接続（ベクターバンドル）

数学、特に微分幾何学とゲージ理論において、ファイバー束上の接続は、束上の平行移動の概念を定義する装置です。つまり、近接する点上のファイバーを「接続」または識別する方法です。最も一般的なケースは、ベクトル束上の線形接続であり、この場合、平行移動の概念は線形でなければなりません。線形接続は、共変微分によって同等に指定されます。共変微分とは、基底多様体の接線方向に沿って束の断面を微分する演算子であり、平行な断面の微分はゼロになります。線形接続は、任意のベクトル束に、擬リーマン多様体の接束上のレヴィ・チヴィタ接続を一般化したものであり、ベクトル場を微分する標準的な方法を提供します。非線形接続は、ファイバーが必ずしも線形ではない束にこの概念を一般化します。

線形接続は、それらを記述するための代数的枠組みを与えたジャン＝ルイ・コズルにちなんでコズル接続とも呼ばれる（コズル 1950 ）。

本稿では、座標をあまり重視しない一般的な数学的記法を用いて、ベクトル束上の接続を定義する。しかし、他の記法も頻繁に用いられている。一般相対性理論では、ベクトル束の計算は通常、添え字付きテンソルを用いて記述される。ゲージ理論では、ベクトル空間ファイバーの自己準同型写像が重視される。これらの異なる記法は等価であり、計量接続に関する記事で論じられている（そこで述べられている内容はすべてのベクトル束に当てはまる）。

M をユークリッド空間などの微分可能な多様体とする。ベクトル値関数$\displaystyle M\to \mathbb {R} ^{n}}$自明なベクトル束の一部と見なすことができる${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}\to M.}$一般的な微分可能なベクトル束のセクションを考えることができるので、 M上の関数を微分する方法の一般化として、セクションを微分できるかどうかを問うのは自然なことである。

モデルケースは関数を微分することです${\displaystyle X:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ユークリッド空間上$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$この設定では導関数は${\displaystyle dX}$ある時点で${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$の方向に$\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$標準式で定義できる

$\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(x+tv)-X(x)}{t}}.}$

すべての${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$これは新しいベクトルを定義します$\displaystyle dX(v)(x)\in \mathbb {R} ^{m}.}$

セクションに移動する時${\displaystyle X}$ベクトルバンドルの${\displaystyle E}$多様体上${\displaystyle M}$この定義には2つの重要な問題点がある。まず、多様体には線形構造がないため、この用語は${\displaystyle x+tv}$意味がわからない${\displaystyle M}$代わりに、ある道を選ぶ。${\displaystyle \gamma$ :(-1,1)\to M} で、${\displaystyle \gamma (0)=x,\gamma '(0)=v}$そして計算する

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$

しかし、それでも意味が通じないのは、${\displaystyle X(\gamma (t))}$そして${\displaystyle X(\gamma (0))}$は異なるベクトル空間の要素である。${\displaystyle E_{\ガンマ (t)}}$そして${\displaystyle E_{x}.}$これは、これら2つの項の引き算が自然に定義されないことを意味する。

この問題は、ベクトル束に接続という追加構造を導入することで解決される。接続を理解するには、少なくとも3つの視点が存在する。厳密に定式化すれば、これら3つの視点はすべて同等である。

