ハンバートシリーズ

数学において、ハンバート級数は、 2変数の 7 つの超幾何級数Φ ₁、 Φ ₂、 Φ ₃、 Ψ ₁、 Ψ ₂、 Ξ ₁、 Ξ ₂のセットであり、1 変数のクンマーの合流型超幾何級数₁ F ₁と1 変数の合流型超幾何極限関数₀ F ₁を一般化します。これらの二重級数の最初のものは、ピエール・ハンバート (1920) によって導入されました。

ハンバート級数 Φ ₁は、| x | < 1 に対して二重級数によって定義されます。

${\displaystyle \Phi _{1}(a,b,c;x,y)=F_{1}(a,b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

ここで、ポッホハマー記号( q ) _nは上昇階乗を表す。

${\displaystyle (q)_{n}=q\,(q+1)\cdots (q+n-1)={\frac {\Gamma (q+n)}{\Gamma (q)}}~,}$

ここで、2 番目の等式はを除くすべての複素数に対して当てはまります。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle q=0,-1,-2,\ldots }$

xの他の値については、関数 Φ _{1 は}解析接続によって定義できます。

ハンバート級数Φ1は₁次元オイラー型積分としても表される。

${\displaystyle \Phi _{1}(a,b,c;x,y)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (ca)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{ca-1}(1-xt)^{-b}e^{yt}\,\mathrm {d} t,\quad \Re \,c>\Re \,a>0~.}$

この表現は、積分関数の テイラー展開とそれに続く項ごとの積分によって検証できます。

同様に、関数 Φ _{2はすべての}x、yに対して次の級数によって 定義されます。

${\displaystyle \Phi _{2}(b_{1},b_{2},c;x,y)=F_{1}(-,b_{1},b_{2},c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

すべてのx、yに対する関数 Φ _{3 を}次の級数で表す:

${\displaystyle \Phi _{3}(b,c;x,y)=\Phi _{2}(b,-,c;x,y)=F_{1}(-,b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

| x | < 1 のときの関数 Ψ _{1 を}次の級数で表す:

${\displaystyle \Psi _{1}(a,b,c_{1},c_{2};x,y)=F_{2}(a,b,-,c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

すべてのx、yに対する関数 Ψ _{2 を}次の級数で表す:

${\displaystyle \Psi _{2}(a,c_{1},c_{2};x,y)=\Psi _{1}(a,-,c_{1},c_{2};x,y)=F_{2}(a,-,-,c_{1},c_{2};x,y)=F_{4}(a,-,c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

関数 Ξ ₁（| x | < 1）を次の級数で表す：

${\displaystyle \Xi _{1}(a_{1},a_{2},b,c;x,y)=F_{3}(a_{1},a_{2},b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{m}(a_{2})_{n}(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}$

そして関数 Ξ ₂に対して | x | < 1 は次の級数で表されます:

${\displaystyle \Xi _{2}(a,b,c;x,y)=\Xi _{1}(a,-,b,c;x,y)=F_{3}(a,-,b,-,c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m}(b)_{m}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~.}$

2 変数の関連する級数にはF ₁、F ₂、F ₃、F ₄の 4 つがあり、これらは1 変数のガウスの超幾何級数 ₂ F _{1 を同様の方法で一般化し、1880 年に}ポール・エミール・アペルによって導入されました。

• ポール・アペル;カンペ・ド・フェリエ、ジョゼフ（1926）。超幾何学および超球面の関数。 Polynômes d'Hermite (フランス語)。パリ：ゴーティエ・ヴィラール。JFM  52.0361.13。（126ページ参照）
• Bateman, H. ; Erdélyi, A. (1953). Higher Transcendental Functions, Vol. I (PDF) . New York: McGraw–Hill. 2011-08-11 にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2012-05-23に取得。（225ページ参照）
• Gradshteyn, イズライル・ソロモノヴィッチ;ヨシフ・モシェヴィッチ・リジク;ジェロニムス、ユーリ・ヴェニアミノヴィッチ;ツェイトリン、ミハイル・ユリエヴィッチ;ジェフリー、アラン (2015) [2014 年 10 月]。 「9.26」。ツウィリンガーでは、ダニエル。モル、ヴィクトル・ユゴー編（編）。インテグラル、シリーズ、および製品の表。 Scripta Technica, Inc. による翻訳 (第 8 版)。Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
• ピエール・アンベール(1920)。 「超円筒形の関数」。Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (フランス語)。171 : 490–492。JFM  47.0348.01。