HOMFLY多項式

数学の結び目理論の分野 において、HOMFLY 多項式またはHOMFLYPT 多項式は、一般化ジョーンズ多項式とも呼ばれ、 2 変数の結び目多項式、つまり変数mとlの多項式の形の結び目不変量です。

結び目に関する数学理論の中心的な問題は、2 つの結び目図が同じ結び目を表しているかどうかです。このような質問に答えるために使用されるツールの 1 つが結び目多項式です。結び目の図から計算され、結び目の不変量であることが示されます。つまり、同じ結び目を表す図は同じ多項式を持ちます。逆は真ではない場合があります。HOMFLY 多項式はそのような不変量の 1 つで、以前に発見された 2 つの多項式、アレクサンダー多項式とジョーンズ多項式を一般化します。どちらも HOMFLY から適切な置換によって取得できます。HOMFLY 多項式は量子不変量でもあります。

HOMFLYという名前は 、共同発見者であるジム・ホステ、エイドリアン・オクネアヌ、ケネス・ミレット、ピーター・J・フレイド、WBR・リコリッシュ、デビッド・N・イェッターの頭文字を組み合わせたものです。^[1] PTの追加は、ヨゼフ・H・プリティツキとパヴェウ・トラジクによる独立した研究を認めたものです。 ^[2]

多項式は、かせ関係を使用して定義されます。

${\displaystyle P(\mathrm {unknot} )=1,\,}$

${\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}$

ここで、リンクは、図に示すように、リンク図のローカル領域上の交差と平滑化の変更によって形成されます。 ${\displaystyle L_{+}、L_{-}、L_{0}}$

2つのリンクの分割和であるリンクLのHOMFLY多項式は次のように表される 。${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$

${\displaystyle P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).}$

このような関係を使用した計算の例については、 skein 関係のページを参照してください。

この多項式は他のかせ関係を使用しても得ることができます。

${\displaystyle \alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0}),\,}$

${\displaystyle xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0,\,}$

${\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,}$ここで、# は結び目の和を表します。したがって、合成結び目の HOMFLY 多項式は、その構成要素の HOMFLY 多項式の積です。

${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{{\text{鏡像}}(K)}(\ell ^{-1},m),\,}$なので、HOMFLY多項式は異なるカイラリティを持つ2つの結び目を区別するためによく使われます。しかし、例えば結び目9 ₄₂と10 ₇₁とその鏡像のように、同じHOMFLY多項式を持つカイラリティの結び目のペアも存在します。^[3]

ジョーンズ多項式V ( t ) とアレクサンダー多項式は、 HOMFLY 多項式 (変数と変数のバージョン) を使って次のように計算できます。 ${\displaystyle \Delta (t)\,}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle V(t)=P(\alpha =t^{-1},z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,}$

${\displaystyle \Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,}$

• カウフマン、LH、「形式結び目理論」、プリンストン大学出版、1983年。
• Lickorish、WBR「結び目理論入門」。Springer。ISBN 0-387-98254 -X。 

• 「ジョーンズ-コンウェイ多項式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「HOMFLY 多項式」。MathWorld。
• 「HOMFLY-PT 多項式」、The Knot Atlas。