密度行列

量子力学において、密度行列（または密度演算子）は、物理系に対して行われた測定の結果の確率を計算する際に使用される行列です。^{[ 1 ]}これは状態ベクトルまたは波動関数の一般化です。状態ベクトルまたは波動関数は純粋状態のみを表すことができますが、密度行列は状態の混合アンサンブルも表すことができます。^{[ 2 ] : 73 [ 3 ] : 100}これらは量子力学において、2つの異なる状況で現れます。

1. システムの準備によってランダムに異なる純粋状態が生成される場合、可能な準備の集合の統計を扱う必要がある。
2. ある物理系が別の物理系と量子もつれ状態にある場合、それらの結合状態を記述せずに、その物理系を記述したい場合に、量子もつれ状態という概念が用いられます。これは、何らかの環境と相互作用するシステム（例えば、デコヒーレンス）に典型的に見られるケースです。この場合、量子もつれ状態の密度行列は、測定時に同じ統計的結果をもたらす純粋状態の集合の密度行列とは異なります。

密度行列は、量子統計力学、開放量子系、量子情報など、混合状態（重ね合わせ状態とは混同しないように）を扱う量子力学の分野において重要なツールである。

密度行列は、密度演算子と呼ばれる線形演算子の表現です。密度行列は、基礎となる空間における正規直交基底の選択によって密度演算子から得られます。 ^{[ 4 ]}実際には、密度行列と密度演算子という用語はしばしば同義語として使用されます。

州を基準として選択する${\displaystyle |0\rangle }$、${\displaystyle |1\rangle }$2次元ヒルベルト空間では、密度演算子は行列で表される。 $${\displaystyle (\rho _{ij})=\left({\begin{matrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}p_{0}&\rho _{01}\\\rho _{01}^{*}&p_{1}\end{matrix}}\right)}$$ 対角要素は合計が 1 になる実数である（2 つの州の人口とも呼ばれる）${\displaystyle |0\rangle }$、${\displaystyle |1\rangle }$) 非対角要素は互いに複素共役（コヒーレンスとも呼ばれる）であり、その大きさは、次の要件によって制限される。${\displaystyle (\rho _{ij})}$正定値半正定値演算子とする（下記参照）。

密度演算子は、システムのヒルベルト空間に作用する、トレースが 1 の正半定値自己共役演算子である。 ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}この定義は、いくつかの純粋状態が存在する状況を考えることで動機づけられる。${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$（必ずしも直交するとは限らない）確率で準備される${\displaystyle p_{j}}$それぞれ。^{[ 8 ]}これは純粋状態のアンサンブルとして知られています。射影測定結果を得る確率${\displaystyle m}$プロジェクターを使用する場合$\displaystyle \Pi _{m}}$^{[ 3 ] : 99}で与えられる$${\displaystyle p(m)=\sum _{j}p_{j}\left\langle \psi _{j}\right|\Pi _{m}\left|\psi _{j}\right\rangle ,}$$ これは、 $${\displaystyle p(m)=\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|\right)\right].}$$ したがって、密度演算子は次のように定義される。 $${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|,}$$ これは、このアンサンブルの状態を表す便利な表現です。この演算子は正半定値で自己共役であり、トレースは1です。逆に、スペクトル定理から、これらの性質を持つすべての演算子は次のように書けることがわかります。${\textstyle \sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|}$一部の州では${\displaystyle \left|\psi _{j}\right\rangle }$および係数${\displaystyle p_{j}}$それらは非負であり、合計すると 1 になります。^{[ 9 ] [ 3 ] : 102}しかし、この表現は、シュレーディンガー-HJW 定理で示されているように、一意ではありません。

密度演算子の定義のもう一つの動機は、エンタングル状態に対する局所測定を考慮することから生じる。${\displaystyle |\Psi \rangle }$複合ヒルベルト空間における純粋なエンタングル状態である$\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$測定結果が得られる確率${\displaystyle m}$プロジェクターを測定する際$\displaystyle \Pi _{m}}$ヒルベルト空間において$\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$^{単独で[ 3 ] : 107}によって与えられる$${\displaystyle p(m)=\left\langle \Psi \right|\left(\Pi _{m}\otimes I\right)\left|\Psi \right\rangle ,}$$ 代数操作の後、 $${\displaystyle p(m)=\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\right)\right],}$$ どこ${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}}$はヒルベルト空間上の部分トレースを表す。$\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$これにより、オペレーターは $${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$$ これらの局所測定の確率を計算するための便利なツール。この演算子は密度演算子のすべての特性を持ち、縮小密度行列として知られています。${\displaystyle |\Psi \rangle }$サブシステム 1 について。逆に、シュレーディンガー–HJW の定理は、すべての密度演算子が次のように書けることを示唆している。${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$ある州にとって${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }$。

