一般化超幾何関数

次の基本的な恒等式は、高次の超幾何関数を低次の関数の積分で関連付けるため、非常に有用です^{[ 3 ]。}

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt}$

一般化超幾何関数は以下を満たす。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]{\text{ for }}b_{k}\neq 1\end{aligned}}}$

さらに、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}$

これらを組み合わせると、 w = _p F _qが満たす微分方程式が得られます。

${\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w}$。

ザールシュッツの定理^{[ 6 ]} ( Saalschütz 1890 )は

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.}$

この定理の拡張については、Rakha & Rathie の研究論文を参照してください。( Andrews、Askey & Roy 1999 、p. 69)によると、実際には1797 年にPfaffによって最初に発見されました^{。[ 7 ]} 

ディクソンの恒等式^{[ 8 ]}は、ディクソン(1902)によって最初に証明され、 1におけるバランスの取れ_た3F2の合計を与える。

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}$

ディクソンの恒等式の一般化については、Lavoieらの論文を参照してください。

ドゥーガルの公式（ドゥーガル1907 ）は、非常にバランスの取れた、終端的で 2 バランスの取れた数列の和を与えます。 

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}.\end{aligned}}}$

終了とは、mが非負の整数であることを意味し、2 バランスとは、

${\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}$

超幾何関数の特殊値に関する他の多くの公式は、この公式の特殊または極限の場合として導出できます。これは、ダウガル・ラマヌジャン恒等式とも呼ばれます。これはジャクソン恒等式の特殊の場合であり、ディクソン恒等式とザールシュッツの定理を特殊の場合として与えます。^{[ 9 ]}

アイデンティティ1。

${\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}$

どこ

${\displaystyle f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}}$;

アイデンティティ2。

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right),}$

これはベッセル関数を₂ F ₂に結び付けます。これはb = 2 aの場合のクンマーの第 2 式に帰着します。

アイデンティティ3。

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}$。

アイデンティティ4。

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}}$

bdが非負整数であれば、これは有限和となる。

クンマーの関係は

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}$

クラウゼンの公式

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}$

これは、ド・ブランジュがビーバーバッハ予想を証明するために使用した。

前述のとおり、${\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}}$この関数の微分方程式は次のとおりです。${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=w}$解決策がある${\displaystyle w=ke^{z}}$ここでkは定数である。

フォームの機能${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$これらは合流型超幾何極限関数と呼ばれ、ベッセル関数と密接に関連しています。

その関係性は次のとおりです。

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

${\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

この関数の微分方程式は

${\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}$

または

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}$

aが正の整数でない場合、置換

${\displaystyle w=z^{1-a}u,}$

線形独立な解を与える

${\displaystyle z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),}$

したがって、一般的な解決策は

${\displaystyle k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)}$

ここで、k、lは定数である。（aが正の整数の場合、独立解は適切な第2種ベッセル関数によって与えられる。）

特別なケースとしては、以下のものがあります。

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}$

重要な事例としては、以下のものがあります。

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}$

この関数の微分方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}$

または

${\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,}$

解決策がある

${\displaystyle w=k(1-z)^{-a}}$

ここでkは定数である。

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(1;;z)=\sum _{n\geqslant 0}z^{n}=(1-z)^{-1}}$ is the geometric series with ratio z and coefficient 1.

${\displaystyle z~{}_{1}F_{0}(2;;z)=\sum _{n\geqslant 0}nz^{n}=z(1-z)^{-2}}$ is also useful.

The functions of the form ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ are called confluent hypergeometric functions of the first kind, also written ${\displaystyle M(a;b;z)}$. The incomplete gamma function ${\displaystyle \gamma (a,z)}$ is a special case.

The differential equation for this function is

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}{dz}}}$

or

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.}$

When b is not a positive integer, the substitution

${\displaystyle w=z^{1-b}u,}$

gives a linearly independent solution

${\displaystyle z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),}$

so the general solution is

${\displaystyle k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}$

where k, l are constants.

When a is a non-positive integer, −n, ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(-n;b;z)}$ is a polynomial. Up to constant factors, these are the Laguerre polynomials. This implies Hermite polynomials can be expressed in terms of ₁F₁ as well.

Relations to other functions are known for certain parameter combinations only.

