流体の対流熱伝達率と伝導熱伝達率の比
熱流体力学 において 、 ヌッセルト数 （ Nu 、 ヴィルヘルム・ヌッセルト [1]にちなんで : 336 ）は、流体 の 境界における全 熱伝達 と 伝導 熱伝達 の比である 。全熱伝達は伝導と 対流を組み合わせたものである。対流には 移流 （流体の動き）と 拡散 （伝導）の両方が含まれる 。伝導成分は対流と同じ条件下で、仮想的に動かない流体に対して測定される。これは 無次元数 であり、流体の レイリー数 と密接に関連している。 [1] : 466
ヌッセルト数1は、純粋な伝導による熱伝達を表します。 [1] : 336 1から10の間の値は、 スラグ流 または 層流 の特性です。 [2] ヌッセルト数が大きいほど、対流が活発になり、 乱流は 通常100～1000の範囲になります。 [2]
同様の無次元特性に ビオ数 があり、これは 流体ではなく固体の 熱伝導率 に関係します。ヌッセルト数に相当する 質量移動は シャーウッド数 です。
意味 ヌッセルト数は、境界を越える全熱伝達（対流 + 伝導）と伝導熱伝達の比です。対流熱流と伝導熱流は 互いに 平行で、境界面の表面法線に対して平行であり、単純なケースではすべて 平均 流体の流れに対して 垂直 です。
いいえ あなた
ら
=
総熱伝達
伝導熱伝達
=
h
け
/
ら
=
h ら
け
{\displaystyle \mathrm {Nu} _{L}={\frac {\mbox{総熱伝達}}{\mbox{伝導熱伝達}}}={\frac {h}{k/L}}={\frac {hL}{k}}}
ここで、 h は 流れの 対流 熱伝達係数、 L は 特性長さ 、 k は 流体の
熱伝導率 です。
特性長さは境界層の成長方向（または厚さ）で選択する必要があります。特性長さの例としては、（外部）横流（シリンダー軸に垂直）内のシリンダーの外径、 自然対流 を受ける垂直プレートの長さ、球の直径などがあります。複雑な形状の場合、長さは流体の体積を表面積で割ったものとして定義できます。 流体の熱伝導率は、通常（常にではありませんが）、 膜温度 で評価されます。これは、エンジニアリングの目的で、バルク流体温度と壁面温度の平均 として 計算される場合があります。 平均ヌセルト数 として知られる上記の定義とは対照的に、局所ヌセルト数は表面境界 [1] [ ページ必要 ] から局所的な関心点まで
の距離を長さとして定義されます。
いいえ あなた
x
=
h
x
x
け
{\displaystyle \mathrm {Nu} _{x}={\frac {h_{x}x}{k}}}
平均 値 は 、 次のように関心のある範囲にわたって式を積分することによって得られます。 [3]
いいえ あなた
¯
=
1 ら
∫
0
ら
h
x
d x
ら
け
=
h ¯
ら
け
{\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}={\frac {{\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}h_{x}\ dx\ L}{k}}={\frac {{\overline {h}}L}{k}}}
コンテクスト 対流境界層を理解することは、表面とその表面を流れる流体との間の対流熱伝達を理解するために必要です。流体の自由流温度と表面温度が異なる場合、熱境界層が発生します。この温度差から生じるエネルギー交換により、温度プロファイルが存在します。
熱境界層 熱伝達率はニュートンの冷却の法則 を使って次のように
表される。
質問
ええ
= h あ
（
T
s
−
T
∞
）
{\displaystyle Q_{y}=hA\left(T_{s}-T_{\infty }\right)}
、 ここで、 h は 熱伝達係数 、 A は熱伝達表面積です。表面での熱伝達は伝導によるため、同じ量を 熱伝導率 k で表すことができます 。
質問
ええ
= − け あ
∂
∂ ええ
（
T −
T
s
）
|
ええ = 0
{\displaystyle Q_{y}=-kA{\frac {\partial }{\partial y}}\left.\left(T-T_{s}\right)\right|_{y=0}}
。 これら2つの項は等しいので、
− け あ
∂
∂ ええ
（
T −
T
s
）
|
ええ = 0
= h あ
（
T
s
−
T
∞
）
{\displaystyle -kA{\frac {\partial }{\partial y}}\left.\left(T-T_{s}\right)\right|_{y=0}=hA\left(T_{s}-T_{\infty }\right)}
。 並べ替え、
h け
=
∂
（
T
s
− T
）
∂ ええ
|
ええ = 0
（
T
s
−
T
∞
）
{\displaystyle {\frac {h}{k}}={\frac {\left.{\frac {\partial \left(T_{s}-T\right)}{\partial y}}\right|_{y=0}}{\left(T_{s}-T_{\infty }\right)}}}
。 代表長さ L を掛けると無次元式が得られます。
h ら
け
=
∂
（
T
s
− T
）
∂ ええ
|
ええ = 0
（
T
s
−
T
∞
）
ら