純粋量子状態とは、他の量子状態の確率的混合、または凸結合として表すことができない状態のことである。 ^{[ 7 ]}密度演算子の言語では、純粋状態にはいくつかの同等の特徴付けがある。^{[ 2 ] : 73}密度演算子が純粋状態を表すのは、次の場合に限る。

• これは状態ベクトルの外積として記述できる。${\displaystyle |\psi \rangle }$それ自体と、つまり、$${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |.}$$
• これは投影であり、特にランク1の投影である。
• それは冪等である、つまり$${\displaystyle \rho =\rho ^{2}.}$$
• それは純粋さ1を持っています。つまり、$${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})=1.}$$

量子状態の確率的混合（すなわちアンサンブル）と2つの状態の重ね合わせとの違いを強調することが重要です。アンサンブルがシステムの半分を状態に置く準備ができている場合${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$そして残りの半分は${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$これは密度行列で表すことができます。

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

どこ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$そして${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$簡略化のため、これらは直交しており、次元は2であると仮定する。一方、これら2つの状態が等しい確率振幅で量子重ね合わせられると、純粋状態が得られる。${\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}},}$密度行列付き

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}.}$

確率的混合とは異なり、この重ね合わせは量子干渉を示すことができる。^{[ 3 ]： 81}

幾何学的には、密度演算子の集合は凸集合であり、純粋状態はその集合の極値点である。最も単純なケースは、量子ビットとして知られる2次元ヒルベルト空間である。量子ビットの任意の混合状態は、パウリ行列の線形結合として記述でき、単位行列とともに、の基底を提供する。${\displaystyle 2\times 2}$自己共役行列：^{[ 10 ]： 126}

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

実際の数字は${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$は単位球内の点の座標であり、

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

ポイント${\displaystyle r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1}$純粋状態は点によって表され、混合状態は内部の点によって表されます。これは、量子ビット状態空間のブロッホ球図として知られています。

例：光の偏光

純粋状態と混合状態の例として、光の偏光が挙げられます。個々の光子は、直交する量子状態によって記述される右円偏光 または左円偏光を持つと表現できます。${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$そして${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$あるいはその2つの重ね合わせ：どの状態にもなり得る${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$（と${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$）は、それぞれ直線偏光、円偏光、楕円偏光に対応します。次に、状態で表される垂直偏光光子を考えます。${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle =(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$円偏光子を通すと、${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$偏光、または${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$偏光の場合、どちらの場合も光子の半分が吸収されます。これにより、光子の半分が状態にあるように見えるかもしれません。${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$そして残りの半分は州${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$しかし、これは正しくありません。${\displaystyle (|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$直線偏光子を通過すると吸収は全くないが、${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$または${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$光子の半分が吸収される。

無偏光光（白熱電球からの光など）は、どのような状態としても記述できない。${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$（直線偏光、円偏光、または楕円偏光）。偏光とは異なり、偏光子の向きに関係なく、偏光子を通過すると強度が 50% 低下します。また、波長板を通過させても偏光させることはできません。ただし、非偏光は統計的アンサンブルとして記述できます。たとえば、各光子は、${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$分極または${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$偏光の確率は1/2である。各光子が垂直偏光または垂直偏光のいずれかを持つ場合も同様の挙動を示す。${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle }$または水平偏波${\displaystyle |\mathrm {H} \rangle }$確率1/2で。これら2つのアンサンブルは実験的に完全に区別できないため、同じ混合状態とみなされます。この無偏光の例では、密度演算子は^{[ 2 ]： 75に等しくなります。}

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\frac {1}{2}}|\mathrm {H} \rangle \langle \mathrm {H} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {V} \rangle \langle \mathrm {V} |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