1. （並列輸送）接続は、すべての微分可能なパスに割り当てるものと見なすことができる。${\displaystyle \gamma }$線形同型${\displaystyle P_{t}^{\gamma }:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$すべての人々のために${\displaystyle t.}$この同型性を利用すると、${\displaystyle X(\gamma (t))}$繊維へ${\displaystyle E_{x}}$そして、その差を取る。具体的には、$${\displaystyle \nabla _{v}X=\lim _{t\to 0}{\frac {P_{t}^{\gamma }X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$$これが${\displaystyle v,}$そして道にはない${\displaystyle \gamma }$拡張${\displaystyle v,}$定義において、依存関係に制限を設ける必要がある。${\displaystyle P_{t}^{\gamma }}$の上${\displaystyle \gamma .}$これは簡単に定式化できるものではないため、「平行移動」という概念は通常、他の接続定義方法の副産物として導き出される。実際、以下の「エーレスマン接続」という概念は、平行移動の微小な定式化に他ならない。
2. （エーレスマンとの関連）セクション${\displaystyle X}$滑らかな多様体からの滑らかな写像と見なすことができる${\displaystyle M}$滑らかな多様体へ${\displaystyle E.}$そのため、推進力を検討することができる。${\displaystyle dX(v),}$これは接空間の要素である${\displaystyle T_{X(x)}E.}$エレスマンのつながりの定式化では、それぞれに割り当ての方法を選択する。${\displaystyle x}$そしてすべての${\displaystyle e\in E_{x},}$直接和分解${\displaystyle T_{X(x)}E}$2 つの線形部分空間に分割され、そのうちの 1 つは自然な埋め込みである。${\displaystyle E_{x}.}$この追加データにより、定義される${\displaystyle \nabla _{v}X}$投影することによって${\displaystyle dX(v)}$価値あるものとして${\displaystyle E_{x}.}$ベクトル束の線形構造を尊重するために、直接和分解の方法に追加の制約を課す。${\displaystyle T_{e}E}$繊維上でeの値が変化すると、その動きも変化する。
3. （共変微分）標準微分${\displaystyle dX(v)}$ユークリッド空間では、特定の依存関係を満たす${\displaystyle X}$そして${\displaystyle v,}$最も基本的なのは線形性である。共変微分は、あらゆる演算として定義される。${\displaystyle (v,X)\mapsto \nabla _{v}X}$これは、積の法則の一形態とともに、これらの特性を模倣するものです。

基底がゼロ次元でない限り、与えられた微分可能なベクトル束上には常に無限個の接続が存在し、したがって、セクションを微分する方法も常に選択できます。文脈によっては、例えば特定の偏微分方程式を解くことによって決定されるような、区別された選択肢が存在する場合があります。接線束の場合、任意の擬リーマン計量（特に任意のリーマン計量）は、レヴィ・チヴィタ接続と呼ばれる標準的な接続を決定します。

させて${\displaystyle \pi :E\to M}$滑らかな多様体上の滑らかな実ベクトル束である${\displaystyle M}$の滑らかな断面の空間を表す。${\displaystyle \pi :E\to M}$による${\displaystyle \Gamma (\pi )}$共変微分${\displaystyle \pi }$以下のいずれかの同等の構造です。

1. 1${\displaystyle \mathbb {R} }$-線形マップ${\displaystyle \nabla$ :\Gamma (\pi )\to \Gamma (T^{*}M\otimes \pi )} 積の法則が成り立つ$${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$$すべての滑らかな関数に当てはまる${\displaystyle f}$の上${\displaystyle M}$およびすべての滑らかな部分${\displaystyle s}$の${\displaystyle \pi .}$
2. 課題、あらゆる滑らかなセクションとすべての${\displaystyle x\in M}$の${\displaystyle \mathbb {R} }$-線形マップ${\displaystyle (\nabla s)_{x}:T_{x}M\to \pi ^{-1}(x)}$これはxに滑らかに依存し、$${\displaystyle \nabla (a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2})=a_{1}\nabla s_{1}+a_{2}\nabla s_{2}}$$任意の2つの滑らかなセクションに対して${\displaystyle s_{1},s_{2}}$そして実際の数字${\displaystyle a_{1},a_{2},}$そして、すべての滑らかな関数に対して${\displaystyle f}$、${\displaystyle \nabla (fs)}$は${\displaystyle \nabla s}$による$${\displaystyle {\big (}\nabla (fs){\big )}_{x}(v)=df(v)s(x)+f(x)(\nabla s)_{x}(v)}$$いかなる場合でも${\displaystyle x\in M}$そして${\displaystyle v\in T_{x}M.}$

ベクトル空間間の正準同一性の使用を超えて${\displaystyle T_{x}^{\ast }M\otimes \pi ^{-1}(x)}$線形写像のベクトル空間${\displaystyle T_{x}M\to \pi ^{-1}(x),}$これら二つの定義は同一であり、使用されている用語が異なるだけである。