The function ${\displaystyle x\;{}_{1}F_{2}\left({\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{4}}\right)}$ is the antiderivative of the cardinal sine. With modified values of ${\displaystyle a_{1}}$ and ${\displaystyle b_{1}}$, one obtains the antiderivative of ${\displaystyle \sin(x^{\beta })/x^{\alpha }}$.^[10]

The Lommel function is ${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{}_{1}F_{2}\left(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)}$.^[11]

The confluent hypergeometric function of the second kind can be written as:^[12]

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\;{}_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;;-{\frac {1}{z}}\right).}$

Historically, the most important are the functions of the form ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$. These are sometimes called Gauss's hypergeometric functions, classical standard hypergeometric or often simply hypergeometric functions. The term Generalized hypergeometric function is used for the functions _pF_q if there is risk of confusion. This function was first studied in detail by Carl Friedrich Gauss, who explored the conditions for its convergence.

The differential equation for this function is

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}{dz}}}$

or

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$

It is known as the hypergeometric differential equation. When c is not a positive integer, the substitution

${\displaystyle w=z^{1-c}u}$

gives a linearly independent solution

${\displaystyle z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),}$

so the general solution for |z| < 1 is

${\displaystyle k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

where k, l are constants. Different solutions can be derived for other values of z. In fact there are 24 solutions, known as the Kummer solutions, derivable using various identities, valid in different regions of the complex plane.

When a is a non-positive integer, −n,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)}$

は多項式です。定数係数とスケーリングを除いて、これらはヤコビ多項式です。定数係数を除いて、他のいくつかの直交多項式のクラスはヤコビ多項式の特殊な場合であるため、これらも₂ F _{1 を}使用して表現できます。これには、ルジャンドル多項式とチェビシェフ多項式が含まれます。

超幾何関数を用いると、初等関数の幅広い積分を表現できます。例:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha }}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha }}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1}{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.}$

超幾何級数${\displaystyle {}_{2}F_{2}}$一般的に、指数関数とべき関数の積の積分と関連付けられます。したがって、指数積分は次のように表すことができます。

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=x{}_{2}F_{2}(1,1;2,2;x)+\ln x+\gamma .}$

モット多項式は次のように書くことができます。^{[ 13 ]}

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}}).}$

機能

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}$

は二重対数である^{[ 14 ]}

さらに、

${\displaystyle _{3}F_{2}(1,1,1+n;2,2;x)={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}{\frac {\operatorname {Li} _{2-k}(x)}{x}}}$、

どこ${\displaystyle {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}}$は、符号なし第一種スターリング数である。 ^{[ 15 ]}

機能

${\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)}$

これはハーン多項式です。

機能

${\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left(-n,a+b+c+d+n-1,a-t,a+t;a+b,a+c,a+d;1\right)}$

はウィルソン多項式です。

5次方程式のすべての根は根号で表すことができ、Bring根号は、の実際の解です。${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$Bring の根号は次のように書くことができます: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\;{}_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-{\frac {3125a^{4}}{256}}\right).}$

分割関数${\displaystyle Z(K)}$外部磁場のない2 次元等方性イジングモデルの は1940 年代にOnsagerによって発見され、次のように表すことができます^{[ 17 ]}

${\displaystyle \ln Z(K)=\ln(2\cosh 2K)-k^{2}{}_{4}F_{3}\left(1,1,{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};2,2,2;16k^{2}\right),}$

と${\displaystyle K={\frac {J}{k_{\mathrm {B} }T}}}$そして${\displaystyle k={\frac {1}{2}}\tanh 2K\,\operatorname {sech} 2K}$。

機能

${\displaystyle \operatorname {Li} _{q}(z)=z\;{}_{q+1}F_{q}\left(1,1,\ldots ,1;2,2,\ldots ,2;z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-p}(z)=z\;{}_{p}F_{p-1}\left(2,2,\ldots ,2;1,1,\ldots ,1;z\right)}$

のために${\displaystyle q\in \mathbb {N} _{0}}$そして${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$は多対数です。

2 以上の任意の整数nに対して、多項式x ⁿ − x +t の根は、 _{n +1} F _n型の超幾何関数の最大N −1個の和として表すことができ、これは常にaとbのパラメータの少なくとも 1 組を消去することによって縮小できます。^{[ 16 ]}