アーベル圏の商

数学 において、アーベル圏をセール部分圏で割った商（セール商またはガブリエル商とも呼ばれる）は、直感的には、 のすべてのオブジェクトを無視する（つまり、ゼロとして扱う）ことによってから得られるアーベル圏である。を核とする正規完全関数が存在し、これはある意味でこの特性を持つ最も一般的なアーベル圏である。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$

したがって、アーベル圏のセール商を形成することは、群の商を形成することに形式的に類似しています。セール商は商圏に多少似ていますが、違いは、セール商では、関係するすべての圏がアーベルであり、すべての関数が正確であることです。セール商は、特にセール部分圏が を局所化する場合、圏の局所化の特性を持つこともよくあります。

形式的には、は、その対象が であり、XからYへの射が（アーベル群の） 直接極限によって与えられるカテゴリである。${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle \mathrm {Hom} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}(X,Y):=\varinjlim \mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X ',Y/Y')}$$

ここで、極限はおよび となるサブオブジェクト およびに対して取られます。(ここで、および はで計算される商オブジェクトを表します。) これらのサブオブジェクトのペアは によって順序付けられます。 ${\displaystyle X'\subseteq X}$${\displaystyle Y'\subseteq Y}$${\displaystyle X/X'\in {\cal {B}}}$${\displaystyle Y'\in {\cal {B}}}$${\displaystyle X/X'}$${\displaystyle Y/Y'}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle (X',Y')\preccurlyeq (X'',Y'')\Longleftrightarrow X''\subseteq X'{\text{ および }}Y'\subseteq Y''}$

における射の合成は、直接極限の 普遍的性質によって誘導されます。${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$

標準関数は、オブジェクトX をそれ自身に送信し、 X′ = X およびY′ = 0である直接極限の対応する要素に射を送信します。 ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$

商圏の別の同等な構成では、いわゆる「分数の計算」を使用して の射を定義します。ここでは、核と余核の両方が に属する射のクラスから始めます。これはガブリエル-ジスマンの意味での乗法システムであり、系にカテゴリを局所化してを得ることができます。^[1]${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}:={\mathcal {A}}[S^{-1}]}$

を体とし、上のすべてのベクトル空間のアーベル圏を考えます。すると、有限次元ベクトル空間の完全なサブカテゴリはのセールサブカテゴリになります。セール商は-ベクトル空間をオブジェクトとして持ち、から への射の集合はです(これはベクトル空間 の商です)。これは、すべての有限次元ベクトル空間を 0 と同一視し、2 つの線型写像の差が有限次元像を持つ場合は常にその 2 つの線型写像を同一視するという効果があります。この例は、セール商が商カテゴリのように振る舞うことができることを示しています。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle {\rm {Mod}}(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\rm {mod}}(k)}$${\displaystyle {\rm {Mod}}(k)}$${\displaystyle {\cal {{C}={\rm {Mod}}(k)/{\rm {mod}}(k)}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\cal{C}}}$$${\displaystyle \{k{\text{-線形写像 }}X{\text{ から }}Y{\text{ へ\}/\{k{\text{-線形写像 }}X{\text{ から }}Y{\text{ へ有限次元画像で}}\}}$$

別の例として、すべてのアーベル群のアーベル圏Abとすべての捩れアーベル群のセール部分圏を取ります。ここでのセール商は、でテンソル化することによって与えられる標準関数を持つ、有理数上のすべてのベクトル空間の圏に相当します。同様に、有限生成アーベル群の圏の有限生成捩れ群の部分圏によるセール商は、 上の有限次元ベクトル空間の圏に相当します。^[2]ここで、セール商は局所化のように動作します。 ${\displaystyle \operatorname {Mod} ({\mathbb {Q}})}$${\displaystyle \mathbf {Ab} \to \operatorname {Mod} ({\mathbb {Q}})}$${\displaystyle {\mathbb {Q}}}$${\displaystyle {\mathbb {Q}}}$

セール商はアーベル圏であり、標準関数はオブジェクト上で正確かつ射影的です。 の核は、つまり がに属する場合のみで0になります。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$${\displaystyle Q\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Q(X)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

セール商と標準関数は、次の普遍的性質によって特徴付けられる。が任意のアーベル圏であり、 が各オブジェクト に対してが零となるような完全関数である場合、となる唯一の完全関数が存在する。^[3]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F(X)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\overline {F}}\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle F={\overline {F}}\circ Q}$

3つのアーベル圏、、が 与えられると、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {B}}\cong {\mathcal {C}}}$

もし、もし、

正確かつ本質的に射影的な関手が存在し、その核はおよびであり、内の任意の射に対して内の射およびが存在するので、は同型であり、である。${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle f:FX\to FY}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \phi :W\to X}$${\displaystyle \psi :W\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle F\phi }$${\displaystyle f=(F\psi)\circ(F\phi)^{-1}}$

ジャン＝ピエール・セールの定理によれば、射影スキーム（ここで は可換ノイザン次数環であり、非負整数で次数付けされ、次数0と有限個の次数1の元で生成され、Proj構成を参照する）上の連接層のカテゴリは、セール商として記述できる。 ${\displaystyle \operatorname {coh} (X)}$${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {プロジェクト} (R)}$

$${\displaystyle \operatorname {coh} (X)\cong \operatorname {mod} ^{\mathbb {Z}}(R)\ /\ \operatorname {mod} _{\mathrm {tor} }^{\mathbb {Z}}(R)}$$

ここで、は上の有限生成次数付き加群のカテゴリを表し、は十分に高いすべての次数で 0 であるすべての次数付き加群からなるセール部分カテゴリです。つまり、すべての に対してとなる が存在するということです。^{[4] [5]}${\displaystyle \operatorname {mod} ^{\mathbb {Z}}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {mod} _{\mathrm {tor} }^{\mathbb {Z}}(R)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n_{0}\in {\mathbb {N}}}$${\displaystyle M_{n}=0}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$

がネーターでない場合でも、上の準連接層のカテゴリに対して同様の記述が存在します。 ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$${\displaystyle R}$

ガブリエル・ポペスクの定理は、任意のグロタンディーク圏は 形式のセール商に同値であると述べている。ここで、は単位環上の右加群のアーベル圏を表し、はの局所化部分圏を表す。^[6]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)/{\cal {B}}}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\cal {B}}}$${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$

ダニエル・キレンの代数的K理論は、各完全カテゴリ にアーベル群の列を割り当て、この割り当ては において関数的である。キレンは、 がアーベルカテゴリのセール部分カテゴリである場合、形式の長い完全列が存在することを証明した^[7]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle K_{n}({\mathcal {C}}),\ n\geq 0}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle \cdots \to K_{n}({\mathcal {B}})\to K_{n}({\mathcal {A}})\to K_{n}({\mathcal {A/B}})\to K_{n-1}({\mathcal {B}})\to \cdots \to K_{0}({\mathcal {A/B}})\to 0}$$