示すのが一般的です${\displaystyle (\nabla s)_{x}(v)}$による${\displaystyle \nabla _{v}s,}$と${\displaystyle x}$暗黙のうちに${\displaystyle v.}$この表記法を用いると、上記の定義の2番目のバージョンの積の法則は次のように書ける。

${\displaystyle \nabla _{v}(fs)=df(v)s+f\nabla _{v}s.}$

注記。複素ベクトル束の場合、上記の定義は依然として意味を持ちますが、通常は「実数」と「複素数」を変更して修正されます。${\displaystyle \mathbb {R} }$「どこにでも現れる彼らは「複雑」で「${\displaystyle \mathbb {C} .}$これは追加の制約を課すことになる。なぜなら、複素ベクトル空間間のすべての実線形写像が複素線形写像であるとは限らないからである。この区別には多少の曖昧さがあり、複素ベクトル束は実ベクトル束とみなすこともできる。

ベクトル束が与えられた場合${\displaystyle E\to M}$関連するバンドルが多数あります${\displaystyle E}$例えば、双対ベクトル束を構築することができる。${\displaystyle E^{*}}$テンソルパワー${\displaystyle E^{\otimes k}}$対称テンソルと反対称テンソルのべき乗${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E}$、そして直接和${\displaystyle E^{\oplus k}}$接続先${\displaystyle E}$これらの関連束のいずれかに、接続を誘導します。関連束上の接続間の移行の容易さは、主束接続の理論によってより洗練された形で捉えられますが、ここでは基本的な誘導接続をいくつか紹介します。

させて${\displaystyle E\to M}$ベクトルバンドルである。${\displaystyle E}$次数に関する値微分形式${\displaystyle r}$これはテンソル積バンドルの一部です。

${\displaystyle \bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E.}$

このような形式の空間は、

${\displaystyle \Omega ^{r}(E)=\Omega ^{r}(M;E)=\Gamma \left(\bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E\right)=\Omega ^{r}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E),}$

ここで、最後のテンソル積は、滑らかな関数の環上のモジュールのテンソル積を表す。${\displaystyle M}$。

1${\displaystyle E}$0 値の形式はバンドルの一部にすぎません${\displaystyle E}$つまり、

${\displaystyle \Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).}$

この表記では、接続は ${\displaystyle E\to M}$線形マップ

${\displaystyle \nabla$ :\オメガ ^{0}(E)\から \オメガ ^{1}(E)。}

接続は、ベクトル束値形式への外微分を一般化したものと見なすことができる。実際、接続が与えられた場合${\displaystyle \nabla }$の上${\displaystyle E}$拡張するための独自の方法があります${\displaystyle \nabla }$外部共変微分へ

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).}$

この外微分は、次の形式の単純テンソルに対して指定されるライプニッツの規則によって定義されます。${\displaystyle \omega \otimes s}$そして直線的に拡張した。

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \otimes s)=d\omega \otimes s+(-1)^{\deg \omega }\omega \wedge \nabla s}$

どこ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{r}(M)}$となることによって${\displaystyle \deg \omega =r}$、${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$これはセクションであり、${\displaystyle \omega \wedge \nabla s}$は${\displaystyle (r+1)}$-値を含むフォーム${\displaystyle E}$くさび形によって定義される${\displaystyle \omega }$1つのフォーム部分で${\displaystyle \nabla s}$。注意して、${\displaystyle E}$0 形式の値をとると、接続の通常のライプニッツ規則が回復される。${\displaystyle \nabla }$。

通常の外部微分とは異なり、一般的には${\displaystyle d_{\nabla }^{2}\neq 0}$。 実際には、${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$接続部の曲率に直接関係している${\displaystyle \nabla }$（以下を参照してください）。

多様体上のすべてのベクトル束は接続を持ち、これは単位の分割を用いて証明できる。しかし、接続は一意ではない。${\displaystyle \nabla _{1}}$そして${\displaystyle \nabla _{2}}$2 つの接続があります${\displaystyle E\to M}$すると、それらの違いは${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-線形演算子。つまり、