{\displaystyle {\frac {hL}{k}}={\frac {\left.{\frac {\partial \left(T_{s}-T\right)}{\partial y}}\right|_{y=0}}{\frac {\left(T_{s}-T_{\infty }\right)}{L}}}}
。 右側は表面の温度勾配と基準温度勾配の比となり、左側はビオ係数に似ています。これは流体の伝導熱抵抗と対流熱抵抗の比となり、ヌッセルト数 Nu とも呼ばれます。
いいえ あなた
=
h
け
/
ら
=
h ら
け
{\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {h}{k/L}}={\frac {hL}{k}}}
。
導出 ヌッセルト数は表面の無次元温度勾配に等しいため、
フーリエの法則 の無次元解析によって得ることができます。
q = − け あ ∇ T
{\displaystyle q=-kA\nabla T}
ここで、 q は 熱伝達率 、 k は一定の 熱伝導率 、 T は 流体 の 温度 です。 実際、もし： そして
∇ ′
= ら ∇
{\displaystyle \nabla '=L\nabla }
T ′
=
T −
T
h
T
h
−
T
c
{\displaystyle T'={\frac {T-T_{h}}{T_{h}-T_{c}}}}
到着する
−
∇ ′
T ′
=
ら
け あ （
T
h
−
T
c
）
q =
h ら
け
{\displaystyle -\nabla 'T'={\frac {L}{kA(T_{h}-T_{c})}}q={\frac {hL}{k}}}
次に定義する
いいえ あなた
ら
=
h ら
け
{\displaystyle \mathrm {Nu} _{L}={\frac {hL}{k}}}
方程式は
いいえ あなた
ら
= −
∇ ′
T ′
{\displaystyle \mathrm {Nu} _{L}=-\nabla 'T'}
体の表面全体に統合することで:
いいえ あなた
¯
= −
1
S ′
∫
S ′
いいえ あなた
d
S ′
{\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}=-{{1} \over {S'}}\int _{S'}^{}\mathrm {Nu} \,\mathrm {d} S '\!}
、
どこ 。
S ′
=
S
ら
2
{\displaystyle S'={\frac {S}{L^{2}}}}
経験的相関関係 通常、自由対流の場合、平均ヌセルト数はレイリー数 と プラントル数 の関数として 次のように表されます。
N
u
=
f
(
R
a
,
P
r
)
{\displaystyle \mathrm {Nu} =f(\mathrm {Ra} ,\mathrm {Pr} )}
それ以外の場合、強制対流の場合、ヌッセルト数は一般に レイノルズ数 と プラントル数 の関数であり、
N
u
=
f
(
R
e
,
P
r
)
{\displaystyle \mathrm {Nu} =f(\mathrm {Re} ,\mathrm {Pr} )}
さまざまな形状の経験的相関関係が利用可能であり、ヌッセルト数を前述の形式で表現します。 熱伝達係数#対流熱伝達相関 も参照してください。
自由対流
垂直壁での自由対流 引用 [4] ：493 チャーチルとチューによるもの：
N
u
¯
L
=
0.68
+
0.663
R
a
L
1
/
4
[
1
+
(
0.492
/
P
r
)
9
/
16
]
4
/
9
R
a
L
≤
10
8
{\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.68+{\frac {0.663\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/4}}{\left[1+(0.492/\mathrm {Pr} )^{9/16}\,\right]^{4/9}\,}}\quad \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{8}}
水平プレートからの自由対流 特性長さが定義されている場合
L
=
A
s
P
{\displaystyle L\ ={\frac {A_{s}}{P}}}
ここで はプレートの表面積、 は プレートの周囲長です。
A
s
{\displaystyle \mathrm {A} _{s}}
P
{\displaystyle P}
次に、より冷たい環境にある熱い物体の上面、またはより熱い環境にある冷たい物体の底面について [4] ：493
N
u
¯
L
=
0.54
R
a
L
1
/
4
10
4
≤
R
a
L
≤
10
7
{\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.54\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/4}\,\quad 10^{4}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{7}}
N
u
¯
L
=
0.15
R
a
L
1
/
3
10
7
≤
R
a
L
≤
10
11
