本質的に有限なベクトル束

数学において、本質的に有限なベクトル束は、 Madhav V. Nori ^{[1] [2]}によって定義された特別な種類のベクトル束であり、基本群スキームの構築における主要なツールです。定義が直感的ではないとしても、本質的に有限なベクトル束を代数幾何学で研究するための非常に自然な対象にする優れた特徴付けがあります。有限ベクトル束の次の概念は、 André Weilによるもので、本質的に有限なベクトル束を定義するために必要になります。

をスキームとし、をベクトルバンドルとする。非負の係数を持つ積分多項式に対して、次のように定義する。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}[x]}$

${\displaystyle f(V):={\mathcal {O}}_{X}^{\oplus a_{0}}\oplus V^{\oplus a_{1}}\oplus \left(V^{\otimes 2}\right)^{\oplus a_{2}}\oplus \ldots \oplus \left(V^{\otimes n}\right)^{\oplus a_{n}}}$

が に同型となる2つの異なる多項式が存在する場合、は有限であるといわれます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle f,g\in \mathbb {Z} _{\geq 0}[x]}$${\displaystyle f(V)}$${\displaystyle g(V)}$

が完全体上の簡約された連結かつ適切なスキームである 場合、次の 2 つの定義は一致します。${\displaystyle X}$

ベクトル束が本質的に有限であるとは、それが有限ベクトル束である射の核である場合である。 ^[3]${\displaystyle u:F_{1}\to F_{2}}$${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

ベクトル束が本質的に有限であるとは、ノリ半安定ベクトル束のカテゴリにおける有限ベクトル束の部分商であることを意味する。 ^[1]

• を、切断を備えた完全体上の簡約かつ連結なスキームとします。このとき、上のベクトル束が本質的に有限であるための必要十分条件は、 が上で自明になるような有限群スキームと-トルソーが存在する場合です(つまり、 の場合) 。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle x\in X(k)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p:P\to X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p^{*}(V)\cong O_{P}^{\oplus r}}$${\displaystyle r=rk(V)}$

• が点を持つ完全体上の簡約された連結な適切なスキームである場合、通常のテンソル積、自明なオブジェクト、ファイバー関手を備えた本質的に有限なベクトル束のカテゴリは、 Tannakianカテゴリです。${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X(k)}$${\displaystyle EF(X)}$${\displaystyle \otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle x^{*}}$

• タナキアンカテゴリに自然に関連付けられた-アフィン群スキームは、基本群スキームと呼ばれます。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$${\displaystyle EF(X)}$