無偏光光を生成する方法は他にもあります。例えば、光子の生成過程に不確定性を導入する方法があります。例えば、粗い表面を持つ複屈折結晶に光子を通すことで、光ビームのわずかに異なる部分が異なる偏光状態を獲得します。また、量子もつれ状態を利用する方法もあります。放射性崩壊によって、量子状態にある2つの光子が反対方向に放出されることがあります。${\displaystyle (|\mathrm {R} ,\mathrm {L} \rangle +|\mathrm {L} ,\mathrm {R} \rangle )/{\sqrt {2}}}$2つの光子の結合状態は純粋であるが、結合密度行列の部分トレースを取ることによって得られる各光子の密度行列は完全に混合している。^{[ 3 ]： 106}

与えられた密度演算子は、どの純粋状態のアンサンブルがそれを生み出すかを一意に決定するものではありません。一般に、同じ密度行列を生成する異なるアンサンブルは無限に存在します。^{[ 11 ]}これらは、いかなる測定によっても区別できません。^{[ 12 ]}等価なアンサンブルは完全に特徴付けることができます。${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$アンサンブルである。すると、任意の複素行列に対して${\displaystyle U}$そのため${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$（部分的な等長変換）、アンサンブル${\displaystyle \{q_{i},|\varphi _{i}\rangle \}}$定義される

${\displaystyle {\sqrt {q_{i}}}\left|\varphi _{i}\right\rangle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}}\left|\psi _{j}\right\rangle }$

同じ密度演算子が生じ、すべての同等のアンサンブルはこの形式になります。

密接に関連する事実として、与えられた密度演算子には無限に多くの異なる精製状態があり、これらは部分トレースを取ると密度演算子を生成する純粋状態である。

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$

アンサンブルによって生成される密度演算子とする${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$州とともに${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$必ずしも直交するとは限りません。次に、すべての部分等長変換について${\displaystyle U}$私たちはそれを持っています

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}|\psi _{j}\rangle U|a_{j}\rangle }$

は、${\displaystyle \rho }$、 どこ${\displaystyle |a_{j}\rangle }$は直交基底であり、さらにすべての精製は${\displaystyle \rho }$それらはこの形式です。

させて${\displaystyle A}$をシステムの観測量とし、アンサンブルが混合状態にあると仮定すると、各純粋状態は${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$確率で発生する${\displaystyle p_{j}}$すると、対応する密度演算子は

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.}$

測定の期待値は、純粋状態の場合から拡張することで計算できる。

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

どこ${\displaystyle \operatorname {tr} }$トレースを表す。したがって、おなじみの表現${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$純粋状態の場合は、

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)}$

混合状態の場合。^{[ 2 ]： 73}

さらに、もし${\displaystyle A}$スペクトル分解能を持つ

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}P_{i},}$

どこ${\displaystyle P_{i}}$は、固有値に対応する固有空間への射影演算子です。${\displaystyle a_{i}}$測定後の密度演算子は^{[ 13 ] [ 14 ]で与えられる。}

${\displaystyle \rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}}$

結果iが得られた場合。測定結果が不明な場合は、アンサンブルは代わりに次のように記述されます。

${\displaystyle \;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

測定結果の確率がプロジェクターの線形関数であると仮定すると${\displaystyle P_{i}}$、その場合、それらは密度演算子を持つ射影演算子のトレースによって与えられなければなりません。グリーソンの定理は、3 次元以上のヒルベルト空間では、線形性の仮定を非文脈性の仮定に置き換えることができることを示しています。^{[ 15 ]}この次元の制限は、 POVMに対しても非文脈性を仮定することで取り除くことができますが、 ^{[ 16 ] [ 17 ]}これは物理的に動機付けられていないと批判されています。^{[ 18 ]}

フォン・ノイマンエントロピー${\displaystyle S}$混合物の特性は、${\displaystyle \rho }$または密度演算子のトレースと対数で表すと${\displaystyle \rho }$。 以来${\displaystyle \rho }$は正半定値演算子であり、次のようなスペクトル分解を持つ。${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|}$、 どこ${\displaystyle |\varphi _{i}\rangle }$は正規直交ベクトルであり、${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$、 そして${\displaystyle \textstyle \sum \lambda _{i}=1}$密度行列を持つ量子系のエントロピー${\displaystyle \rho }$は

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}$

この定義は、任意の純粋状態のフォン・ノイマンエントロピーがゼロであることを意味する。^{[ 19 ]： 217}${\displaystyle \rho _{i}}$は直交部分空間上にサポートを持つ状態であり、これらの状態の凸結合のフォン・ノイマンエントロピーは、

