ビオ数

ビオ数( Bi ) は、熱伝達計算で使用される無次元量で、18 世紀のフランスの物理学者ジャン バティスト ビオ(1774–1862) にちなんで名付けられました。ビオ数は、物体内部の伝導の熱抵抗と物体表面の対流の熱抵抗の比です。この比は、物体が時間の経過とともにその表面の熱流束によって加熱または冷却されるときに、物体内部の温度が空間的に大きく変化するかどうかを示します。

一般に、ビオ数が小さい (1 よりはるかに小さい) 問題は、物体内部の温度場がほぼ均一であるため、解析的には単純です。ビオ数が 1 以上の場合には、物体内部の温度場が不均一であるため、より困難な問題となります。

ビオ数は、過渡熱伝導やフィン熱伝達の計算 など、多くの熱伝達問題に登場します。

ビオ数は次のように定義されます。

${\displaystyle \mathrm {Bi} ={\frac {h}{k}}L}$

どこ：

• ${\displaystyle {k}}$物体の熱伝導率[W/(m·K ) ]
• ${\displaystyle {h}}$対流熱伝達係数[W/(m ² ·K)]
• ${\displaystyle {L}}$考慮される形状の特徴的な長さ[m]です。

（ビオ数は、物体ではなく 流体の熱伝導率を採用するヌッセルト数と混同しないでください。）

関連するほとんどの問題における特性長さは、熱特性長さ、つまり物体の体積と加熱された（または冷却された）物体の表面積との比になります。 ここで、熱を表す 下付き文字Q は、考慮される表面が熱が通過する全表面の一部のみであることを示すために使用されます。 $${\displaystyle L={\frac {V}{A_{\mathrm {Q} }}}}$$

ビオ数の物理的な意味は、プールに突然沈められた小さな熱い金属球から周囲の流体への熱の流れを想像することで理解できます。熱の流れには 2 つの抵抗があります。1 つ目は固体金属内の伝導による抵抗 (球のサイズと構成の両方によって影響されます)、もう 1 つは球の表面での対流による抵抗です。流体/球の界面の熱抵抗が金属球の内部の熱抵抗を超える場合、ビオ数は 1 未満になります。ビオ数が 1 より大幅に小さいシステムの場合、球の内部は均一な温度であると想定できますが、表面から球に熱が伝わるにつれてこの温度は時間とともに変化する可能性があります。物体内部のこの (比較的均一な) 温度変化を表す式は、ニュートンの冷却の法則で説明される単純な指数関数式です。

対照的に、金属球は大きい場合があり、特性長さは大きくなり、ビオ数は 1 より大きくなります。この場合、球の材質が良導体であっても、球内の熱勾配が重要になります。同様に、球が木材や発泡スチロールなどの低伝導性 (断熱性) の材質で作られている場合、はるかに小さい球であっても、内部の熱流抵抗は流体/球境界での対流抵抗を超えます。この場合も、ビオ数は 1 より大きくなります。

ビオ数の値は、過渡熱伝達の問題を解決する特定の方法の適用可能性 (または不適用性) を示します。たとえば、ビオ数が約 0.1 より小さい場合、物体内部の熱伝導は表面での熱対流よりはるかに低い熱抵抗を示し、物体内部の温度勾配は無視できるほど小さいことを意味します (このような物体は「熱的に薄い」と呼ばれることがあります)。この状況では、単純な集中容量モデルを使用して物体の過渡温度変化を評価できます。逆の場合も同様です。ビオ数が約 0.1 より大きい場合、物体内部の熱抵抗は無視できないことを示し、物体への熱伝達または物体からの熱伝達を分析するにはより複雑な方法が必要です (このような物体は「熱的に厚い」と呼ばれることがあります)。

ビオ数が 0.1 程度より大きい場合、物体内の時間とともに変化し空間的に不均一な温度場を決定するために熱方程式を解く必要があります。単純な幾何学的形状と均一な材料の熱伝導率に対して存在する可能性のあるこれらの問題を処理する解析手法については、熱方程式に関する記事で説明されています。検証済みの解析解の例と正確な数値が利用可能です。^{[1] [2]} 多くの場合、このような問題は、熱伝達のコンピュータモデルを使用して数値的にしか実行できないほど困難です。

前述のように、ビオ数が約 0.1 より小さい場合、物体内部の伝導抵抗は表面の熱対流よりもはるかに小さく、物体内部の温度勾配は無視できることを示しています。この場合、過渡熱伝達の集中容量モデルを使用できます。(ビオ数が 0.1 未満の場合、通常、集中容量モデルを使用したときに 3% 未満の誤差が生じることを示します。^[3] )

最も単純な集中容量解は、流体温度の段階的変化について、物体の内部エネルギーが物体の温度に正比例し、体温と流体温度の差が物体への熱伝達率または物体からの熱伝達率に比例するため、物体の温度が時間とともに指数関数的に低下する（「ニュートン」冷却または加熱）ことを示しています。これらの関係を熱力学の第 1 法則と組み合わせると、単純な 1 次線形微分方程式が得られます。対応する集中容量解は次のように記述できます。

${\displaystyle {\frac {T-T_{\infty }}{T_{0}-T_{\infty }}}=e^{-t/\tau }}$

ここで、は物体の熱時定数、は質量密度（kg/m ³）、は比熱容量（J/kg-K） です。${\displaystyle \tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{Q}}}}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle c_{p}}$

マイクロカプセル化された相変化スラリーの熱伝達の研究は、ビオ数が役立つ応用分野です。マイクロカプセル化された相変化スラリーの分散相、すなわちマイクロカプセル化された相変化材料自体のビオ数は0.1未満と計算されるため、分散相内の熱勾配は無視できると想定できます。^[4]

ビオ数の類似バージョン（通常は「物質移動ビオ数」またはと呼ばれる）は、物質拡散プロセスでも使用されます。 ${\displaystyle \mathrm {Bi} _{m}}$

${\displaystyle \mathrm {Bi} _{m}={\frac {k_{c}}{D}}L}$

どこ：

• ${\displaystyle {k_{c}}}$ : 対流物質移動係数（熱伝達問題のhに類似）
• ${\displaystyle D}$ :質量拡散率（熱伝達問題のkに類似）
• ${\displaystyle {L}}$ : 特性長さ

• 対流
• フーリエ数
• 熱伝導