4つの超幾何級数のセット
数学において、 アペル 級数は 、ポール・アペル (1880) によって導入され、1 変数の ガウスの超幾何級数 2 F 1を一般化した 2 変数 の 4 つの 超幾何級数 F 1 、 F 2 、 F 3 、 F 4 の集合です。アペルは、これらの 関数が解である 偏微分方程式 の集合を確立し 、1 変数の超幾何級数によるこれらの級数のさまざまな簡約式と表現方法を発見しました。
定義 アペル級数 F 1 は、| x | < 1、| y | < 1 に対して、二重級数によって
定義される。
ふ
1
（ 1つの 、
b
1
、
b
2
; ｃ ; x 、 ええ ） =
∑
メートル 、 ん = 0
∞
（ 1つの
）
メートル + ん
（
b
1
）
メートル
（
b
2
）
ん
（ ｃ
）
メートル + ん
メートル ！ ん ！
x
メートル
ええ
ん
、
{\displaystyle F_{1}(a,b_{1},b_{2};c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
ここで は ポッホハマー記号 である。x と y のその他の値については、 関数 F 1は 解析接続 によって定義できる。 [1]は 次 のように
示すことができる。
（ q
）
ん
{\displaystyle (q)_{n}}
ふ
1
（ 1つの 、
b
1
、
b
2
; ｃ ; x 、 ええ ） =
∑
r = 0
∞
（ 1つの
）
r
（
b
1
）
r
（
b
2
）
r
（ ｃ − 1つの
）
r
（ ｃ + r − 1
）
r
（ ｃ
）
2 r
r ！
x
r
ええ
r
2
ふ
1
（
1つの + r 、
b
1
+ r ; ｃ + 2 r ; x
）
2
ふ
1
（
1つの + r 、
b
2
+ r ; ｃ + 2 r ; ええ
）
。
{\displaystyle F_{1}(a,b_{1},b_{2};c;x,y)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(a)_{r}(b_{1})_{r}(b_{2})_{r}(ca)_{r}}{(c+r-1)_{r}(c)_{2r}r!}}\,x^{r}y^{r}{}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{1}+r;c+2r;x\right){}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{2}+r;c+2r;y\right)~.}
同様に、関数 F 2 は| x | + | y | < 1に対して次の級数
で定義される。
ふ
2
（ 1つの 、
b
1
、
b
2
;
ｃ
1
、
ｃ
2
; x 、 ええ ） =
∑
メートル 、 ん = 0
∞
（ 1つの
）
メートル + ん
（
b
1
）
メートル
（
b
2
）
ん
（
ｃ
1
）
メートル
（
ｃ
2
）
ん
メートル ！ ん ！
x
メートル
ええ
ん
{\displaystyle F_{2}(a,b_{1},b_{2};c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}}
そして、次のこと
が証明されている [2]。
ふ
2
（ 1つの 、
b
1
、
b
2
;
ｃ
1
、
ｃ
2
; x 、 ええ ） =
∑
r = 0
∞
（ 1つの
）
r
（
b
1
）
r
（
b
2
）
r
（
ｃ
1
）
r
（
ｃ
2
）
r
r ！
x
r
ええ
r
2
ふ
1
（
1つの + r 、
b
1
+ r ;
ｃ
1
+ r ; x
）
2
ふ
1
（
1つの + r 、
b
2
+ r ;
ｃ
2
+ r ; ええ
）
。
{\displaystyle F_{2}(a,b_{1},b_{2};c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(a)_{r}(b_{1})_{r}(b_{2})_{r}}{(c_{1})_{r}(c_{2})_{r}r!}}\,x^{r}y^{r}{}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{1}+r;c_{1}+r;x\right){}_{2}F_{1}\left(a+r,b_{2}+r;c_{2}+r;y\right)~.}
また、 | x | < 1、| y | < 1 の関数 F 3 は 、次の級数で定義できます。
ふ
3
（
1つの
1
、
1つの
2
、
b
1
、
b
2
; ｃ ; x 、 ええ ） =
∑
メートル 、 ん = 0
∞
（
1つの
1
）
メートル
（
1つの
2
）
ん
（
b
1
）
メートル
（
b
2
）
ん
（ ｃ
）
メートル + ん
メートル ！ ん ！
x
メートル
ええ
ん
、
{\displaystyle F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2};c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{m}(a_{2})_{n}(b_{1})_{m}(b_{2})_{n}}{(c)_{m+n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~,}
そして関数 F 4 は| x | 1 ⁄ 2 + | y | 1 ⁄ 2 < 1 に対して次の級数で表されます。
F
4
(
a
,
b
;
c
1
,
c
2
;
x
,
y
)
=
∑
m
,
n
=
0
∞
(
a
)
m
+
n
(
b
)
m
+
n
(
c
1
)
m
(
c
2
)
n
m
!
