ウィッテン索引

量子場理論および統計力学において、逆温度βにおけるウィッテン指数は、標準分配関数の修正として定義される。

${\displaystyle {\textrm {Tr}}[(-1)^{F}e^{-\beta H}]}$

(-1) ^F演算子に注目してください。ここで F はフェルミオン数演算子です。これが通常の分配関数と異なる点です。これはスペクトル非対称性と呼ばれることもあります。

超対称性理論では、各非ゼロエネルギー固有値には、同数のボソン状態とフェルミオン状態が含まれる。このため、ウィッテン指数は温度に依存せず、ゼロエネルギーのボソン真空状態の数からゼロエネルギーのフェルミオン真空状態の数を引いた値となる。特に、超対称性が自発的に破れると、ゼロエネルギーの基底状態は存在せず、ウィッテン指数はゼロとなる。

多様体上の超対称シグマモデルのウィッテン指数は、多様体のオイラー標数によって与えられる。^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\textrm {Tr}}[(-1)^{F}e^{-\beta H}]=\sum _{p\in \mathbb {Z} }(-1)^{p}b_{p}=\chi (M)\ .}$

これは準位相量の一例であり、ラグランジアンのD項ではなくF項のみに依存する量である。2次元理論におけるより洗練された不変量は、フェルミオン数演算子の右移動部分と2パラメータ族の変分のみを使用して構築され、楕円種数である。

• 確率力学の超対称理論
• 位相秩序

• エドワード・ウィッテン「超対称性の破れに対する制約」、Nucl. Phys. B202 (1982) 253-316