振幅減衰チャネル

量子通信の理論では、振幅減衰チャネルは、自然放出などの物理プロセスをモデル化する量子チャネルです。このチャネルが発生する自然なプロセスは、時間に依存しないハミルトニアンで結合された多数のスピン状態を使用して、量子状態をある場所から別の場所に送信することができるスピンチェーンです。結果として得られる量子チャネルは、振幅減衰チャネルと同一になり、量子容量、古典容量、および量子チャネルのエンタングルメント支援古典容量を評価できます。

ここでは、単一量子ビットの場合の振幅減衰チャネルを検討します。

量子チャネルは、いくつかの同等の方法で定義できます。たとえば、スティーンスプリングの膨張定理により、チャネルは等長変換 によってとして表すことができ、この場合、は のスティーンスプリング表現であると言えます。^[1]特に、単一量子ビット振幅減衰チャネルのスティーンスプリング表現はで与えられます。 代替の同等の表現は、クラウス演算子によって与えられます。これは、となる演算子の集合に対して、チャネルの作用を の形式で表すことを意味します。振幅減衰チャネルの場合、そのような表現の1つの選択肢は で表されます。より明示的には、 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\rho )=\operatorname {tr} _{2}[V\rho V^{\dagger }]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle V|0\rangle =|0,0\rangle ,\qquad V|1\rangle ={\sqrt {1-p}}|0,1\rangle +{\sqrt {p}}|1, 0\rangle 。}$$$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\rho )=\sum _{j}K_{j}\rho K_{j}^{\dagger }}$$${\displaystyle K_{j}}$${\displaystyle \sum _{j}K_{j}^{\dagger }K_{j}=I}$$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\rho )=K_{0}\rho K_{0}^{\dagger }+K_{1}\rho K_{1}^{\dagger }}$$$${\displaystyle K_{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {1-p}}\end{pmatrix}},\qquad K_{1}={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {p}}\\0&0\end{pmatrix}}\;.}$$

${\displaystyle {\cal {N}}_{p}\left[{\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}\rho _{00}+p\rho _{11}&{\sqrt {1-p}}\rho _{01}\\{\sqrt {1-p}}\rho _{10}&(1-p)\rho _{11}\end{pmatrix}}\;.}$

スピン チェーン相関に基づく量子チャネルの主な構成は、N 個の結合スピンのコレクションを持つことです。量子チャネルの両側には 2 つのスピン グループがあり、これらを量子レジスタ A および B と呼びます。メッセージは、メッセージの送信者がレジスタ A に何らかの情報をエンコードし、その後、ある時間 t にわたって伝播させた後、受信者が後で B からその情報を取得することによって送信されます。状態は、最初に A のスピンをチェーンの残りのスピンから分離することによって A 上で準備されます。準備後、は、最初は状態 を持つチェーンの残りの状態と相互作用できるようになります。時間の経過に伴うスピン チェーンの状態は、 によって記述できます。この関係から、チェーンの他のすべての状態をトレースすることで、レジスタ B に属するスピンの状態を取得できます。 ${\displaystyle \rho_{A}}$${\displaystyle \rho_{A}}$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle R(t)=U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)}$

${\displaystyle \rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]}$

これにより、以下のマッピングが得られます。これは、A の状態が量子チャネルを介して B に送信されるときに、時間の関数としてどのように変換されるかを示しています。U(t) は、システムの進化を時間の関数として記述する 単なるユニタリ行列です。

${\displaystyle \rho _{A}\rightarrow {\mathcal {M}}(\rho _{A})\equiv \rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]}$

しかし、量子チャネルのこの説明には、いくつかの問題があります。このようなチャネルの使用に関する前提の 1 つは、チェーンの状態が乱されないと予想されることです。チェーンを乱すことなく A に状態をエンコードすることは可能ですが、B からの状態の読み取りは、スピン チェーンの残りの状態に影響を与えます。したがって、レジスタ A と B を繰り返し操作すると、量子チャネルに未知の影響が及ぶことになります。この事実を考慮すると、このマッピングの容量を解くことは、チェーンの複数のコピーが並行して動作している場合にのみ適用されるため、一般的には役に立ちません。これらの容量の意味のある値を計算するには、以下の単純なモデルを使用して、容量を正確に解くことができます。

スピン鎖は、強磁性ハイゼンベルク相互作用を介して結合したスピン1/2の粒子の鎖で構成され、ハミルトニアンで記述されます。 ${\displaystyle H=-\sum _{\langle i,j\rangle }\hbar J_{ij}\left({\sigma }_{x}^{i}{\sigma }_{x}^{j}+{\sigma }_{y}^{i}{\sigma }_{y}^{j}+\gamma {\sigma }_{z}^{i}{\sigma }_{z}^{j}\right)-\sum _{i=1}^{N}\hbar B_{i}\sigma _{z}^{i}}$

入力レジスタ A と出力レジスタ B がチェーンに沿った最初の k 個のスピンと最後の k 個のスピンを占め、チェーンに沿ったすべてのスピンが z 方向のスピンダウン状態になる準備ができていると想定されます。次に、当事者はすべての k 個のスピン状態を使用して、単一の量子ビットをエンコード/デコードします。この方法の動機は、すべての k 個のスピンを使用できるようにすると、k 量子ビット チャネルができてしまい、完全に分析するには複雑すぎるためです。明らかに、より効率的なチャネルはすべての k 個のスピンを利用しますが、この非効率的な方法を使用することで、結果のマップを分析的に調べることができます。

