カイラルモデル

原子核物理学において、1960年にフェザ・ギュルセイが導入したカイラル模型は、カイラル極限（クォークの質量がゼロになる極限）における中間子の有効相互作用を記述する現象論的モデルであるが、必ずしもクォークについては全く言及していない。これは、リー群の主同次空間をその標的多様体とする非線形シグマ模型である。このモデルが最初に導入されたとき、このリー群はSU( N )であり、Nはクォークのフレーバーの数である。標的多様体のリーマン計量は、SU( N )のマウラー・カルタン形式に作用するキリング形式に正の定数を乗じて与えられる。 ${\displaystyle G}$

このモデルの内部グローバル対称性は、それぞれ左コピーと右コピー であり、左コピーはターゲット空間に対する左作用として作用し、右コピーは右作用として作用します。現象的には、左コピーは左利きのクォーク間のフレーバー回転を表し、右コピーは右利きのクォーク間の回転を表しますが、これら L と R は互いに完全に独立しています。これらの対称性の軸部分は自発的に破れ、対応するスカラー場は必要なNambu-Goldstone ボソンになります。 ${\displaystyle G_{L}\times G_{R}}$

このモデルは後に、2次元の場合に積分可能なシステム、特に積分可能な場の理論として研究されました。その積分可能性は、1982年にファデエフとレシェティキンによって量子逆散乱法によって示されました。2次元の主要なカイラルモデルは、ラックス対/ゼロ曲率定式化、無限数の対称性、および基礎となる量子群の対称性（この場合はヤン対称性）などの積分可能性の特徴を示しています。

このモデルは、スキルミオンと呼ばれる位相ソリトンを許容します。

正確なカイラル対称性からの逸脱はカイラル摂動論で扱われます。

多様体（時空とみなされる） Mと選択されたコンパクト リー群 G上で、場の内容は関数 です。これは、関連する場、つまりマウラー・カルタン形式である- 値ベクトル場（実際は共ベクトル場）を定義します。主カイラル モデルは、が無次元結合 であるラグランジアン密度によって定義されます。微分幾何学的言語では、場は、Mの主同次空間に同型のファイバーを持つ主バンドルのセクションです（これが主カイラル モデルを定義する理由です）。 ${\displaystyle U:M\rightarrow G}$${\displaystyle j_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (\partial _{\mu }U^{-1}\partial ^{\mu }U) =-{\frac {\kappa }{2}}\mathrm {tr} (j_{\mu }j^{\mu }),}$$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi :P\rightarrow M}$

ギュルゼー（1960年、ゲルマンとレヴィも参照）のカイラルモデルは、現在では2つの軽いクォークuとdを持つQCDの有効な理論であると認識されている。QCDラグランジアンは、左巻きと右巻きのクォーク場の独立したグローバルフレーバー回転に対してほぼ不変である。

${\displaystyle {\begin{cases}q_{L}\mapsto q_{L}'=Lq_{L}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{L}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{L}\\q_{R}\mapsto q_{R}'=Rq_{R}=\exp {\left(-i{\boldsymbol {\theta }}_{R}\cdot {\tfrac {\boldsymbol {\tau }}{2}}\right)}q_{R}\end{cases}}}$

ここで、τはフレーバー空間におけるパウリ行列を表し、θ _L、θ _{R は}対応する回転角です。

対応する対称群はカイラル群であり、6つの保存電流によって制御される。 ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$

${\displaystyle L_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{L}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{L},\qquad R_{\mu }^{i}={\bar {q}}_{R}\gamma _{\mu }{\tfrac {\tau ^{i}}{2}}q_{R},}$

これはベクトル電流と軸ベクトル電流で同様に表現できる。

${\displaystyle V_{\mu }^{i}=L_{\mu }^{i}+R_{\mu }^{i},\qquad A_{\mu }^{i}=R_{\mu }^{i}-L_{\mu }^{i}.}$

対応する保存電荷はカイラル群の代数を生成する。

${\displaystyle \left[Q_{I}^{i},Q_{I}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{I}^{k}\qquad \qquad \left[Q_{L}^{i},Q_{R}^{j}\right]=0,}$

ここで、I=L,R、または、同等に、

${\displaystyle \left[Q_{V}^{i},Q_{V}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{A}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{V}^{k},\qquad \left[Q_{V}^{i},Q_{A}^{j}\right]=i\epsilon ^{ijk}Q_{A}^{k}.}$