{\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.15\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/3}\,\quad 10^{7}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{11}}
そして、より冷たい環境にある熱い物体の底面、またはより熱い環境にある冷たい物体の上面については [4] ：493
N
u
¯
L
=
0.52
R
a
L
1
/
5
10
5
≤
R
a
L
≤
10
10
{\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.52\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/5}\,\quad 10^{5}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{10}}
下から加熱された筐体からの自由対流 [5] はベジャンからの引用である
。
N
u
¯
L
=
0.069
R
a
L
1
/
3
P
r
0.074
3
∗
10
5
≤
R
a
L
≤
7
∗
10
9
{\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.069\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/3}Pr^{0.074}\,\quad 3*10^{5}\leq \mathrm {Ra} _{L}\leq 7*10^{9}}
この式は 、「水平層が十分に広く、短い垂直辺の影響が最小限である場合に成立します。」
これは1959年にグローブとドロップキンによって経験的に決定されました: [6] 「テストは銅製の上下と断熱壁を持つ円筒形の容器で行われました。」 使用された容器は直径約5インチ、高さ2インチでした。
層流中の平板 平板上の層流における、 平板の端から下流にある距離における局所ヌッセルト数は、 [4]で与えられる ：490
x
{\displaystyle x}
N
u
x
=
0.332
R
e
x
1
/
2
P
r
1
/
3
,
(
P
r
>
0.6
)
{\displaystyle \mathrm {Nu} _{x}\ =0.332\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3},(\mathrm {Pr} >0.6)}
平板上の層流の平均ヌッセルト数は、平板の端から下流距離までで 、次のように表される [4] ：490
x
{\displaystyle x}
N
u
¯
x
=
2
⋅
0.332
R
e
x
1
/
2
P
r
1
/
3
=
0.664
R
e
x
1
/
2
P
r
1
/
3
,
(
P
r
>
0.6
)
{\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{x}\ ={2}\cdot 0.332\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}\ =0.664\,\mathrm {Re} _{x}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3},(\mathrm {Pr} >0.6)}
対流中の球 空気中の球状液滴の蒸発などのいくつかの用途では、次の相関関係が使用される： [7]
N
u
D
=
2
+
0.4
R
e
D
1
/
2
P
r
1
/
3
{\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}\ ={2}+0.4\,\mathrm {Re} _{D}^{1/2}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}\,}
乱流パイプ流における強制対流
グニエリンスキー相関 管内乱流に関するグニエリンスキーの相関式: [4] : 490, 515 [8]
N
u
D
=
(
f
/
8
)
(
R
e
D
−
1000
)
P
r
1
+
12.7
(
f
/
8
)
1
/
2
(
P
r
2
/
3
−
1
)
{\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}={\frac {\left(f/8\right)\left(\mathrm {Re} _{D}-1000\right)\mathrm {Pr} }{1+12.7(f/8)^{1/2}\left(\mathrm {Pr} ^{2/3}-1\right)}}}
ここでfは ダルシー摩擦係数であり、 ムーディチャート から得られる か、滑らかな管の場合はペトゥホフによって開発された相関関係から得られる: [4] : 490
f
=
(
0.79
ln
(
R
e
D
)
−
1.64
)
−
2
{\displaystyle f=\left(0.79\ln \left(\mathrm {Re} _{D}\right)-1.64\right)^{-2}}
グニエリンスキー相関は次の場合に有効である: [4] : 490
0.5
≤
P
r
≤
2000