n
!
x
m
y
n
.
{\displaystyle F_{4}(a,b;c_{1},c_{2};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{m+n}(b)_{m+n}}{(c_{1})_{m}(c_{2})_{n}\,m!\,n!}}\,x^{m}y^{n}~.}
再帰関係 ガウスの超幾何級数 2 F 1 と同様に、アペルの二重級数には、隣接する関数間の 再帰関係が 含まれます。たとえば、アペルの F 1 のそのような関係の基本セットは次のように表されます。
(
a
−
b
1
−
b
2
)
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
a
F
1
(
a
+
1
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
b
1
F
1
(
a
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
b
2
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle (a-b_{1}-b_{2})F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)-a\,F_{1}(a+1,b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{1}F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c;x,y)+b_{2}F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c;x,y)=0~,}
c
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
(
c
−
a
)
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
−
a
F
1
(
a
+
1
,
b
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle c\,F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)-(c-a)F_{1}(a,b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a\,F_{1}(a+1,b_{1},b_{2},c+1;x,y)=0~,}
c
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
c
(
x
−
1
)
F
1
(
a
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
(
c
−
a
)
x
F
1
(
a
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle c\,F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)+c(x-1)F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c;x,y)-(c-a)x\,F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,}
c
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
c
(
y
−
1
)
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
;
x
,
y
)
−
(
c
−
a
)
y
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
.
{\displaystyle c\,F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)+c(y-1)F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c;x,y)-(c-a)y\,F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~.}
F1 に有効な 他の関係 [3]は 、 これら4つから導くことができます。
同様に、Appell の F 3 のすべての再帰関係は、次の 5 つのセットから得られます。
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
(
a
1
+
a
2
−
c
)
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
−
a
1
F
3
(
a
1
+
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
−
a
2
F
3
(
a
1
,
a
2
+
1
,
b
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)+(a_{1}+a_{2}-c)F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a_{1}F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1},b_{2},c+1;x,y)-a_{2}F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2},c+1;x,y)=0~,}
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
c
F
3
(
a
1
+
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
b
1
x
F
3
(
a
1
+
1
,
a
2
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{1}x\,F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,}
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
c
F
3
(
a
1
,
a
2
+
1
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
b
2
y
F
3
(
a
1
,
a
2
+
1
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2},c;x,y)+b_{2}y\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~,}
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
+
a
1
x
F
3
(
a
1
+
1
,
a
2
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1}+1,b_{2},c;x,y)+a_{1}x\,F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)=0~,}
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
−
c
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
;
x
,
y
)
+
a
2
y
F
3
(
a
1
,
a
2
+
1
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
+
1
;
x
,
y
)
=
0
.