1970 年代初頭には、 これらの交換関係をハドロン反応に適用することが、現在の代数計算の主流となっていました。

カイラル模型の範囲であるハドロン、擬スカラー中間子のレベルでは、カイラル群はQCD真空によって自発的にに分解されます。つまり、南部-ゴールドストーンモードでは非線形 に実現されます。Q _{V は}真空を消滅させますが、Q _{A は}消滅させません。これは、 のリー代数が SO(4) のリー代数と同型であるという事実に基づく幾何学的議論によってうまく視覚化されます。線形ウィグナー-ワイルモードで実現される壊れていない部分群は で、これは局所的に SU(2) (V: アイソスピン) と同型です。 ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{V}}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}}$${\displaystyle {\text{SO}}(3)\subset {\text{SO}}(4)}$

SO(4)の非線形実現を構築するには、ベクトルの4次元回転を記述する表現

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}\pi _{1}\\\pi _{2}\\\pi _{3}\\\sigma \end{pmatrix}},}$

6つの角度でパラメータ化された微小回転の場合

${\displaystyle \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3,}$

は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}{\stackrel {SO(4)}{\longrightarrow }}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {\pi }}'}\\\sigma '\end{pmatrix}}=\left[\mathbf {1} _{4}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}+\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}\right]{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\pi }}\\\sigma \end{pmatrix}}}$

どこ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{V}V_{i}={\begin{pmatrix}0&-\theta _{3}^{V}&\theta _{2}^{V}&0\\\theta _{3}^{V}&0&-\theta _{1}^{V}&0\\-\theta _{2}^{V}&\theta _{1}^{V}&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\qquad \qquad \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}^{A}A_{i}={\begin{pmatrix}0&0&0&\theta _{1}^{A}\\0&0&0&\theta _{2}^{A}\\0&0&0&\theta _{3}^{A}\\-\theta _{1}^{A}&-\theta _{2}^{A}&-\theta _{3}^{A}&0\end{pmatrix}}.}$

4 つの実数( π、σ )は、最小の非自明なカイラル多重項を定義し、線形シグマ モデルのフィールド内容を表します。

SO(4)の上記の線形実現から非線形実現に切り替えると、実際には( π、σ )の4つの成分のうち3つだけが4次元回転に関して独立していることに気づく。これらの3つの独立した成分は、πとσが制約を受ける超球面S 3 上の座標に対応して いる^。

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}^{2}+\sigma ^{2}=F^{2},}$

F a (パイ中間子崩壊)は質量次元定数です。

これを利用してσを消去すると、 SO(4)の下でのπの次の変換特性が得られる 。

${\displaystyle {\begin{cases}\theta ^{V}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{V}\times {\boldsymbol {\pi }}\\\theta ^{A}:{\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}'={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}^{A}{\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\end{cases}}\qquad {\boldsymbol {\theta }}^{V,A}\equiv \left\{\theta _{i}^{V,A}\right\},\qquad i=1,2,3.}$

2 番目の式の右側にある非線形項 ( π のシフト) は、SO(4) の非線形実現の基礎となります。カイラル グループは、パイ中間子の三重項上で非線形に実現されますが、角度によってパラメータ化されたアイソスピン回転の下では依然として線形に変換されます。 対照的に、は 非線形の「シフト」(自発的破壊) を表します。 ${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{L}\times {\text{SU}}(2)_{R}\simeq {\text{SO}}(4)}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)_{V}\simeq {\text{SO}}(3)}$${\displaystyle \{{\boldsymbol {\theta }}_{V}\}.}$${\displaystyle \{{\boldsymbol {\theta }}_{A}\}}$

スピノル写像を通して、これらの（π、σ）の４次元回転は、 ユニタリ行列を導入することによって、２×２行列表記法を用いて便利に記述することもできる。

${\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left(\sigma \mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right),}$

そして、カイラル回転における Uの変換特性は

${\displaystyle U\longrightarrow U'=LUR^{\dagger },}$

どこ${\displaystyle \theta _{L}=\theta _{V}-\theta _{A},\theta _{R}=\theta _{V}+\theta _{A}.}$

非線形実現への移行は、

${\displaystyle U={\frac {1}{F}}\left({\sqrt {F^{2}-{\boldsymbol {\pi }}^{2}}}\mathbf {1} _{2}+i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\right),\qquad {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {F^{2}}{4}}\langle \partial _{\mu }U\partial ^{\mu }U^{\dagger }\rangle ,}$

ここで、 はフレーバー空間におけるトレースを表します。これは非線形シグマモデルです。 ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$