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},}$

は、状態のフォン・ノイマンエントロピーによって与えられる。${\displaystyle \rho _{i}}$確率分布のシャノンエントロピー${\displaystyle p_{i}}$:

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

州が${\displaystyle \rho _{i}}$直交するサポートを持たない場合、右辺の合計は凸結合のフォン・ノイマンエントロピーよりも厳密に大きい。${\displaystyle \rho }$[ ^{3 ] : 518​}

密度演算子が与えられた場合${\displaystyle \rho }$そして前節と同様の射影測定では、${\displaystyle \rho '}$凸結合によって定義される

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},}$

これは、測定を実行するが結果を記録しないことで生成される状態と解釈できる^{[ 10 ]： 159}は、フォン・ノイマンエントロピーがそれよりも大きい。${\displaystyle \rho }$ただし、${\displaystyle \rho =\rho '}$しかし、${\displaystyle \rho '}$一般化された測定またはPOVMによって生成されたフォンノイマンエントロピーは、${\displaystyle \rho }$[ ^{3 ] : 514​}

シュレーディンガー方程式が純粋状態が時間とともにどのように変化するかを記述するのと同様に、フォン・ノイマン方程式（リウヴィル・フォン・ノイマン方程式とも呼ばれる）は密度演算子が時間とともにどのように変化するかを記述します。フォン・ノイマン方程式は、 ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}を規定します。

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho =[H,\rho ]~,}$

ここで、括弧は交換子を表します。

この方程式は、密度演算子がシュレーディンガー描像にあると仮定した場合にのみ成立する。一見すると、この方程式はハイゼンベルク描像におけるハイゼンベルク運動方程式を模倣しているように見えるが、重要な符号の違いがある。

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{\text{H}}=-[H_{\text{H}},A_{\text{H}}]~,}$

どこ${\displaystyle A_{\text{H}}(t)}$はハイゼンベルク描像演算子であるが、この描像では密度行列は時間依存ではなく、相対符号により期待値の時間微分が保証される。${\displaystyle \langle A\rangle }$シュレーディンガーの絵と同じ結果になる。^{[ 7 ]}

ハミルトニアンが時間に依存しない場合、フォン・ノイマン方程式は容易に解くことができ、

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.}$

より一般的なハミルトニアンの場合、${\displaystyle G(t)}$ある区間における波動関数プロパゲーターを考えると、同じ区間における密度行列の時間発展は次のように与えられる。

${\displaystyle \rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.}$

相互作用図に入り、何らかの要素に焦点を当てることを選択した場合${\displaystyle H_{1}}$ハミルトニアンの${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}}$相互作用画像密度演算子の進化に関する方程式${\displaystyle \rho _{\,\mathrm {I} }(t)}$ハミルトニアンも新しい図式に変換する必要がある点を除けば、フォン・ノイマン方程式と同一の構造を持つ。

${\displaystyle {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],}}$

どこ${\displaystyle {\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }H_{1}e^{-iH_{0}t/\hbar }}}$。

密度行列演算子は位相空間でも実現できる。ウィグナー写像の下では、密度行列は等価なウィグナー関数に変換される。

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

ウィグナー関数の時間発展を表す方程式は、モヤル方程式として知られており、上記のフォン・ノイマン方程式のウィグナー変換である。

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},}$

どこ${\displaystyle H(x,p)}$はハミルトニアンであり、${\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}$はモヤル括弧であり、量子交換子の変換である。

ウィグナー関数の発展方程式は、古典物理学のリウヴィル方程式、すなわちその古典的極限の方程式と類似している。プランク定数がゼロになる極限では、${\displaystyle \hbar }$、${\displaystyle W(x,p,t)}$位相空間における古典的なリウヴィル確率密度関数に帰着する。

密度行列は量子力学の基本的なツールであり、ほぼあらゆる種類の量子力学的計算において少なくとも時折登場します。密度行列が特に有用で一般的な具体的な例を以下に示します。