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}s-\nabla _{2}s)}$

すべての滑らかな関数について${\displaystyle f}$の上${\displaystyle M}$およびすべての滑らかな部分${\displaystyle s}$の${\displaystyle E}$差は${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}}$1つのフォームで一意に識別できます${\displaystyle M}$自己準同型束内の値を持つ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$:

${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}\in \Omega ^{1}(M;\mathrm {End} \,E).}$

逆に、${\displaystyle \nabla }$接続は${\displaystyle E}$そして${\displaystyle A}$は、${\displaystyle M}$値は${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$、 それから${\displaystyle \nabla +A}$接続は${\displaystyle E}$。

言い換えれば、接続の空間は${\displaystyle E}$アフィン空間は${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$このアフィン空間は一般に次のように表記されます。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$。

させて${\displaystyle E\to M}$ランクのベクトル束である${\displaystyle k}$そして${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$フレームバンドルである${\displaystyle E}$.次に、(主要な)接続が${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$接続を誘発する${\displaystyle E}$まず、${\displaystyle E}$右同変写像と1対1で対応している${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to \mathbb {R} ^{k}}$（これは、${\displaystyle E}$以上${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to M}$これは自明な束と同型である。${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\times \mathbb {R} ^{k}}$.) セクションが与えられた場合${\displaystyle s}$の${\displaystyle E}$対応する同変写像を${\displaystyle \psi (s)}$共変微分は${\displaystyle E}$は次のように与えられる。

${\displaystyle \psi (\nabla _{X}s)=X^{H}(\psi (s))}$

どこ${\displaystyle X^{H}}$水平リフトは${\displaystyle X}$から${\displaystyle M}$に${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$（水平リフトは接続によって決定されることを思い出してください）${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$）

逆に、${\displaystyle E}$接続を決定します${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$そして、これら二つの構成は互いに逆の関係にある。

接続${\displaystyle E}$また、線形エレスマン接続によって等価的に決定される。${\displaystyle E}$これは、関連する主接続を構築する一つの方法を提供する。

#誘導接続で議論されている誘導接続は、フレームバンドルへの他の関連バンドル上の接続として構築できます。${\displaystyle E}$上記で使用した標準表現以外の表現を使用する場合。たとえば、${\displaystyle \rho }$標準表現を表す${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$の上${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$すると、表現に関連付けられたバンドルが${\displaystyle \rho \oplus \rho }$の${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$の上${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\oplus \mathbb {R} ^{k}}$直和束${\displaystyle E\oplus E}$そして、誘導される接続はまさに上述の通りである。

させて${\displaystyle E\to M}$ランクのベクトル束である${\displaystyle k}$、そして${\displaystyle U}$の開部分集合である${\displaystyle M}$どれについて${\displaystyle E}$自明化する。したがって、集合全体にわたって${\displaystyle U}$、${\displaystyle E}$局所的に滑らかな断面のフレームを認める

${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},\dots ,e_{k});\quad e_{i}:U\to \left.E\right|_{U}.}$

フレームが${\displaystyle \mathbf {e} }$繊維の基礎を定義する${\displaystyle E_{x}}$いかなる場合でも${\displaystyle x\in U}$ローカルセクションはどれでも展開できます${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$フレーム内で

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{k}s^{i}e_{i}}$

滑らかな関数の集合${\displaystyle s^{1},\dots ,s^{k}:U\to \mathbb {R} }$。

接続が与えられた場合${\displaystyle \nabla }$の上${\displaystyle E}$表現することが可能${\displaystyle \nabla }$以上${\displaystyle U}$局所的な断面フレームに関して、接続の特性積ルールを使用することにより、任意の基本断面に対して、${\displaystyle e_{i}}$数量${\displaystyle \nabla (e_{i})\in \Omega ^{1}(U)\otimes \Gamma (U,E)}$ローカルフレーム内で展開される可能性があります${\displaystyle \mathbf {e} }$として

${\displaystyle \nabla (e_{i})=\sum _{j=1}^{k}A_{i}^{\ j}\otimes e_{j},}$

どこ${\displaystyle A_{i}^{\ j}\in \Omega ^{1}(U);\,j=1,\dots ,k}$これらは局所的な1形式の集合である。これらの形式は、次のように定義される1形式のマトリックスに入れることができる。

