モット多項式

数学において、モット多項式 s _n ( x )は指数生成関数によって与えられる多項式である。

${\displaystyle e^{x({\sqrt {1-t^{2}}}-1)/t}=\sum _{n}s_{n}(x)t^{n}/n!.}$

これらはネヴィル・フランシス・モットによって導入され、電子理論の問題に適用されました。^[1]

指数関数の因数はべき級数であるので

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {1-t^{2}}}-1}{t}}=-\sum _{k\geq 0}C_{k}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}}$

カタラン数 で表すと、多項式の 前の係数は次のように表される。${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle x^{k}}$

${\displaystyle [x^{k}]s_{n}(x)=(-1)^{k}{\frac {n!}{k!2^{n}}}\sum _{n=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{k}}C_{(l_{1}-1)/2}C_{(l_{2}-1)/2}\cdots C_{(l_{k}-1)/2}}$、一般化されたアペル多項式の一般式によれば、和は を正の奇数に合成したものすべてについてである。 に現れる空の積は1に等しい。 寄与するカタラン数すべてが1に等しい特別な値は、${\displaystyle n=l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{k}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=n=0}$

${\displaystyle [x^{n}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}.}$

${\displaystyle [x^{n-2}]s_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}n(n-1)(n-2)}{2^{n}}}.}$

微分すると、1次導関数の回帰式は次のようになる。

${\displaystyle s'(x)=-\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {n!}{(n-1-2k)!2^{2k+1}}}C_{k}s_{n-1-2k}(x).}$

最初のいくつかは（OEISの配列A137378） である。

${\displaystyle s_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle s_{1}(x)=-{\frac {1}{2}}x;}$

${\displaystyle s_{2}(x)={\frac {1}{4}}x^{2};}$

${\displaystyle s_{3}(x)=-{\frac {3}{4}}x-{\frac {1}{8}}x^{3};}$

${\displaystyle s_{4}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{4};}$

${\displaystyle s_{5}(x)=-{\frac {15}{2}}x-{\frac {15}{8}}x^{3}-{\frac {1}{32}}x^{5};}$

${\displaystyle s_{6}(x)={\frac {225}{8​​}}x^{2}+{\frac {15}{8}}x^{4}+{\frac {1}{64}}x^{6};}$

多項式s _n ( x )は、–2 t /(1–t ² )の関連するシェファー列を形成する^[2]

_{一般化された超幾何}関数 _3F0を用いて明示的に表現すると[ ^3]

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}})}$