• 統計力学では密度行列が用いられ、最も顕著な例として、系がゼロ以外の温度で準備されているという考え方を表現するために用いられる。正準アンサンブルを用いて密度行列を構築すると、次の形式の結果が得られる。${\displaystyle \rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )}$、 どこ${\displaystyle \beta }$逆温度${\displaystyle (k_{\rm {B}}T)^{-1}}$そして${\displaystyle H}$はシステムのハミルトニアンです。トレースの正規化条件は、${\displaystyle \rho }$1 に等しいとすると、分割関数は次のように定義されます。${\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)}$系に関与する粒子の数自体が確定していない場合は、大正準集団を適用することができ、密度行列を作成するために合計される状態はフォック空間から抽出される。^{[ 23 ]： 174}
• 量子デコヒーレンス理論は、通常、非孤立量子システムが測定装置を含む他のシステムとエンタングルメントを形成することを扱います。密度行列は、このプロセスを記述し、その結果を計算することをはるかに容易にします。量子デコヒーレンスは、環境と相互作用するシステムが、重ね合わせを示す純粋状態から、古典的な選択肢の非干渉的な組み合わせである混合状態に遷移する理由を説明します。この遷移は、システムと環境の結合状態がまだ純粋であるため、根本的には可逆ですが、環境は非常に大きく複雑な量子システムであり、それらの相互作用を逆転させることは不可能であるため、実際には不可逆です。したがって、デコヒーレンスは量子力学の古典極限を説明する上で非常に重要ですが、すべての古典的な選択肢が混合状態にも存在し、波動関数の崩壊はそれらのうちの1つだけを選択するため、波動関数の崩壊を説明することはできません。^{[ 24 ]}
• 同様に、量子計算、量子情報理論、開放量子システム、および状態準備がノイズを含み、デコヒーレンスが発生する可能性のあるその他の分野では、密度行列が頻繁に使用されます。ノイズは、多くの場合、偏光解消チャネルまたは振幅減衰チャネルを介してモデル化されます。量子トモグラフィーは、量子測定の結果を表すデータセットが与えられたときに、それらの測定結果と一致する密度行列を計算するプロセスです。^{[ 25 ] [ 26 ]}
• 原子や分子など、多数の電子を持つ系を解析する場合、不完全ではあるが有用な第一近似として、電子を無相関、あるいはそれぞれが独立した単粒子波動関数を持つものとして扱う。これは、ハートリー・フォック法でスレーター行列式を構築する際の一般的な出発点である。${\displaystyle N}$電子が満たされる${\displaystyle N}$単粒子波動関数${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$そして、単一粒子観測量のみを考慮すると、その期待値は${\displaystyle N}$電子系は密度行列を用いて計算できる${\textstyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$（1粒子密度行列${\displaystyle N}$-電子系）。^{[ 27 ]}

自己共役演算子がすべて観測量を表す量子力学の記述は維持できないことが現在では一般的に受け入れられている。^{[ 28 ] [ 29 ]}このため、観測量は抽象的なC*-代数A (演算子の代数として区別された表現を持たないもの) の要素と同一視され、状態はA上の正の線形汎関数である。しかし、 GNS 構成を使用することで、 A を演算子の部分代数として実現するヒルベルト空間を復元することができる。

幾何学的に言えば、C*-代数A上の純粋状態とは、 A上のすべての状態の集合の極点である状態のことである。GNS構成の性質により、これらの状態はAの既約表現に対応する。

コンパクト演算子の C*-代数K ( H )の状態は密度演算子と完全に一致するため、K ( H ) の純粋状態は量子力学の意味での純粋状態と完全に一致する。

C*-代数的定式化は、古典系と量子系の両方を含むことがわかる。系が古典系の場合、観測量の代数はアーベルC*-代数となる。この場合、状態は確率測度となる。

この演算子と行列の形式は、1927 年にジョン・フォン・ノイマン^{[ 30 ]}によって導入され、独立して、しかし体系的ではない形でレフ・ランダウ^{[ 31 ]}によって、そして後に 1946 年にフェリックス・ブロッホ^{[ 32 ]}によって導入されました。フォン・ノイマンは、量子統計力学と量子測定の理論の両方を発展させるために行列を導入しました。密度という用語は、1931 年にディラックがフォン・ノイマンの演算子を使用して電子密度雲を計算したときに導入されました。^{[ 33 ] [ 34 ]}

今日では「密度行列」という用語は独自の意義を獲得しており、1932年にユージン・ウィグナーによって導入された古典統計力学における古典的な位相空間確率測度（位置と運動量の確率分布）に対応している。 ^{[ 5 ]}

対照的に、ランダウを刺激した動機は、複合量子システムのサブシステムを状態ベクトルで記述することが不可能であるという点であった。^{[ 31 ]}