ティール係数

ティーレ係数は、 1939年にアーネスト・ティーレが論文「触媒活性と粒子サイズの関係」で開発しました。 ^[1]ティーレは、十分に大きい粒子は反応速度が非常に速いため、拡散力は生成物を触媒 粒子の表面からのみ運び去ることができると推論しました。したがって、触媒の表面のみが反応を経験することになります。

ティール係数は、物質移動の制限がない多孔質触媒ペレット内の拡散速度と反応速度の関係を説明するために開発されました。この値は、通常、ペレットの有効係数を測定するために使用されます。

ティーレ係数は文献によって異なる記号で表されますが、ヒル^[2]_ではhTと定義されています。

${\displaystyle h_{T}^{2}={\dfrac {\mbox{反応速度}}{\mbox{拡散速度}}}}$

ティーレ係数（ヒルによる）の導出は、触媒細孔の物質収支から始まります。定常状態における直線円筒細孔内の一次不可逆反応の場合：

${\displaystyle {\pi }r^{2}\left(-D_{c}{\frac {dC}{dx}}\right)_{x}={\pi }r^{2}\left(-D_{c}{\frac {dC}{dx}}\right)_{x+{\Delta }x}+\left(2{\pi }r{\Delta }x\right)\left(k_{1}C\right)}$

ここで は拡散定数、 は速度定数です。 ${\displaystyle D_{c}}$${\displaystyle k_{1}}$

次に、方程式を微分に変換して、 0 に近づくにつれて極限をとると、${\displaystyle {\Delta }x}$${\displaystyle {\Delta }x}$

${\displaystyle D_{c}\left({\frac {d^{2}C}{dx^{2}}}\right)={\frac {2k_{1}C}{r}}}$

この微分方程式には次の境界条件があります。

${\displaystyle C=C_{o}{\text{ }}x=0 において}$

そして

${\displaystyle {\frac {dC}{dx}}=0{\text{ at }}x=L}$

ここで、最初の境界条件は、細孔の一端の外部濃度が一定であることを示し、2 番目の境界条件は、細孔の他端からの 流れがないことを示します。

これらの境界条件を当てはめると、

${\displaystyle {\frac {d^{2}C}{d(x/L)^{2}}}=\left({\frac {2k_{1}L^{2}}{rD_{c}}}\right)C}$

右側の項に C を掛けたものは Thiele 係数の二乗を表し、これは物質収支から自然に上昇することがわかります。したがって、一次反応の Thiele 係数は次のようになります。

${\displaystyle h_{T}^{2}={\frac {2k_{1}L^{2}}{rD_{c}}}}$

この関係から、 の値が大きい場合、速度項が支配的となり反応が速くなり、一方で遅い拡散が全体の速度を制限することが明らかです。 ティーレ係数の値が小さいほど、拡散が速く、反応が遅いことを表します。 ${\displaystyle h_{T}}$

他の順序の反応も、上記と同様の方法で解くことができます。直線円筒形の細孔における不可逆反応の結果を以下に示します。

${\displaystyle h_{2}^{2}={\frac {2L^{2}k_{2}C_{o}}{rD_{c}}}}$

${\displaystyle h_{o}^{2}={\frac {2L^{2}k_{o}}{rD_{c}C_{o}}}}$

有効係数 η は、拡散反応速度とバルクストリーム内の反応速度を関連付けます。

スラブ形状における一次反応の場合、^{[1] [3]は}次のようになります。

${\displaystyle {\eta }={\frac {\tanh h_{T}}{h_{T}}}}$