フォックス・ライト機能

数学において、フォックス・ライト関数（フォックス・ライト・プサイ関数とも呼ばれ、ライト・オメガ関数と混同しないように注意）は、チャールズ・フォックス（1928年）とE・メイトランド・ライト（1935年）のアイデアに基づいた、一般化超幾何関数_p F _q ( z )の一般化である。  

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma (a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$

正規化を変更すると

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}^{*}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]={\frac {\Gamma (b_{1})\cdots \Gamma (b_{q})}{\Gamma (a_{1})\cdots \Gamma (a_{p})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots $\Gamma (a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}}$$$

A _{1... p} = B _{1... q} = 1の場合、 _p F _q ( z )になります。

フォックス・ライト関数は、フォックスH関数の特殊なケースである（Srivastava & Manocha 1984 、p. 50）。 

$${\displaystyle {}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]=H_{p,q+1}^{1,p}\left[-z\left|{\begin{matrix}(1-a_{1},A_{1})&(1-a_{2},A_{2})&\ldots &(1-a_{p},A_{p})\\(0,1)&(1-b_{1},B_{1})&(1-b_{2},B_{2})&\ldots &(1-b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right].}$$

機能全体${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$これはしばしばライト関数と呼ばれる。^{[ 1 ]}これは、$\displaystyle {}_{0}\Psi _{1}\left[\ldots \right]}$フォックス・ライト関数の級数表現は次のようになります。

$${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.}$$

この関数は分数階微積分で広く使われています。${\displaystyle \lim \limits _{\lambda \to 0}W_{\lambda ,\mu }(z)=e^{z}/\Gamma (\mu )}$したがって、ゼロでない${\displaystyle \lambda }$ゼロで${\displaystyle \mu }$これは、そのような文脈における指数関数の最も単純な非自明な拡張である。

3 つの性質は、ライト (1933) の定理 1 ^{[ 2 ]およびエルデリ、ベイトマン プロジェクト、第 3 巻 (1955) [ 3 ]} (p. 212)の 18.1(30–32)で述べられています。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda zW_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&=W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(a)\\[6pt]{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&(b)\\[6pt]\lambda z{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(c)\end{整列}}}$$

式(a)は漸化式です。(b)と(c)は導関数を簡約化する2つの方法を示しています。そして、(c)は(a)と(b)から導き出すことができます。

(c)の特殊なケースは${\displaystyle \lambda =-c\alpha ,\mu =0}$交換${\displaystyle z}$と${\displaystyle -x^{\alpha }}$、 我々は持っています

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x{d \over dx}W_{-c\alpha ,0}(-x^{\alpha })&=&-{\frac {1}{c}}\left[W_{-c\alpha ,-1}(-x^{\alpha })+W_{-c\alpha ,0}(-x^{\alpha })\right]\end{array}}}$$

(a)の特殊なケースは${\displaystyle \lambda =-\alpha ,\mu =1}$交換${\displaystyle z}$と${\displaystyle -z}$、 我々は持っています $${\displaystyle \alpha zW_{-\alpha ,1-\alpha }(-z)=W_{-\alpha ,0}(-z)}$$

2つの表記法、${\displaystyle M_{\alpha }(z)}$そして${\displaystyle F_{\alpha }(z)}$は文献で広く使用されてきた。

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,1-\alpha }(-z),\\[1ex]\implies F_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,0}(-z)=\alpha zM_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

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• 修正半正規分布

• Fox, C. (1928). 「一般化超幾何級数で定義される積分関数の漸近展開」Proc. London Math. Soc . 27 (1): 389– 400. doi : 10.1112/plms/s2-27.1.389 .
• Wright, EM (1935). 「一般化超幾何関数の漸近展開」. J. London Math. Soc . 10 (4): 286–293 . doi : 10.1112/jlms/s1-10.40.286 .
• Wright, EM (1940). 「一般化超幾何関数の漸近展開」Proc. London Math. Soc . 46 (2): 389–408 . doi : 10.1112/plms/s2-46.1.389 .
• ライト、EM（1952）。「一般化超幾何関数の漸近展開」の訂正" . J. London Math. Soc . 27 : 254. doi : 10.1112/plms/s2-54.3.254-s .
• Srivastava, HM; Manocha, HL (1984).母関数に関する論文. E. Horwood. ISBN 0-470-20010-3。
• Miller, AR; Moskowitz, IS (1995). "特定の有理パラメータに対するFox–Wright Psi関数のクラスの縮小" . Computers Math. Applic . 30 (11): 73– 82. doi : 10.1016/0898-1221(95)00165-u .
• Sun, Jingchao; Kong, Maiying; Pal, Subhadip (2021年6月22日). "修正半正規分布: 特性と効率的なサンプリングスキーム" . Communications in Statistics – Theory and Methods . 52 (5): 1591– 1613. doi : 10.1080/03610926.2021.1934700 . ISSN 0361-0926 . S2CID 237919587 .  

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