{\displaystyle c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)-c\,F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}+1,c;x,y)+a_{2}y\,F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)=0~.}
導関数と微分方程式 Appellの F 1 の場合、二重級数による定義から
次の 導関数が得られます。
∂
n
∂
x
n
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
=
(
a
)
n
(
b
1
)
n
(
c
)
n
F
1
(
a
+
n
,
b
1
+
n
,
b
2
,
c
+
n
;
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {\left(a\right)_{n}\left(b_{1}\right)_{n}}{\left(c\right)_{n}}}F_{1}(a+n,b_{1}+n,b_{2},c+n;x,y)}
∂
n
∂
y
n
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
=
(
a
)
n
(
b
2
)
n
(
c
)
n
F
1
(
a
+
n
,
b
1
,
b
2
+
n
,
c
+
n
;
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial y^{n}}}F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {\left(a\right)_{n}\left(b_{2}\right)_{n}}{\left(c\right)_{n}}}F_{1}(a+n,b_{1},b_{2}+n,c+n;x,y)}
定義から、Appellの F 1 は さらに次の2次 微分方程式 系を満たすことがわかります。
x
(
1
−
x
)
∂
2
F
1
(
x
,
y
)
∂
x
2
+
y
(
1
−
x
)
∂
2
F
1
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
−
(
a
+
b
1
+
1
)
x
]
∂
F
1
(
x
,
y
)
∂
x
−
b
1
y
∂
F
1
(
x
,
y
)
∂
y
−
a
b
1
F
1
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{1}(x,y)=0}
y
(
1
−
y
)
∂
2
F
1
(
x
,
y
)
∂
y
2
+
x
(
1
−
y
)
∂
2
F
1
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
−
(
a
+
b
2
+
1
)
y
]
∂
F
1
(
x
,
y
)
∂
y
−
b
2
x
∂
F
1
(
x
,
y
)
∂
x
−
a
b
2
F
1
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{1}(x,y)=0}
F 2 のシステム偏微分方程式 は
x
(
1
−
x
)
∂
2
F
2
(
x
,
y
)
∂
x
2
−
x
y
∂
2
F
2
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
1
−
(
a
+
b
1
+
1
)
x
]
∂
F
2
(
x
,
y
)
∂
x
−
b
1
y
∂
F
2
(
x
,
y
)
∂
y
−
a
b
1
F
2
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{2}(x,y)=0}
y
(
1
−
y
)
∂
2
F
2
(
x
,
y
)
∂
y
2
−
x
y
∂
2
F
2
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
2
−
(
a
+
b
2
+
1
)
y
]
∂
F
2
(
x
,
y
)
∂
y
−
b
2
x
∂
F
2
(
x
,
y
)
∂
x
−
a
b
2
F
2
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial y^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{2}(x,y)=0}
システムには解決策がある
F
2
(
x
,
y
)
=
C
1
F
2
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
1
,
c
2
;
x
,
y
)
+
C
2
x
1
−
c
1
F
2
(
a
−
c
1
+
1
,
b
1
−
c
1
+
1
,
b
2
,
2
−
c
1
,
c
2
;
x
,
y
)
+
C
3
y
1
−
c
2
F
2
(
a
−
c
2
+
1
,
b
1
,
b
2
−
c
2
+
1
,
c
1
,
2
−
c
2
;
x
,
y
)
+
C
4
x
1
−
c
1
y
1
−
c
2
F
2
(
a
−
c
1
−
c
2
+
2
,
b
1
−
c
1
+
1
,
b
2
−
c
2
+
1
,
2
−
c
1
,
2
−
c
2
;
x
,
y
)
{\displaystyle F_{2}(x,y)=C_{1}F_{2}(a,b_{1},b_{2},c_{1},c_{2};x,y)+C_{2}x^{1-c_{1}}F_{2}(a-c_{1}+1,b_{1}-c_{1}+1,b_{2},2-c_{1},c_{2};x,y)+C_{3}y^{1-c_{2}}F_{2}(a-c_{2}+1,b_{1},b_{2}-c_{2}+1,c_{1},2-c_{2};x,y)+C_{4}x^{1-c_{1}}y^{1-c_{2}}F_{2}(a-c_{1}-c_{2}+2,b_{1}-c_{1}+1,b_{2}-c_{2}+1,2-c_{1},2-c_{2};x,y)}
同様に、 F 3 の場合、定義から次の導関数が得られます。
∂
∂
x
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
=
a
1
b
1
c
F
3
(
a
1
+
1
,
a
2
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
+
1
;
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {a_{1}b_{1}}{c}}F_{3}(a_{1}+1,a_{2},b_{1}+1,b_{2},c+1;x,y)}
