ハーン多項式

数学において、ハーン多項式は、 1875 年にパフヌティ・チェビシェフによって導入され(チェビシェフ 1907 ) 、ヴォルフガング・ハーンによって再発見された(ハーン 1949 )超幾何直交多項式のAskey スキームにおける直交多項式の族である。ハーン クラスは、ハーン多項式、メクスナー多項式、クラウチュク多項式、シャルリエ多項式など、ハーン多項式の特殊な場合を表す名称である。ハーン クラスは、これらの多項式の極限の場合も含むと解釈される場合があり、その場合は古典的な直交多項式も含まれる。

ハーン多項式は、一般化超幾何関数を用いて次のように定義される。

${\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+\alpha +\beta +1;\alpha +1,-N+1;1).\ }$

Roelof Koekoek、Peter A. Lesky、およびRené F. Swarttouw ( 2010、14 )は、彼らの所有する不動産の詳細なリストを提示している。 

もし${\displaystyle \alpha =\beta =0}$これらの多項式は、スケールファクターを除いて離散チェビシェフ多項式と同一である。

密接に関連する多項式には、双対ハーン多項式R _n ( x ;γ,δ, N )、連続ハーン多項式p _n ( x , a , b , a , b )、および連続双対ハーン多項式S _n ( x ; a , b , c ) があります。これらの多項式はすべて、q-ハーン多項式Q _n ( x ;α,β, N ; q )など、追加のパラメータqを持つq-類似の多項式を持っています。

${\displaystyle \sum _{x=0}^{N-1}Q_{n}(x)Q_{m}(x)\rho (x)={\frac {1}{\pi _{n}}}\delta _{m,n},}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}Q_{n}(x)Q_{n}(y)\pi _{n}={\frac {1}{\rho (x)}}\delta _{x,y}}$

ここで、δ _x,yはクロネッカーのデルタ関数であり、重み関数は

${\displaystyle \rho (x)=\rho (x;\alpha$ ;\beta ,N)={\binom {\alpha +x}{x}}{\binom {\beta +N-1-x}{N-1-x}}/{\binom {N+\alpha +\beta }{N-1}}}

そして

${\displaystyle \pi _{n}=\pi _{n}(\alpha ,\beta ,N)={\binom {N-1}{n}}{\frac {2n+\alpha +\beta +1}{\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (\beta +1,n+\alpha +1,n+\alpha +\beta +1)}{\Gamma (\alpha +1,\alpha +\beta +1,n+\beta +1,n+1)}}/{\binom {N+\alpha +\beta +n}{n}}}$。

• ラカー多項式はハーン多項式の一般化である。

• Chebyshev, P. (1907)、「Sur l'interpolation des valeurs équidistantes」、Markoff, A.。 Sonin, N. (編)、Oeuvres de PL Tchebychef、vol. 2、219 ～  242ページ、チェルシーより転載 
• Hahn、Wolfgang (1949)、「Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen」、Mathematische Nachrichten、2 : 4–34、doi : 10.1002/mana.19490020103、ISSN 0025-584X、MR 0030647  
• ロエロフ・コエコーク。レスキー、ピーター A. Swarttouw、René F. (2010)、Hypergeometric orthogonal Polynomials and their q-analogues、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi : 10.1007/978-3-642-05014-5、ISBN 978-3-642-05013-8MR 2656096​ 
• コーンワインダー、トム H.ウォン、ロデリック SC。ロエロフ・コエコーク。 Swarttouw、René F. (2010)、「Hahn Class: Definitions」、Olver、Frank WJ ;ロジエ、ダニエル M.ボワヴェール、ロナルド F. Charles W. Clark (編)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ 。