スマッシュ製品

数学の一分野である位相幾何学において、2 つの尖った空間(つまり、区別された基点を持つ位相空間) ( X, x ₀ )と( Y , y ₀ )のスマッシュ積は、すべてのxがXに、すべてのy がYに含まれる場合の同一視( x , y ₀ ) ~ ( x ₀ , y )の下での積空間X × Y の商です。スマッシュ積自体は尖った空間であり、基点は( x ₀ , y ₀ )の同値類です。スマッシュ積は通常、X ∧ YまたはX ⨳ Yと表記されます。スマッシュ積は基点の選択によって異なります ( XとYの両方が同次でない限り)。

XとY は、 X × Y の内部にある部分空間 X × { y ₀ } と{ x ₀ } × Yとして考えることができます。これらの部分空間は、 X × Yの基点である( x ₀ , y ₀ )という1 つの点で交差します。したがって、これらの部分空間の和は、くさびの和と同一視できます。特に、X × Yの{ x ₀ } × Yは、 のYと同一視され、 X × { y ₀ } とXについても同様です。 では、部分空間XとY は、 1 つの点で交差します。したがって、スマッシュ積は商です。 ${\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim }}$${\displaystyle X\veeY}$${\displaystyle X\veeY}$${\displaystyle x_{0}\sim y_{0}}$

${\displaystyle X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y).}$

スマッシュ積は、代数的位相幾何学の一分野であるホモトピー理論に登場します。ホモトピー理論では、すべての位相空間のカテゴリとは異なる空間のカテゴリを扱うことがよくあります。これらのカテゴリのいくつかでは、スマッシュ積の定義を少し変更する必要があります。たとえば、定義で積位相ではなく CW 複体の積を使用する場合、2 つのCW 複体のスマッシュ積は CW 複体になります。他のカテゴリでも同様の修正が必要です。

• 任意の尖端空間Xと0 球面( 2 つの点を持つ離散空間) とのスマッシュ積は、Xに同相です。
• 2 つの円のスマッシュ積は、2 次元球面に同相なトーラスの商です。
• より一般的には、2つの球面S ^mとS ⁿのスマッシュ積は球面S ^{m + n}に同相です。
• 空間Xと円とのスマッシュ積は、 Xの縮小された懸垂に同相である。$${\displaystyle \Sigma X\cong X\wedge S^{1}.}$$
• Xのk倍反復縮小サスペンションは、Xとk球面のスマッシュ積に同相である。$${\displaystyle \Sigma ^{k}X\cong X\wedge S^{k}.}$$
• ドメイン理論では、2 つのドメインの積をとります (積がその引数に対して厳密になるようにします)。

適切な「便利な」カテゴリ（例えば、コンパクトに生成された空間）内の任意の尖った空間X、Y、Zに対して、自然な（基点を保存する）同相写像が存在する。

${\displaystyle {\begin{aligned}X\wedge Y&\cong Y\wedge X,\\(X\wedge Y)\wedge Z&\cong X\wedge (Y\wedge Z).\end{aligned}}}$

しかし、尖端空間の素朴カテゴリでは、反例によって示され、ディーター・プッペによって発見されたように、これは失敗します。^{[1]プッペの反例が実際に反例であることのキャスリーン・ルイスによる証明は、ヨハン・シグルズソンと}J・ピーター・メイの著書にあります。^[2]${\displaystyle X=Y=\mathbb {Q} }$${\displaystyle Z=\mathbb {N} }$

これらの同型により、尖った空間の適切なカテゴリは、スマッシュ積をモノイド積、尖った0 球面(2 点離散空間) を単位オブジェクトとする対称モノイド カテゴリになります。したがって、スマッシュ積は、尖った空間の適切なカテゴリにおける 一種のテンソル積と考えることができます。

随伴関手はテンソル積とスマッシュ積の類似性をより正確にする。可換環R上のR加群のカテゴリでは、テンソル関手は内部Hom 関手に左随伴するため、 ${\displaystyle (-\otimes _{R}A)}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,-)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\otimes A,Y)\cong \mathrm {Hom} (X,\mathrm {Hom} (A,Y)).}$

尖端空間のカテゴリでは、スマッシュ積はこの式におけるテンソル積の役割を果たす。 がコンパクトハウスドルフであれば、付加 ${\displaystyle A,X}$

${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (X\wedge A,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\mathrm {Maps_{*}} (A,Y))}$

ここで は基点から基点への連続写像を表し、 コンパクト開位相を運ぶ。^[3]${\displaystyle \operatorname {Maps_{*}} }$${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (A,Y)}$

特に、を単位円とすると、縮小されたサスペンション関数はループ空間関数の左随伴関数であることがわかります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (\Sigma X,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\Omega Y).}$

• ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0。