはまる。^{[ 7 ]}

一般に、包含排除原理は誤りである。反例として、 X を実数直線、M を1 つの点からなる部分集合、NをMの補集合とすると、次のようになる。

Xが有限CW複体であり、Aが部分複体である場合、

${\displaystyle \chi (X)=\chi (A)+\chi (X/A)-1.}$

この式は、縮小オイラー標数、すなわち縮小ホモロジー群の階数の交代和に対して、より簡潔に記述することができる。

連結した2つの閉じたn次元多様体の場合${\displaystyle M,N}$新しい連結多様体を得ることができる${\displaystyle M\mathbin {\#} N}$連結和演算を介して。オイラー標数は式^{[ 8 ]で関連付けられる。}

${\displaystyle \chi (M\mathbin {\#} N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (S^{n})。}$

また、任意の積空間M × Nのオイラー標数は

$\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).$

これと商空間の公式を用いると、次の式が得られる。

$\displaystyle {\hat {\chi }}(M\wedge N)={\hat {\chi }}(M)\cdot {\hat {\chi }}(N),}$

どこ${\displaystyle {\hat {\chi }}}$は縮小オイラー標数であり、${\displaystyle M\wedge N}$はスマッシュ製品です。

これらの加算と乗算の性質は、集合の濃度にも当てはまります。このように、オイラー標数は濃度の一般化と見なすことができます。。

同様に、kシート被覆空間の場合${\displaystyle {\tilde {M}}\to M,}$1つは

$\displaystyle \chi (\tilde {M}})=k\cdot \chi (M).$

より一般的には、分岐した被覆空間の場合、被覆のオイラー標数は、分岐点に対する補正係数を用いて上記から計算でき、これによりリーマン・フルヴィッツの公式が得られます。

積の性質は、特定の条件を満たす繊維束に対して、より一般的に成り立つ。

もし${\displaystyle p\colon E\to B}$はファイバー F を持つファイブレーションであり、基底B はパス連結であり、ファイブレーションは体K 上で向き付け可能である。このとき、体Kの係数を持つオイラー標数は積の性質を満たす。^{[ 9 ]}

${\displaystyle \chi (E)=\chi (F)\cdot \chi (B).}$

これには、積空間や被覆空間が特殊な場合として含まれ、ファイブレーションのホモ​​ロジー上のセールスペクトル系列によって証明できる。

光ファイバー束の場合、これは伝送マップの観点からも理解できる。$\displaystyle \tau \colon H_{*}(B)\to H_{*}(E)$―これは持ち上げであり、「間違った方向」に進むことに注意してください―投影図との構成${\displaystyle p_{*}\colon H_{*}(E)\to H_{*}(B)}$これはファイバーのオイラークラスによる乗算です: ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle p_{*}\circ \tau =\chi (F)\cdot 1.}$$

オイラー標数は、表面の多角形化（つまり、CW複体としての記述）を見つけ、上記の定義を使用することで、一般的な表面に対して簡単に計算できます。

サッカーボールは、各頂点で3つの面が交わる正五角形と正六角形を縫い合わせて作るのが一般的です。正五角形と正六角形を使用する場合、${\displaystyle F=P+H\ }$ 顔、${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}\left(5P+6H\right)}$ 頂点、そして${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}\left(5P+6H\right)}$ エッジ。したがってオイラー標数は

${\displaystyle V-E+F={\tfrac {1}{3}}\left(5P+6H\right)-{\tfrac {1}{2}}\left(5P+6H\right)+P+H={\tfrac {1}{6}}P.}$

球面のオイラー標数は 2であるため、${\displaystyle P=12}$つまり、このように構築されたサッカーボールは常に12個の 五角形を持つ。六角形の数は1を除く任意の非負整数である。 ^{[ 11 ]}この結果はフラーレンとゴールドバーグ多面体 にも適用できる。 

具体的には、サッカーボールは一般的に12枚の五角形パネルと20枚の六角形パネルを組み合わせて作られます。その結果、切頂二十面体のような球状の形状になります。アディダスのテルスターはその一例です。

n次元球面は、以下の特異ホモロジー群を持つ。

${\displaystyle H_{k}(\mathrm {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&{\text{if }}k=0{\text{ or }}k=n,\\\{0\}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

 したがって、次元 0 とnではベッチ数は 1 であり、他のすべてのベッチ数は 0 です。そのオイラー標数はχ = 1 + (−1) ⁿです。 つまり、nが奇数 の場合は 0 、nが偶数の場合は 2 です。 

n次元実射影空間は、 n次元球面を対蹠写像で割った商空間である。したがって、そのオイラー標数は対応する球面のオイラー標数のちょうど半分、すなわち0または1となる。   

n次元トーラスはn個の円の積空間です 。積の性質により、そのオイラー標数は 0 です。より一般的には、任意のコンパクト平行化可能多様体(任意のコンパクトリー群を含む) は、オイラー標数が 0です。 ^{[ 12 ]}

任意の閉じた奇数次元多様体のオイラー標数も 0です。 ^{[ 13 ]}向き付け可能な例の場合については、ポアンカレ双対性の系となります。この性質は、すべての層が奇数次元である任意のコンパクトな層状空間に、より一般的に適用されます。また、2 対 1 の向き付け可能な二重被覆を介して、閉じた奇数次元の向き付け不可能な多様体にも適用されます。