グラスホフ数

自由対流は、温度変化または勾配による流体の密度の変化によって引き起こされます。通常、温度の上昇により密度が低下し、流体が上昇します。この動きは浮力によって引き起こされます。この動きに抵抗する主な力は粘性力です。グラスホフ数は、反対の力を定量化する方法です。^{[ 3 ]}

グラスホフ数は次のとおりです。

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{L}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })L^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$垂直平板用

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })D^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$パイプや崖体用

どこ：

• gは地球による重力加速度 である。
• βは体積膨張係数（理想気体の場合、約1/ Tに等しい）である。
• T _sは表面温度です
• T∞_はバルク温度である
• Lは垂直方向の長さです
• Dは直径です
• νは動粘度である。

添え字LとDは、グラスホフ数の長さスケールの基準を示しています。

垂直平板からの自然対流の場合、乱流への遷移は10 ⁸ < Gr _L < 10 ⁹の範囲で発生します。グラスホフ数が高い場合、境界層は乱流になります。グラスホフ数が低い場合、境界層は層流になります。つまり、 10 ³ < Gr _L < 10 ⁶の範囲です。

自然対流による物質移動問題の場合にも、グラスホフ数に類似した形式が用いられます。物質移動の場合、自然対流は温度勾配ではなく濃度勾配によって引き起こされます。 ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \mathrm {Gr} _{c}={\frac {g\beta ^{*}(C_{a,s}-C_{a,a})L^{3}}{\nu ^{2}}}}$$

どこ

$$\displaystyle \beta ^{*}=-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial C_{a}}}\right)_{T,p}}$$

そして：

• gは地球による重力加速度 である。
• C _a,sは表面における種aの濃度である
• C _a,aは周囲媒体中の種aの濃度である。
• Lは特性長さである
• νは動粘度である
• ρは流体の密度である
• Ca_は種aの濃度である
• Tは温度（定数）です
• pは圧力（定数）です。

エネルギー方程式に関するこの議論は、回転対称流に関するものです。この解析では、重力加速度が流れと熱伝達に及ぼす影響を考慮します。以下の数式は、回転対称流と二次元平面流の両方に適用されます。

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}(\rho ur_{0}^{n})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho vr_{0}^{n})=0}$$

どこ：

• ${\displaystyle s}$は回転方向、つまり表面に平行な方向です。
• ${\displaystyle u}$は接線速度、すなわち表面に平行な速度である。
• ${\displaystyle y}$は平面方向、つまり表面に垂直な方向です。
• ${\displaystyle v}$は法線速度、すなわち表面に垂直な速度である。
• $\displaystyle r_0$は半径です。

この式において、上付き文字nは回転対称流と平面流を区別するためのものです。この式には以下の特徴が当てはまります。

• ${\displaystyle n}$= 1: 回転対称流
• ${\displaystyle n}$= 0: 平面、二次元の流れ
• ${\displaystyle g}$重力加速度

この式は、流体の物理的特性を加えると、次の式に展開されます。

$${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right)-{\frac {dp}{ds}}+\rho g.}$$

ここから、流体全体の速度を 0 に設定することで、運動量方程式をさらに単純化できます (${\displaystyle u=0}$)

$${\displaystyle {\frac {dp}{ds}}=\rho _{0}g}$$

この関係式は、圧力勾配が流体全体の密度と重力加速度の積に等しいことを示している。次のステップは、圧力勾配を運動量方程式に代入することである。

$${\displaystyle \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+g{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho }}=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})}$$

体積膨張係数と密度の関係${\displaystyle \rho -\rho _{0}=-\rho _{0}\beta (T-T_{0})}$上記で得られた動粘度の関係${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$運動量方程式に代入した。$${\displaystyle u\left({\frac {\partial u}{\partial s}}\right)+v\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})}$$

ここからグラスホフ数を求めるには、前の式を無次元化する必要があります。つまり、式中のすべての変数は無次元でなければならず、代わりに問題の形状と設定に特徴的な比率でなければなりません。これは、各変数を対応する定数で割ることによって行われます。長さは特性長さで割られ、${\displaystyle L_{c}}$速度は適切な基準速度で割られ、${\displaystyle V}$レイノルズ数を考慮すると、${\displaystyle V={\frac {\mathrm {Re} _{L}\nu }{L_{c}}}}$温度は適切な温度差で割られ、${\displaystyle (T_{s}-T_{0})}$これらの無次元パラメータは次のようになります。