{\displaystyle 0.5\leq \mathrm {Pr} \leq 2000}
3000
≤
R
e
D
≤
5
×
10
6
{\displaystyle 3000\leq \mathrm {Re} _{D}\leq 5\times 10^{6}}
ディッタス・ボルター方程式 WH McAdams [9] によって導入された Dittus-Boelter 方程式 (乱流用) は、ヌッセルト数を計算するための 明示的な関数 です 。解くのは簡単ですが、流体全体に大きな温度差がある場合は精度が低下します。この方程式は滑らかなチューブ用に調整されているため、粗いチューブ (ほとんどの商用アプリケーション) に使用する場合は注意が必要です。Dittus-Boelter 方程式は次のとおりです。
N
u
D
=
0.023
R
e
D
4
/
5
P
r
n
{\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=0.023\,\mathrm {Re} _{D}^{4/5}\,\mathrm {Pr} ^{n}}
どこ：
D
{\displaystyle D}
円形ダクトの内径です
P
r
{\displaystyle \mathrm {Pr} }
プラントル 数
n
=
0.4
{\displaystyle n=0.4}
流体が加熱される場合と 流体が冷却される場合である。 [4] : 493
n
=
0.3
{\displaystyle n=0.3}
ディッタス・ボルター方程式は [4] : 514 に対して有効である。
0.6
≤
P
r
≤
160
{\displaystyle 0.6\leq \mathrm {Pr} \leq 160}
R
e
D
≳
10
000
{\displaystyle \mathrm {Re} _{D}\gtrsim 10\,000}
L
D
≳
10
{\displaystyle {\frac {L}{D}}\gtrsim 10}
ディッタス・ボルター方程式は、バルク流体と熱伝達面の温度差が最小限で、方程式の複雑さと反復解法を回避できる優れた近似式です。バルク流体の平均温度が20°C（68°F）の水、粘度が 10.07 × 10 −4 Pa.s 、伝熱面温度40 °C（104 °F）（粘度 6.96 × 10 −4 Pa.s の 場合、粘度補正係数は 1.45になります。これは、伝熱面温度が100 °C (212 °F) の場合、3.57に増加します（粘度
(
μ
/
μ
s
)
{\displaystyle ({\mu }/{\mu _{s}})}
2.82 × 10 −4 Pa.s ）、ヌッセルト数と熱伝達係数に大きな違いが生じます。
シーダー・テイト相関 乱流に対するSieder-Tate相関は、 システムを非線形 境界値問題として解析するため、 暗黙の関数である。Sieder-Tateの結果は、バルク流体の平均温度と熱伝達表面温度の間の温度変化による 粘度 （ および） の変化をそれぞれ考慮するため、より正確である可能性がある。 粘性係数はヌッセルト数が変化すると変化するため、Sieder-Tate相関は通常、反復プロセスによって解かれる。 [10]
μ
{\displaystyle \mu }
μ
s
{\displaystyle \mu _{s}}
N
u
D
=
0.027
R
e
D
4
/
5
P
r
1
/
3
(
μ
μ
s
)
0.14
{\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=0.027\,\mathrm {Re} _{D}^{4/5}\,\mathrm {Pr} ^{1/3}\left({\frac {\mu }{\mu _{s}}}\right)^{0.14}}
[4] : 493 どこ：
μ
{\displaystyle \mu }
バルク流体温度における流体粘度
μ
s
{\displaystyle \mu _{s}}
熱伝達境界面温度における流体の粘度である。 シーダー・テイト相関は [4] : 493 に当てはまる。
0.7
≤
P
r
≤
16
700
{\displaystyle 0.7\leq \mathrm {Pr} \leq 16\,700}
R
e
D
≥
10
000
{\displaystyle \mathrm {Re} _{D}\geq 10\,000}
L
D
≳
10
{\displaystyle {\frac {L}{D}}\gtrsim 10}
完全に発達した層流パイプ流における強制対流 完全に発達した内部層流の場合、長いパイプではヌッセルト数は一定値に近づく傾向があります。
内部フローの場合:
N
u
=
h
D
h
k
f
{\displaystyle \mathrm {Nu} ={\frac {hD_{h}}{k_{f}}}}
どこ：
D h = 水力直径 k f = 流体の 熱伝導率 h = 対流 熱伝達係数
Incropera & DeWitt、 [4] : 486–487 より
N
u
D
=
3.66
{\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=3.66}
OEIS シーケンス A282581 では、この値は として与えられます 。
N
u
D
=
3.6567934577632923619...