∂
∂
y
F
3
(
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
=
a
2
b
2
c
F
3
(
a
1
,
a
2
+
1
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
+
1
;
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}F_{3}(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {a_{2}b_{2}}{c}}F_{3}(a_{1},a_{2}+1,b_{1},b_{2}+1,c+1;x,y)}
そして、 F 3 については、次の微分方程式系が得られます。
x
(
1
−
x
)
∂
2
F
3
(
x
,
y
)
∂
x
2
+
y
∂
2
F
3
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
−
(
a
1
+
b
1
+
1
)
x
]
∂
F
3
(
x
,
y
)
∂
x
−
a
1
b
1
F
3
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y{\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{1}+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{3}(x,y)}{\partial x}}-a_{1}b_{1}F_{3}(x,y)=0}
y
(
1
−
y
)
∂
2
F
3
(
x
,
y
)
∂
y
2
+
x
∂
2
F
3
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
−
(
a
2
+
b
2
+
1
)
y
]
∂
F
3
(
x
,
y
)
∂
y
−
a
2
b
2
F
3
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x{\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{2}+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{3}(x,y)}{\partial y}}-a_{2}b_{2}F_{3}(x,y)=0}
F 4 のシステム偏微分方程式 は
x
(
1
−
x
)
∂
2
F
4
(
x
,
y
)
∂
x
2
−
y
2
∂
2
F
4
(
x
,
y
)
∂
y
2
−
2
x
y
∂
2
F
4
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
1
−
(
a
+
b
+
1
)
x
]
∂
F
4
(
x
,
y
)
∂
x
−
(
a
+
b
+
1
)
y
∂
F
4
(
x
,
y
)
∂
y
−
a
b
F
4
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-y^{2}{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b+1)x]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-(a+b+1)y{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-abF_{4}(x,y)=0}
y
(
1
−
y
)
∂
2
F
4
(
x
,
y
)
∂
y
2
−
x
2
∂
2
F
4
(
x
,
y
)
∂
x
2
−
2
x
y
∂
2
F
4
(
x
,
y
)
∂
x
∂
y
+
[
c
2
−
(
a
+
b
+
1
)
y
]
∂
F
4
(
x
,
y
)
∂
y
−
(
a
+
b
+
1
)
x
∂
F
4
(
x
,
y
)
∂
x
−
a
b
F
4
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-x^{2}{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b+1)y]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-(a+b+1)x{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-abF_{4}(x,y)=0}
システムには解決策がある
F
4
(
x
,
y
)
=
C
1
F
4
(
a
,
b
,
c
1
,
c
2
;
x
,
y
)
+
C
2
x
1
−
c
1
F
4
(
a
−
c
1
+
1
,
b
−
c
1
+
1
,
2
−
c
1
,
c
2
;
x
,
y
)
+
C
3
y
1
−
c
2
F
4
(
a
−
c
2
+
1
,
b
−
c
2
+
1
,
c
1
,
2
−
c
2
;
x
,
y
)
+
C
4
x
1
−
c
1
y
1
−
c
2
F
4
(
2
+
a
−
c
1
−
c
2
,
2
+
b
−
c
1
−
c
2
,
2
−
c
1
,
2
−
c
2
;
x
,
y
)
{\displaystyle F_{4}(x,y)=C_{1}F_{4}(a,b,c_{1},c_{2};x,y)+C_{2}x^{1-c_{1}}F_{4}(a-c_{1}+1,b-c_{1}+1,2-c_{1},c_{2};x,y)+C_{3}y^{1-c_{2}}F_{4}(a-c_{2}+1,b-c_{2}+1,c_{1},2-c_{2};x,y)+C_{4}x^{1-c_{1}}y^{1-c_{2}}F_{4}(2+a-c_{1}-c_{2},2+b-c_{1}-c_{2},2-c_{1},2-c_{2};x,y)}
積分表現 アペルの二重級数によって定義される4つの関数は、基本関数 のみを含む 二重積分 で表すことができます （Gradshteyn et al. 2015、§9.184）。しかし、 エミール・ピカール（1881）は、アペルの F 1が 1次元 オイラー 型 積分 としても表せること を発見しました 。
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
,
c
;
x
,
y
)
=
Γ
(
c
)
Γ
(
a
)
Γ
(
c
−
a
)
∫
0
1
t
a
−
1
(
1
−
t
)
c
−
a
−
1
(
1
−
x
t
)
−
b
1
(
1
−
y
t
)
−
b
2
d
t
,
ℜ
c
>
ℜ
a
>
0
.