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ 1}&\cdots &A_{k}^{\ 1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1}^{\ k}&\cdots &A_{k}^{\ k}\end{pmatrix}}\in \Omega ^{1}(U,\operatorname {End} (\left.E\right|_{U}))}$

ローカル接続形式と呼ばれる${\displaystyle \nabla }$以上${\displaystyle U}$. の行動${\displaystyle \nabla }$どのセクションでも${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$は、${\displaystyle A}$積の法則を使用して

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{j=1}^{k}\left(ds^{j}+\sum _{i=1}^{k}A_{i}^{\ j}s^{i}\right)\otimes e_{j}.}$

ローカルセクションの場合${\displaystyle s}$は、ローカルフレームを使用した列ベクトルとして行列表記でも記述されます。${\displaystyle \mathbf {e} }$基礎として、

${\displaystyle s={\begin{pmatrix}s^{1}\\\vdots \\s^{k}\end{pmatrix}},}$

すると、通常の行列乗算を使用して次のように書くことができます。

${\displaystyle \nabla (s)=ds+As}$

どこ${\displaystyle ds}$は、外微分を適用する略記法です。${\displaystyle d}$各コンポーネントに対して${\displaystyle s}$列ベクトルとして。この表記では、局所的に次のように書くことが多い。${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}=d+A}$この意味で、接続は、ある自明化において、その接続1形式によって局所的に完全に規定される。

#接続の集合のアフィン特性で説明されているように、任意の接続は自己準同型値を持つ1形式によって他の接続と異なります。この観点から、接続1形式は${\displaystyle A}$はまさに、接続が${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}}$の上${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$些細なつながりとは異なる${\displaystyle d}$の上${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$これは、${\displaystyle U}$は、${\displaystyle E}$。

つながり${\displaystyle \nabla }$ベクターバンドル上${\displaystyle E\to M}$並列輸送の概念を定義する${\displaystyle E}$カーブに沿って${\displaystyle M}$。 させて${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to M} は滑らかなパスで${\displaystyle M}$セクション${\displaystyle s}$の${\displaystyle E}$平行${\displaystyle \gamma }$並列であるとは、

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s=0}$

すべての人々のために${\displaystyle t\in [0,1]}$同様に、プルバックバンドルを考えることもできる。${\displaystyle \gamma ^{*}E}$の${\displaystyle E}$による${\displaystyle \gamma }$これはベクターバンドルです${\displaystyle [0,1]}$ファイバー付き${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$以上${\displaystyle t\in [0,1]}$つながり${\displaystyle \nabla }$の上${\displaystyle E}$接続に戻る${\displaystyle \gamma ^{*}E}$セクション${\displaystyle s}$の ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$並列であるのは、${\displaystyle \gamma ^{*}\nabla (s)=0}$。

仮定する${\displaystyle \gamma }$は、${\displaystyle x}$に${\displaystyle y}$で${\displaystyle M}$平行区間を定義する上記の式は、1階常微分方程式（上記の局所表現を参照）であり、考えられるすべての初期条件に対して一意の解を持ちます。つまり、各ベクトルに対して${\displaystyle v}$で${\displaystyle E_{x}}$独自の並列セクションが存在する${\displaystyle s}$の${\displaystyle \gamma ^{*}E}$と${\displaystyle s(0)=v}$並列輸送マップを定義する

${\displaystyle \tau _{\gamma }:E_{x}\to E_{y}\,}$

による${\displaystyle \tau _{\gamma }(v)=s(1)}$. が示せる。${\displaystyle \tau _{\gamma }}$は線形同型であり、逆写像は逆の経路で同じ手順に従うことで得られる。${\displaystyle \gamma ^{-}}$から${\displaystyle y}$に${\displaystyle x}$。

並列輸送は、接続のホロノミー群を定義するために使用できる。${\displaystyle \nabla }$ある地点を基準として${\displaystyle x}$で${\displaystyle M}$これは、${\displaystyle \operatorname {GL} (E_{x})}$ループから来るすべての並列輸送マップで構成され、${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \mathrm {Hol} _{x}=\{\tau _{\gamma }:\gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.\,}$

