ローカライズサブカテゴリ

数学において、セールおよび局所化サブカテゴリは、アーベルカテゴリのサブカテゴリの重要なクラスを形成します。局所化サブカテゴリは、特定のセール サブカテゴリです。これらは、商カテゴリの概念と強く結びついています。

をアーベル圏とします。空でない完全なサブカテゴリは、オブジェクト内のすべての短完全列に対してが に属する場合、 およびオブジェクトが に属する場合に限り、セールサブカテゴリ(または稠密サブカテゴリ)と呼ばれます。つまり、 はサブオブジェクト、商オブジェクト、および拡大の下で閉じています。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle 0\rightarrow A'\rightarrow A\rightarrow A''\rightarrow 0}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A''}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

の各セール部分圏はそれ自体がアーベル圏であり、包含関手は正確です。この概念の重要性は、アーベル圏間の正確関手の核がセール部分圏であること、および（局所的に小さい に対して）商圏（ガブリエル、グロタンディーク、セールの意味で）を構築できることに由来しています。商圏は と同じオブジェクトを持ち、アーベルであり、核が である正確関手（商関手と呼ばれる）が付属しています。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle T\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

が局所的に小さいとします。商関数が 右随伴関数を持つ 場合、セール部分圏は局所化と呼ばれます。この場合、左随伴関数 は余極限を保存するので、各局所化部分圏は余極限 に関して閉じています。関数(または の場合もあります) は、局所化関数、およびセクション関数とも呼ばれます。セクション関数は左完全かつ完全に忠実です。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle T\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle ST}$${\displaystyle S}$

さらにアーベル圏が共完備で 、入射包を持つ場合（たとえばグロタンディーク圏の場合）、セール部分圏は、任意の余積（つまり直和）の下で閉じている場合に限り局所化されます 。したがって、局所化部分圏の概念は、遺伝的捩れ類の概念と同等です。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

がグロタンディーク圏であり、局所化サブ圏である場合、および商圏は 再びグロタンディーク圏になります。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$

ガブリエル-ポペスクの定理は、すべてのグロタンディーク圏が、局所化サブカテゴリを法とする 加群カテゴリ （適切な環を持つ）の商カテゴリであることを意味します。${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$${\displaystyle R}$

• ジローサブカテゴリ

• Nicolae Popescu ; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules ; Academic Press, Inc.; 絶版。