• ${\displaystyle s^{*}={\frac {s}{L_{c}}}}$、
• ${\displaystyle y^{*}={\frac {y}{L_{c}}}}$、
• ${\displaystyle u^{*}={\frac {u}{V}}}$、
• ${\displaystyle v^{*}={\frac {v}{V}}}$、 そして
• ${\displaystyle T^{*}={\frac {(T-T_{0})}{(T_{s}-T_{0})}}}$。

アスタリスクは無次元パラメータを表します。これらの無次元方程式を運動量方程式と組み合わせると、次の簡略化された方程式が得られます。

${\displaystyle u^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial s^{*}}}+v^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial y^{*}}}=-\left[{\frac {\rho _{0}g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\rho \nu ^{2}\mathrm {Re} _{L}^{2}}}\right]T^{*}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

${\displaystyle =-\left({\frac {\rho _{0}}{\rho }}\right)\left[{\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}\right]{\frac {T^{*}}{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

どこ：

${\displaystyle T_{s}}$表面温度は

${\displaystyle T_{0}}$バルク流体の温度は

${\displaystyle L_{c}}$は特性長さです。

前述の式中の括弧で囲まれた無次元パラメータは、グラスホフ数として知られています。

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}.}$

グラスホフ数を求める別の次元解析法は、バッキンガムπ定理として知られています。この方法は、単位体積あたりの浮力、${\displaystyle F_{b}}$境界層と流体本体の密度差によるものです。

$${\displaystyle F_{b}=(\rho -\rho _{0})g}$$

この方程式を操作すると、次の式が得られます。

$${\displaystyle F_{b}=-\beta g\rho _{0}\Delta T.}$$

バッキンガムπ法で使用される変数の一覧を、記号と次元とともに以下に示します。

バッキンガムπ定理を参照すると、9 - 5 = 4つの無次元群が存在する。Lを選択する。${\displaystyle \mu ,}$k、g、${\displaystyle \beta }$参照変数として。したがって、${\displaystyle \pi }$グループ分けは以下のとおりです。

${\displaystyle \pi _{1}=L^{a}\mu ^{b}k^{c}\beta ^{d}g^{e}c_{p}}$、

${\displaystyle \pi _{2}=L^{f}\mu ^{g}k^{h}\beta ^{i}g^{j}\rho }$、

${\displaystyle \pi _{3}=L^{k}\mu ^{l}k^{m}\beta ^{n}g^{o}\Delta T}$、

${\displaystyle \pi _{4}=L^{q}\mu ^{r}k^{s}\beta ^{t}g^{u}h}$。

これらを解決する${\displaystyle \pi }$グループが与えるもの：

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\mu (c_{p})}{k}}=\mathrm {Pr} }$、

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {l^{3}g\rho ^{2}}{\mu ^{2}}}}$、

${\displaystyle \pi _{3}=\beta \Delta T}$、

${\displaystyle \pi _{4}={\frac {hL}{k}}=\mathrm {Nu} }$

2つのグループから${\displaystyle \pi _{2}}$そして${\displaystyle \pi _{3},}$この積はグラスホフ数を形成する。

${\displaystyle \pi _{2}\pi _{3}={\frac {\beta g\rho ^{2}\Delta TL^{3}}{\mu ^{2}}}=\mathrm {Gr} .}$

取${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$そして${\displaystyle \Delta T=(T_{s}-T_{0})}$前述の式は、エネルギー方程式からグラスホフ数を導出することによって得られる結果と同じである。

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\beta g\Delta TL^{3}}{\nu ^{2}}}}$

強制対流では、レイノルズ数が流体の流れを支配します。一方、自然対流では、グラスホフ数が流体の流れを支配する無次元パラメータです。エネルギー方程式と浮力、そして次元解析を組み合わせることで、グラスホフ数を導出する2つの異なる方法が得られます。

グラスホフ数は、以下の物理的な定義によっても導出できる。

$${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\mathrm {Buoyancy~Force} }{\mathrm {Friction~Force} }}={\frac {mg}{\tau A}}={\frac {L^{3}\rho \beta (\Delta T)g}{\mu (V/L)L^{2}}}={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu V}}}$$

しかしながら、上記の式、特に右辺の最後の部分は、文献に記載されているグラスホフ数とは若干異なります。動粘度に関して次元的に正しいスケールを用いることで、最終的な式を得ることができます。

$${\displaystyle \mathrm {\mu } =\rho VL}$$上のスケールをギリシャ語で書くと次のようになります。

$${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {L^{3}\beta (\Delta T)g}{\nu ^{2}}}}$$数値の意味を理解するには、物理​​的な推論が役立ちます。一方、以下の速度の定義は、特定の速度を無次元化するための特性速度値として使用できます。

$${\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu Gr}}}$$