対角射影

数学の一分野である圏論では、積が存在するあらゆる圏のあらゆる対象に対して、対角射が存在する^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle a\times a}$

${\displaystyle \delta _{a}:a\rightarrow a\times a}$

満足のいく

${\displaystyle \pi _{k}\circ \delta _{a}=\operatorname {id} _{a}}$のために${\displaystyle k\in \{1,2\},}$

ここで、 は- 番目の成分への標準射影写像です。この写像の存在は、積を特徴付ける普遍的性質 (同型まで)の結果です。ここで 2 項積に制限しているのは表記を簡単にするためです。対角写像は任意の積に対して同様に存在します。直積のサブセットとしての集合のカテゴリにおける対角写像の像は、定義域上の関係、つまり等式です。 ${\displaystyle \pi_{k}}$${\displaystyle k}$

具体的なカテゴリの場合、対角射は、オブジェクト の要素への作用によって簡単に記述できます。つまり、はから形成される順序付きペアです。この名前の理由は、そのような対角射の像が(意味をなす場合は常に) 対角であるためです。たとえば、実数直線上の対角射の像は、方程式 のグラフである直線によって与えられます。無限積への対角射は、に値を持つシーケンスの空間への注入を提供する場合があります。各要素は、その要素での定数シーケンスにマップされます。ただし、シーケンス空間のほとんどの概念には、対角マップの像が満たせない 収束制約があります。${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \delta _{a}(x)=\langle x,x\rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle X^{\infty}}$${\displaystyle X}$

対角射の双対概念は共対角射である。共積が存在するカテゴリ内のすべてのオブジェクトに対して、共対角^{[3] [2] [7] [5] [6]}は標準射である。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle b\sqcup b}$

${\displaystyle \delta _{b}\colon b\sqcup b{\stackrel {[Id,Id]}{\to }}b}$

満足のいく

${\displaystyle \delta _{b}\circ \tau _{l}=\operatorname {id} _{b}}$のために${\displaystyle l\in \{1,2\}.}$

ここで、は- 番目の成分への注入射です。 ${\displaystyle \tau_{l}}$${\displaystyle l}$

をカテゴリ内の射とし、その押し出しがエピモーフィズムである場合、かつその場合のみ、余対角線は同型となる。^[8]${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• 対角関数
• 対角埋め込み
• wikibooks:圏論/(余)錐と(余)極限

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