ヤンヤン

表現論において、ヤンジアンは無限次元ホップ代数であり、量子群の一種である。ヤンジアンが物理学に初めて登場したのは、1970年代後半から1980年代前半にかけて、ルドヴィク・ファデーエフとその学派が量子逆散乱法に関する研究でのことであった。ヤンジアンという名前は、 1985年にウラジミール・ドリンフェルドがCNヤンに敬意を表して導入した。

当初、それらは量子ヤン・バクスター方程式の解を生成するための便利なツールであると考えられていました。

ヤンギアンの中心は量子行列式によって記述できます。

ヤンギアンは量子ループ代数（つまり中心電荷がゼロの量子アフィン代数）の退化である。 ^[1]

任意の有限次元半単純リー代数 aに対して、ドリンフェルドはaのヤンジアンと呼ばれる無限次元ホップ代数 Y ( a ) を定義しました。このホップ代数は、明示的な生成元と関係によって与えられたaの多項式ループのリー代数の普遍包絡代数U ( a [ z ] )の変形です。関係は、有理R行列を含む恒等式によってエンコードできます。これを三角R行列に置き換えると、ドリンフェルドの同じ論文で定義されている アフィン量子群に到達します。

一般線形リー代数 gl _Nの場合、ヤンジャンは、ファデエフと共著者による行列生成子上の単一の三元関係（またはRTT）でより簡単に記述できます。ヤンジャン Y( gl _N ) は、 1 ≤ i、j ≤ N、p ≥ 0 の元によって生成される代数として定義され、次の関係に従います。 ${\displaystyle t_{ij}^{(p)}}$

${\displaystyle [t_{ij}^{(p+1)},t_{kl}^{(q)}]-[t_{ij}^{(p)},t_{kl}^{(q+1)}]=-(t_{kj}^{(p)}t_{il}^{(q)}-t_{kj}^{(q)}t_{il}^{(p)}).}$

定義、設定 ${\displaystyle t_{ij}^{(-1)}=\delta _{ij}}$

${\displaystyle T(z)=\sum _{p\geq -1}t_{ij}^{(p)}z^{-p+1}}$

そして、C ^N C ^N上のR行列 R ( z ) = I + z ⁻¹ P （Pはテンソル因子を並べ替える演算子）を導入すると、上記の関係はより単純に3項関係として記述できます 。${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle \displaystyle {R_{12}(zw)T_{1}(z)T_{2}(w)=T_{2}(w)T_{1}(z)R_{12}(zw)。 }}$

ヤンギアンは、次式で与えられる 余乗法Δ、余単位ε、対掌体sを持つホップ代数となる。

${\displaystyle (\Delta \otimes \mathrm {id} )T(z)=T_{12}(z)T_{13}(z),\,\,(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )T (z)=I,\,\,(s\otimes \mathrm {id} )T(z)=T(z)^{-1}.}$

スペクトルパラメータ の特別な値では、R行列はランク 1 の射影に退化します。これを使用して、ヤンギアンの中心を生成する の 量子行列式を定義できます。${\displaystyle (zw)}$${\displaystyle T(z)}$

GIオルシャンスキーによって導入された ねじれヤンギアンY − ⁽ gl 2N _)は、

${\displaystyle \displaystyle {S(z)=T(z)\sigma T(-z),}}$

ここでσはgl _2Nの反転で あり、

${\displaystyle \displaystyle {\sigma (E_{ij})=(-1)^{i+j}E_{2N-j+1,2N-i+1}.}}$

GI Olshansky と I.Cherednik は、 gl _Nのヤンジアン (Yangian ) が一般線型代数の既約有限次元表現の分岐特性と密接に関係していることを発見しました。特に、そのような表現の空間における基底の古典的な Gelfand–Tsetlin 構成は、M.Nazarov と V.Tarasov によって研究されたヤンジアンの言語で自然に解釈できます。Olshansky、Nazarov、Molev は後に、ねじれヤンジアンに基づいて、 この理論を他の古典的なリー代数に一般化することを発見しました。

ヤンギアンは物理学のさまざまなモデルで対称群として現れます。^{[なぜ? ]}

ヤンギアンは、スピン鎖、ハバード模型、1次元相対論的量子場理論のモデルなどの1次元の正確に解けるモデルの対称群として現れます。

最も有名な事例は4次元の平面超対称ヤン＝ミルズ理論であり、ここではヤン構造が演算子の対称性、^{[2] [3]}およびドラモンド、ヘン、プレフカによって発見された散乱振幅のレベルで現れる。

ヤンジアンの既約な有限次元表現は、半単純リー代数の表現論における最高重み理論に似た方法でドリンフェルトによってパラメータ化された。最高重みの役割は、ドリンフェルト多項式の有限集合によって果たされる。ドリンフェルトはまた、一般線型群と対称群の表現間の古典的なシューア・ワイル双対性の一般化を発見した。これには、 sl _Nのヤンジアンと退化したアフィンヘッケ代数（ジョージ・ルスティグの用語 では、タイプ A の次数付きヘッケ代数）が含まれる。

ヤンギャンの表現は広く研究されてきましたが、理論はまだ活発に開発中です。

• 量子アフィン代数

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