極限点

数学において、凸集合の極点${\displaystyle S}$実空間または複素ベクトル空間またはアフィン空間における点は、${\displaystyle S}$それは、 2点を結ぶ開いた線分上にはない。${\displaystyle S.}$線分の極点は端点と呼ばれます。線形計画問題では、極点は頂点またはコーナーポイントとも呼ばれます。${\displaystyle S.}$

全体を通して、以下のことが前提とされている。${\displaystyle X}$は実数または複素数のベクトル空間、またはアフィン空間です。

どのような場合でも${\displaystyle p,x,y\in X,}$と言いましょう${\displaystyle p}$^{[ 1 ]}の間にある${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$もし${\displaystyle x\neq y}$そして存在する${\displaystyle 0<t<1}$そのため${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$

もし${\displaystyle K}$は、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle p\in K,}$それから${\displaystyle p}$と呼ばれる極点^{[ 1 ]}​${\displaystyle K}$2つの異なる点の間に存在しない場合${\displaystyle K.}$つまり、存在しない場合${\displaystyle x,y\in K}$そして${\displaystyle 0<t<1}$そのため${\displaystyle x\neq y}$そして${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$すべての極点の集合${\displaystyle K}$は、$\displaystyle \operatorname {extreme} (K).$

一般化

もし${\displaystyle S}$ベクトル空間の部分集合であれば、線形部分多様体（つまり、アフィン部分空間）となる。${\displaystyle A}$ベクトル空間の は、多様性をサポートする${\displaystyle A}$会う${\displaystyle S}$（つまり、${\displaystyle A\cap S}$空でない）およびすべてのオープンセグメント${\displaystyle I\subseteq S}$内部が${\displaystyle A}$は必然的に の部分集合である${\displaystyle A.}$^{[ 2 ]} 0 次元のサポート多様体は、${\displaystyle S.}$^{[ 2 ]}

もし${\displaystyle a<b}$2 つの実数である場合${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$区間の極点${\displaystyle [a,b].}$しかし、開区間${\displaystyle (a,b)}$極値点を持たない。^{[ 1 ]}の 任意の開区間${\displaystyle \mathbb {R} }$極値は存在しないが、非退化閉区間は${\displaystyle \mathbb {R} }$極値点（つまり、閉区間の端点）を持つ。より一般的には、有限次元ユークリッド空間の任意の開部分集合は$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$極端な点は存在しない。

閉じた単位円盤の極点は$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$は単位円です。

平面上の任意の凸多角形の周長は、その多角形の面である。^{[ 1 ]} 平面上の任意の凸多角形の頂点$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$それらはその多角形の極点である。

単射線形写像${\displaystyle F:X\to Y}$凸集合の極点を送信する${\displaystyle C\subseteq X}$凸集合の極点へ${\displaystyle F(X).}$^{[ 1 ]}これは単射アフィン写像にも当てはまります。

コンパクトな凸集合の極点はベール空間（部分空間位相を持つ）を形成するが、この集合は閉じていない可能性がある${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}

位相ベクトル空間の閉凸部分集合は、その（位相）境界点のすべてが極点である場合、厳密に凸であると呼ばれる。 ^{[ 5 ]}任意のヒルベルト空間の単位球は厳密に凸集合である。^{[ 5 ]}

• エクストリームセット
• 露出点
• ショケ理論– 関数解析および凸解析の分野 
• バンバン制御^{[ 3 ]}

• アダッシュ、ノルベルト；エルンスト、ブルーノ；ケイム、ディーター（1978）。位相ベクトル空間：凸性条件なしの理論。数学講義ノート、第 639巻。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 . 
• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 . 
• Paul E. Black 編 (2004-12-17)。「極値」。アルゴリズムとデータ構造の辞書。米国国立標準技術研究所。2011-03-24 に取得。
• ボロウスキー、エフライム・J.、ボルウェイン、ジョナサン・M. (1989)。「極値」。数学辞典。コリンズ辞典。ハーパーコリンズ。ISBN 0-00-434347-6。
• グロタンディーク、アレクサンダー（1973）。位相ベクトル空間。オーランド・チャルジュブ訳。ニューヨーク：ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ。ISBN 978-0-677-30020-7OCLC 886098。​ 
• Halmos, Paul R. (1982年11月8日).ヒルベルト空間問題集.大学院数学テキスト. 第 19巻（第2 版）. ニューヨーク：Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90685-0. OCLC 8169781 . 
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4OCLC 8210342。​ 
• ケーテ、ゴットフリート(1983) [1969]。位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol.  159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .  
• ケーテ、ゴットフリート(1979)。位相ベクトル空間 II． Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol.  237. ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-0-387-90400-9OCLC 180577972。​ 
• ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666OCLC 144216834。​ 
• ロバートソン、アレックス・P.、ロバートソン、ウェンディ・J. (1980).位相ベクトル空間.ケンブリッジ数学論文集. 第 53巻. ケンブリッジ、イングランド:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-29882-7OCLC 589250​​ 
• ルディン、ウォルター（ 1991）。関数解析。国際純粋応用数学シリーズ。第 8巻（第2 版）。ニューヨーク州ニューヨーク：マグロウヒル科学・工学・数学。ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277。​ 
• シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• シェクター、エリック（1996）。解析学とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス。ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​ 
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322。​ 
• ウィランスキー、アルバート（2013）。位相ベクトル空間における現代的手法。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-49353-4OCLC 849801114。​