{\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=3.6567934577632923619...}
表面熱流束が一定の場合、 [4] ：486–487
N
u
D
=
4.36
{\displaystyle \mathrm {Nu} _{D}=4.36}
参照
参考文献
^ abcd Çengel, Yunus A. (2002). 熱と質量伝達（第2版）. McGraw-Hill. ^ ab 「ヌッセルト数」。 ホワイティング工学部。 2019年 4月3日 閲覧 。 ^ E. Sanvicente; et al. (2012). 「開放チャネルにおける遷移的自然対流と熱伝達」 International Journal of Thermal Sciences . 63 : 87–104 . doi :10.1016/j.ijthermalsci.2012.07.004. ^ abcdefghijklmn Incropera, Frank P. ; DeWitt, David P. (2007). 熱と質量伝達の基礎 (第 6 版). ホーボーケン: Wiley. ISBN 978-0-471-45728-2 。 ^ Bejan, Adrian (2013). 対流熱伝達 (PDF) (第4版). Wiley. ISBN 978-0-470-90037-6 。 ^グローブ、サミュエル、ドロップキン、 デイビッド ( 1959)。「2枚の水平プレートで囲まれ下から加熱される液体の自然対流熱伝達」。Journal of Heat Transfer。81 (1): 24– 28。doi :10.1115/1.4008124 – ASME Digital Collection経由。 ^ McAllister, Sara; Chen, Jyh-Yuan; Fernández Pello, Carlos (2011). 「対流流における液滴の蒸発」。 燃焼プロセスの基礎 。機械工学。ニューヨーク: Springer。p. 159。doi : 10.1007/ 978-1-4419-7943-8。ISBN 978-1-4419-7942-1 . LCCN 2011925371. ^ グニエリンスキー、フォルカー (1975)。 「ローレンとカナレンの激動のドゥルヒストロームテンのノイエ・グライシュンゲン・フェル・デン・ヴェルメとデン・ストフュベルガング」。 フォルシュ。イング・ ウェス 41 (1): 8–16 . 土井 :10.1007/BF02559682。 S2CID 124105274。 ^ Winterton, RHS (1998年2月). 「DittusとBoelterの式はどこから来たのか?」 (PDF) . International Journal of Heat and Mass Transfer . 41 ( 4– 5). Elsevier: 809– 810. Bibcode :1998IJHMT..41..809W. doi :10.1016/S0017-9310(97)00177-4. ^ 「蒸気発生器管金属の温度プロファイル」 (PDF) 。 2016年3月3日時点の オリジナル (PDF)からアーカイブ 。 2009年 9月23日 閲覧。
外部リンク ニュートンの冷却の法則からのヌセルト数の簡単な導出（2009 年 9 月 23 日にアクセス）
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {Nu} }}_{L}\ =0.68+{\frac {0.663\,\mathrm {Ra} _{L}^{1/4}}{\left[1 +(0.492/\mathrm {Pr} )^{9/16}\,\right]^{4/9}\,}}\quad \mathrm {Ra} _{L}\leq 10^{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899edee66f93581df2ff942e4ada9d3bc4b7b452)