{\displaystyle F_{1}(a,b_{1},b_{2},c;x,y)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-xt)^{-b_{1}}(1-yt)^{-b_{2}}\,\mathrm {d} t,\quad \Re \,c>\Re \,a>0~.}
この表現は、積分関数の
テイラー展開 とそれに続く項ごとの積分によって検証できます。
特別なケース ピカールの積分表現によれば、 不完全楕円積分 F と E および 完全楕円積分 Π はアペルの F 1 の特別な場合である。
F
(
ϕ
,
k
)
=
∫
0
ϕ
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
=
sin
(
ϕ
)
F
1
(
1
2
,
1
2
,
1
2
,
3
2
;
sin
2
ϕ
,
k
2
sin
2
ϕ
)
,
|
ℜ
ϕ
|
<
π
2
,
{\displaystyle F(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\sin(\phi )\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\quad |\Re \,\phi |<{\frac {\pi }{2}}~,}
E
(
ϕ
,
k
)
=
∫
0
ϕ
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
=
sin
(
ϕ
)
F
1
(
1
2
,
1
2
,
−
1
2
,
3
2
;
sin
2
ϕ
,
k
2
sin
2
ϕ
)
,
|
ℜ
ϕ
|
<
π
2
,
{\displaystyle E(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\sin(\phi )\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}};\sin ^{2}\phi ,k^{2}\sin ^{2}\phi ),\quad |\Re \,\phi |<{\frac {\pi }{2}}~,}
Π
(
n
,
k
)
=
∫
0
π
/
2
d
θ
(
1
−
n
sin
2
θ
)
1
−
k
2
sin
2
θ
=
π
2
F
1
(
1
2
,
1
,
1
2
,
1
;
n
,
k
2
)
.
{\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}={\frac {\pi }{2}}\,F_{1}({\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {1}{2}},1;n,k^{2})~.}
2 変数の関連する級数は Φ 1 、 Φ 2 、 Φ 3 、 Ψ 1 、 Ψ 2 、 Ξ 1 、および Ξ 2 の 7 つあり、これらは 1 変数の クンマーの合流型超幾何関数 1 F 1と 1 変数の 合流型超幾何極限関数 0 F 1 を同様の方法で一般化します。これらの最初の級数は1920 年に ピエール・ハンバート によって導入されました。 ジュゼッペ・ラウリチェッラ (1893) は、アペル級数に類似した 4 つの関数を定義しましたが、これらの関数は、 x と y の2 つの変数だけではなく、多くの変数に依存します。これらの級数もアペルによって研究されました。これらの級数は、特定の偏微分方程式を満たし、オイラー型積分と 輪郭積分 で表すこともできます 。
参考文献
^ Burchnall & Chaundy (1940)、式 (30) を参照。 ^ Burchnall & Chaundy (1940)、式 (26) または Erdélyi (1953)、式 5.12(9) を参照。 ^ 例えば、
(
y
−
x
)
F
1
(
a
,
b
1
+
1
,
b
2
+
1
,
c
,
x
,
y
)
=
y
F
1
(
a
,
b
1
,
b
2
+
1
,
c
,
x
,
y
)
−
x
F
1
(
a
,
b
1
+
1
,
b
2
,
c
,
x
,
y
)
{\displaystyle (y-x)F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2}+1,c,x,y)=y\,F_{1}(a,b_{1},b_{2}+1,c,x,y)-x\,F_{1}(a,b_{1}+1,b_{2},c,x,y)}
ポール、アペル (1880)。 「変数の超幾何学シリーズと、分化された線形の違いの超解法」。 Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (フランス語)。 90 : 296–298 および 731–735。 JFM 12.0296.01。 ( CR Acad. Sci. 90 、pp. 977–980の「Sur la série F 3 (α,α',β,β',γ; x,y)」 も参照) ポール、アペル (1882)。 「超幾何学関数の詳細な変数」。 Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 。 (3ème série) (フランス語)。 8 : 173–216。 2013 年 4 月 12 日のオリジナルからアーカイブ。 アペル、ポール。 カンペ・ド・フェリエ、ジョゼフ （1926）。 超幾何学および超球面の関数。 Polynômes d'Hermite (フランス語)。パリ：ゴーティエ・ヴィラール。 JFM 52.0361.13。 （14ページ参照） Askey, RA; Olde Daalhuis, AB (2010)、「Appell シリーズ」、 Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、 NIST Handbook of Mathematical Functions 、Cambridge University Press、 ISBN 978-0-521-19225-5 、 MR 2723248 。 Burchnall, JL; Chaundy, TW ( 1940)。「Appell の二重超幾何関数の展開」 。QJ Math 。第 1 シリーズ。11 : 249–270。doi :10.1093/qmath/os-11.1.249。 Erdélyi, A. (1953). 高等超越関数、第1巻 (PDF) . ニューヨーク: McGraw-Hill. （224ページ参照） Gradshteyn, イズライル・ソロモノヴィッチ ; ヨシフ・モシェヴィッチ・リジク ; ジェロニムス、ユーリ・ヴェニアミノヴィッチ ; ツェイトリン、ミハイル・ユリエヴィッチ ;ジェフリー、アラン (2015) [2014 年 10 月]。 「9.18」。ツウィリンガーでは、ダニエル。 モル、ヴィクトル・ユーゴー （編）。 インテグラル、シリーズ、および製品の表 。 Scripta Technica, Inc. による翻訳 (第 8 版)。 Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276. ピエール・アンベール (1920)。 「超円筒形の関数」。 Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (フランス語)。 171 : 490–492。 JFM 47.0348.01。 ラウリセラ、ジュゼッペ (1893)。 「さまざまな幾何学的な機能」。 レンディコンティ デル チルコロ マテマティコ ディ パレルモ (イタリア語)。 7 : 111–158。 土井 ：10.1007/BF03012437。 JFM 25.0756.01。 S2CID 122316343。 ピカード、エミール (1881)。 「リーマン相対的な超幾何学的関数を拡張し、変数を二重に拡張する」。 高等師範科学誌 。セリエ 2 (フランス語)。 10 ：305–322。 土井 ： 10.24033/asens.203 。 JFM 13.0389.01。 （ CR Acad. Sci. 90 (1880)、pp. 1119–1121および1267–1269 も参照） スレーター、ルーシー・ジョーン (1966)。 一般化された超幾何関数 。ケンブリッジ、イギリス:ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 0-521-06483-X MR 0201688 。 （2008年にISBN 978-0-521-09061-2 のペーパーバックが出版されています ）
外部リンク 
![{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{1}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8706133888a0e338e4de551a4972366985207f9d)
![{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{1}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{1}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{1}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bff5fa0629d1a666987c3de41c19c844051e462)
![{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial x}}-b_{1}y{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial y}}-ab_{1}F_{2}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d21a04bed4e7413e8920bbc7f497839ce1d825d)
![{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial y^{2}}}-xy{\frac {\partial ^{2}F_{2}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial y}}-b_{2}x{\frac {\partial F_{2}(x,y)}{\partial x}}-ab_{2}F_{2}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65ead117e29aac6a889284b1053fefc246ebac8)
![{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x^{2}}}+y{\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{1}+b_{1}+1)x]{\frac {\partial F_{3}(x,y)}{\partial x}}-a_{1}b_{1}F_{3}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424d663fa4f5968774d6161e1e71b0b266e9e32d)
![{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial y^{2}}}+x{\frac {\partial ^{2}F_{3}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c-(a_{2}+b_{2}+1)y]{\frac {\partial F_{3}(x,y)}{\partial y}}-a_{2}b_{2}F_{3}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6536613b1adff04079e9165521549cf56d2dabdf)
![{\displaystyle x(1-x){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-y^{2}{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{1}-(a+b+1)x]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-(a+b+1)y{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-abF_{4}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c1762747b2fa7376e0fb2c8021f60a750a0531)
![{\displaystyle y(1-y){\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial y^{2}}}-x^{2}{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x^{2}}}-2xy{\frac {\partial ^{2}F_{4}(x,y)}{\partial x\partial y}}+[c_{2}-(a+b+1)y]{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial y}}-(a+b+1)x{\frac {\partial F_{4}(x,y)}{\partial x}}-abF_{4}(x,y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d908adf62352b754c3f772f24b2a81e342a67ddc)