またはを含む項は独立ではなく、部分積分によってこの形式にすることができます。定数F ² /4は、ラグランジアンが、パイ中間子で記述されたときに、質量のないスカラー場の通常の自由項と一致するように選択されます。 ${\displaystyle \textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U}$${\displaystyle \textstyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }U^{\dagger }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\pi }^{(2)}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot \partial ^{\mu }{\boldsymbol {\pi }}+{\frac {1}{2F^{2}}}\left(\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}\right)^{2}+{\mathcal {O}}(\pi ^{6}).}$

代替の同等の（Gürsey、1960）パラメータ化

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\mapsto {\boldsymbol {\pi }}~{\frac {\sin(|\pi /F|)}{|\pi /F|}},}$

Uのより単純な表現が得られる。

${\displaystyle U=\mathbf {1} \cos |\pi /F|+i{\widehat {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\sin |\pi /F|=e^{i~{\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\pi }}/F}.}$

再パラメータ化されたπ変換に 注目してください。

${\displaystyle LUR^{\dagger }=\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2-i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)\exp(i{\boldsymbol {\pi }}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/F)\exp(i{\boldsymbol {\theta }}_{A}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2+i{\boldsymbol {\theta }}_{V}\cdot {\boldsymbol {\tau }}/2)}$

したがって、等回転の場合、V は明らかに上記と全く同じであり、同様に、

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}\longrightarrow {\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F+\cdots ={\boldsymbol {\pi }}+{\boldsymbol {\theta }}_{A}F(|\pi /F|\cot |\pi /F|)}$

対称性の破れAの下では、シフトは次のように表される。このより単純な表現は、N個の軽いクォークに容易に一般化できる（Cronin, 1967）。${\displaystyle \textstyle {\text{SU}}(N)_{L}\times {\text{SU}}(N)_{R}/{\text{SU}}(N)_{V}.}$

リチャード・S・ワード^[3]によって導入された積分可能なカイラルモデルまたはワードモデルは、行列値フィールドの観点から記述され、偏微分方程式によって与えられます 。これは、期待される運動項と、ウェス・ズーミノ・ウィッテン項 に似た項を伴うラグランジアン定式化を持ちます。また、ボゴモルニ方程式と形式的には同一ですが、ローレンツシグネチャを持つ定式化も持っています。これらの定式化の関係は、Dunajski (2010) に記載されています。 ${\displaystyle J:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow U(n)}$$${\displaystyle \partial _{t}(J^{-1}J_{t})-\partial _{x}(J^{-1}J_{x})-\partial _{y}(J^{-1}J_{y})-[J^{-1}J_{t},J^{-1}J_{y}]=0.}$$

多くの正確な解が知られている。^{[4] [5] [6]}

ここで基礎となる多様体はリーマン面、特に円筒または平面とされ、慣例的に実座標が与えられ、円筒上には周期座標が与えられる。弦理論への応用では、この円筒は閉じた弦によって掃引された世界面である。 ^[7]${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \tau ,\sigma }$${\displaystyle \sigma \sim \sigma +2\pi }$

大域的対称性は、およびとして群値体上の内部対称性として機能します。ノイマンの定理からの対応する保存 電流は 、次のようになります。 運動方程式は電流の保存と同等であることがわかります 。 電流はさらに平坦性条件を満たすため、 運動方程式は完全に電流の観点から定式化できます。 ${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle \rho _{L}(g')g(x)=g'g(x)}$${\displaystyle \rho _{R}(g)g(x)=g(x)g'}$$${\displaystyle L_{\alpha }=g^{-1}\partial _{\alpha }g,R_{\alpha }=\partial _{\alpha }gg^{-1}.}$$$${\displaystyle \partial _{\alpha }L^{\alpha }=\partial _{\alpha }R^{\alpha }=0{\text{ or in coordinate-free form }}d*L=d*R=0.}$$$${\displaystyle dL+{\frac {1}{2}}[L,L]=0{\text{ or in coordinates }}\partial _{\alpha }L_{\beta }-\partial _{\beta }L_{\alpha }+[L_{\alpha },L_{\beta }]=0,}$$

光円錐座標におけるワールドシートを考えます。適切なLax 行列の成分は、 すべてに対する のゼロ曲率条件が、電流 の保存と電流 の平坦性、つまり主カイラルモデル (PCM) からの運動方程式と同等であるという要件です。 ${\displaystyle x^{\pm }=t\pm x}$$${\displaystyle L_{\pm }(x^{+},x^{-};\lambda )={\frac {j_{\pm }}{1\mp \lambda }}.}$$${\displaystyle L_{\pm }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle j=(j_{+},j_{-})}$

• シグマモデル
• カイラリティ（物理学）

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