接続のホロノミー群は、接続の曲率と密接に関係している（アンブローズ・シンガー 1953 ）。

接続は、並列トランスポート演算子から次のように回復できます。${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$はベクトル場であり、${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ある区間、ある地点で${\displaystyle x\in M}$積分曲線を選択する${\displaystyle \gamma$ :(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M} の場合${\displaystyle X}$で${\displaystyle x}$.各${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$私たちは書きます${\displaystyle \tau _{t}:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$平行移動マップに沿って移動する場合${\displaystyle \gamma }$から${\displaystyle t}$に${\displaystyle 0}$特にすべての${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$、 我々は持っています${\displaystyle \tau _{t}s(\gamma (t))\in E_{x}}$。 それから${\displaystyle t\mapsto \tau _{t}s(\gamma (t))}$ベクトル空間における曲線を定義する${\displaystyle E_{x}}$これは微分可能である。共変微分は次のように復元される。

${\displaystyle \nabla _{X}s(x)={\frac {d}{dt}}\left(\tau _{t}s(\gamma (t))\right)_{t=0}.}$

これは、すべての並列輸送同型性を指定することで、接続の同等な定義が得られることを示している。${\displaystyle \tau _{\gamma }}$繊維の間に${\displaystyle E}$そして上記の表現を定義として${\displaystyle \nabla }$。

接続部の曲率${\displaystyle \nabla }$の上${\displaystyle E\to M}$2形式です${\displaystyle F_{\nabla }}$の上${\displaystyle M}$自己準同型束内の値を持つ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$つまり、

${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} (E))=\Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathrm {End} (E)).}$

それは次の式で定義されます。

${\displaystyle F_{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s}$

どこ${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$接線ベクトル場は${\displaystyle M}$そして${\displaystyle s}$は、${\displaystyle E}$確認しなければならないのは${\displaystyle F_{\nabla }}$は${\displaystyle C^{\infty }(M)}$両方とも線形${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$そしてそれは実際に束自己準同型を定義する${\displaystyle E}$。

前述のように、共変外微分${\displaystyle d_{\nabla }}$作用するときはゼロに二乗する必要はありません${\displaystyle E}$値形式。演算子${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$しかし、厳密にはテンソル的である（つまり${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-線形)。これは、値が の 2 形式から誘導されることを意味します。${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$この2形式は、まさに上記の曲率形式です。${\displaystyle E}$値形式${\displaystyle \sigma }$我々は持っています

${\displaystyle (d_{\nabla })^{2}\sigma =F_{\nabla }\wedge \sigma .}$

平面接続とは、曲率形状が完全にゼロになる接続のことである。

2つの接続が与えられた場合${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$ベクターバンドル上${\displaystyle E\to M}$では、それらがいつ同等とみなされるのかを問うのは自然なことである。ベクトル束の自己同型性には明確な概念が存在する。${\displaystyle E\to M}$セクション${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$が自己同型である場合${\displaystyle u(x)\in \operatorname {End} (E_{x})}$あらゆる点で可逆である${\displaystyle x\in M}$このような自己同型写像​​は、${\displaystyle E}$、すべての自己同型群はゲージ群と呼ばれ、しばしば と表記される。${\displaystyle {\mathcal {G}}}$または${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$ゲージ変換群は、大文字のAの随伴束の切断空間としてきれいに特徴づけることができる。${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$フレームバンドルのベクトルバンドルの${\displaystyle E}$これは小文字のaの随伴束と混同してはならない。${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathcal {F}}(E))}$これは自然に${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$それ自体。バンドル${\displaystyle \operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)}$は、共役表現によって主フレームバンドルに関連付けられたバンドルです。${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r)}$それ自体で、${\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}$繊維は同じ一般的な線状群を持つ${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$どこ${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$フレーム束と同じ繊維を使用しているにもかかわらず、${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$そしてそれと関連して、${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$はフレームバンドルと等しくなく、主バンドル自体とも等しくない。ゲージ群は、以下のように等価的に特徴付けられる。${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)).}$