コットンテンソル

微分幾何学において、n次元の(擬)リーマン多様体上のコットンテンソルは、計量に伴う3 次テンソルである。n = 3の場合にコットンテンソルがゼロになることは、多様体が局所的に共形平坦になるための必要十分条件である。対照的に、n ≥ 4次元では、計量が共形平坦になるためにコットンテンソルがゼロになることは必要であるが十分ではない。代わりに、これらの高次元で対応する必要十分条件はワイルテンソルがゼロになることであるが、コットンテンソルは単にワイルテンソルの発散の定数倍になる。n < 3 の場合、コットンテンソルは恒等的にゼロである。この概念はエミール・コットンにちなんで名付けられた。

n = 3の場合にコットン テンソルが消失することは計量が共形的に平坦であることと同等であるという古典的な結果の証明は、標準的な積分可能性の議論を使用してアイゼンハートによって与えられています。このテンソル密度は、(Aldersley 1979) で示されているように、任意の計量に対して微分可能であるという要求と組み合わされた共形特性によって独自に特徴付けられます。

近年、コットンテンソルがアインシュタイン方程式におけるリッチテンソルと物質のエネルギー運動量テンソルの関係を制限し、一般相対性理論のハミルトン形式論において重要な役割を果たすことから、3次元空間の研究が大きな関心を集めています。

座標では、リッチテンソルをR _ij、スカラー曲率をRで表すと、コットンテンソルの成分は

${\displaystyle C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\frac {1}{2(n-1)}}\left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right).}$

コットンテンソルはベクトル値の2次元形式とみなすことができ、n  = 3の場合にはホッジスター演算子を使用してこれを2次のトレースフリーテンソル密度に変換すること ができる。

${\displaystyle C_{i}^{j}=\nabla _{k}\left(R_{li}-{\frac {1}{4}}Rg_{li}\right)\epsilon ^{klj}, }$

コットン・ヨークテンソルと呼ばれることもあります。

あるスカラー関数に対する計量の共形再スケーリングの下で​​は、クリストッフェル記号は次のように変換される ことがわかる。${\displaystyle {\チルダ {g}}=e^{2\omega }g}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }+S_{\beta \gamma }^{\alpha }}$

テンソルは どこにありますか${\displaystyle S_{\beta \gamma}^{\alpha}}$

${\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\partial _{\beta }\omega +\delta _{\beta }^{\alpha }\partial _{\gamma }\omega -g_{\beta \gamma }\partial ^{\alpha }\omega }$

リーマン曲率テンソルは次のように変換される。

${\displaystyle {{\widetilde {R}}^{\lambda }}{}_{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }+\nabla _ {\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }}$

次元多様体では、変換されたリーマンテンソルを縮約してリッチテンソルを得る。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{\beta \mu }=R_{\beta \mu }-g_{\beta \mu }\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega - (n-2)\nabla _{\mu }\partial _{\beta }\omega +(n-2)(\partial _{\mu }\omega \partial _{\beta }\omega -g_{\beta \mu }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega )}$

同様にリッチスカラーは次のように変換される。

${\displaystyle {\widetilde {R}}=e^{-2\omega }R-2e^{-2\omega }(n-1)\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)(n-1)e^{-2\omega }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega }$

これらの事実をすべて組み合わせると、コットン・ヨークテンソル変換は次のように結論付けられます。

${\displaystyle {\widetilde {C}}_{\alpha \beta \gamma }=C_{\alpha \beta \gamma }+(n-2)\partial _{\lambda }\omega {W_{\beta \ガンマ \アルファ }}^{\ラムダ }}$

または座標に依存しない言語として

${\displaystyle {\tilde {C}}=C\;+(n-2)\;\operatorname {grad} \,\omega \;\lrcorner \;W,}$

ここで、勾配はワイルテンソル Wと縮約されます。

コットンテンソルには次の対称性があります。

${\displaystyle C_{ijk}=-C_{iq}\,}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle C_{[ijk]}=0.\,}$

さらに、ワイルテンソルのビアンキ公式は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \delta W=(3-n)C,\,}$

ここで、Wの最初の要素における正の発散です。 ${\displaystyle \delta}$

• Aldersley, SJ (1979). 「3次元空間における特定の発散のないテンソル密度に関するコメント」.数理物理学ジャーナル. 20 (9): 1905–1907. Bibcode :1979JMP....20.1905A. doi : 10.1063/1.524289 .
• ショケ・ブリュア、イヴォンヌ（2009年）。『一般相対性理論とアインシュタイン方程式』オックスフォード、イギリス：オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-923072-3。
• コットン、E.（1899年）。 「トロワの次元の多様性」。トゥールーズ科学学部の年次報告書。 II. 1 (4): 385–438。 2007 年 10 月 10 日にオリジナルからアーカイブされました。
• アイゼンハート、ルーサー P. (1977) [1925].リーマン幾何学. プリンストン、ニュージャージー:プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-08026-7。
• A. Garcia、FW Hehl、C. Heinicke、A. Macias (2004)「リーマン時空におけるコットンテンソル」、古典および量子重力21: 1099–1118、Eprint arXiv:gr-qc/0309008