利用可能な kビットを使用して 1 ビットのエンコードを実行するために、1 スピンアップ ベクトルが定義されます。このベクトルでは、j 番目のスピンだけがスピンアップ状態にあるのを除き、すべてのスピンがスピンダウン状態にあります。 ${\displaystyle |j\rangle}$

${\displaystyle |{j}\rangle \equiv \left|\downarrow \downarrow \cdots \downarrow \uparrow \downarrow \cdots \downarrow \right\rangle }$

送信者は次のように k 個の入力スピンのセットを準備します。

${\displaystyle |\Psi \rangle _{A}\equiv \alpha \left|\Downarrow \right\rangle _{A}+\beta |\phi _{1}\rangle _{A}}$

ここで、 はすべての位置がスピンダウンしている状態であり、はすべての可能な 1 つのスピンアップ状態の重ね合わせです。この入力を使用して、特定の時間 t におけるチェーン全体を記述する状態を見つけることができます。このような状態から、以前のモデルで行ったように、レシーバーに属さない Nk 個のスピンをトレースすると、B 上の状態が残ります。 ${\displaystyle \left|\Downarrow \right\rangle }$${\displaystyle |\phi _{1}\rangle }$

${\displaystyle \rho _{B}(t)=(|\alpha |^{2}+(1-\eta )|\beta |^{2})\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|+\eta |\beta |^{2}|\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha \beta ^{*}\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha ^{*}\beta |\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|}$

ここで、はチャネルの効率を定義する定数です。1 つのスピンが上向きになっている状態を で表し、すべてのスピンが下向きになっている状態を で表すと、次のクラウス演算子によって特徴付けられる振幅減衰チャネル を適用した結果としてこれが認識できるようになります。 ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}}$

${\displaystyle A_{0}=|0\rangle \langle 0|+{\sqrt {\eta }}|1\rangle \langle 1|}$; ${\displaystyle A_{1}={\sqrt {1-\eta }}|0\rangle \langle 1|}$

明らかに、振幅減衰チャネルがスピン鎖を介した量子状態の伝達を記述するという事実は、システムのハミルトニアンがエネルギーを保存するという事実に由来しています。1 つのスピンアップ状態が鎖に沿って転送されるときにエネルギーが拡散することはありますが、ダウン状態のスピンが突然エネルギーを得てスピンアップ状態になることは不可能です。

スピンチェーンを振幅減衰チャネルとして記述することにより、チャネルに関連付けられたさまざまな容量を計算することができます。これらの容量を見つけるために使用されるこのチャネルの便利な特性の 1 つは、効率 と を持つ 2 つの振幅減衰チャネルを連結できることです。このような連結により、効率 の新しいチャネルが得られます。 ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \eta '}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \eta '}$

量子容量を計算するために、マップは次のように表されます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\eta }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\equiv {\mbox{Tr}}_{C}[V\left(\rho \otimes |0\rangle _{C}\langle 0|\right)V^{\dagger }]\;.}$

この写像の表現は、のヒルベルト空間に補助ヒルベルト空間 を追加し、A と C に作用する演算子 V を導入することで得られます。相補チャネルも定義され、C 上をトレースする代わりに A 上をトレースします。A を C に変換するスワップ操作 S が定義されます。この操作と振幅減衰チャネルの連結規則を使用すると、 に対して次のことが示されます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle {\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }}$${\displaystyle \eta \geqslant 0.5}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }(\rho )=S{\mathcal {D}}_{(1-\eta )/\eta }\left({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\right)\;.}$

この関係は、チャネルが劣化可能であることを示し、チャネルの コヒーレント情報が加算的であることを保証します。これは、量子容量が単一チャネルの使用で達成されることを意味します。

振幅減衰マッピングは一般的な入力状態に適用され、このマッピングから出力の フォン ノイマン エントロピーは次のように求められます。

${\displaystyle S({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}\right)/2)\;,}$

ここで、状態は一貫性項です。状態の精製を見ると、次のことがわかります。 ${\displaystyle p\in [0,1]}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |\gamma |\leqslant {\sqrt {(1-p)p}}}$

${\displaystyle S(({\mathcal {D}}_{\eta }\otimes 1_{anc})(\Phi ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,(1-\eta )\,p)^{2}+4\,(1-\eta )\,|\gamma |^{2}}}\right)/2)}$

量子容量を最大化するために、エントロピーの凹性により、量子容量として次の値が得られることを選択します。 ${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle Q\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;}$

の量子容量を見つけることは簡単です。なぜなら、量子容量は複製禁止定理の直接的な結果として消滅するからです。チャネルがこのように構成できるという事実は、チャネルの量子容量が の関数として増加する必要があることを意味します。 ${\displaystyle \eta <0.5}$${\displaystyle \eta }$

エンタングルメント支援容量を計算するには、量子相互情報量を最大化する必要があります。これは、メッセージの入力エントロピーを前のセクションで導出したコヒーレント情報量に加えることで求められます。これは、 に対して再び最大化されます。したがって、エンタングルメント支援古典容量は次のように求められます。 ${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle C_{E}\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(p)+H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;}$

ここで、並列チャネル使用で非エンタングルメント符号化によって送信できる古典情報の最大量である C1 を計算します。この量は、古典容量C の下限として機能します。C1 を見つけるには、古典容量を n=1 に対して最大化します。確率がそれぞれ であるメッセージの集合を考えます。Holevo情報は次のようになります。 ${\displaystyle \xi _{k}}$

${\displaystyle \chi \equiv H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}}{2}}\right)-\sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\;}$

この式では、および は、前に定義したように、母集団とコヒーレンス項であり、 およびは、これらの平均値です。 ${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle \gamma _{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma }$

C1 を見つけるには、まず C1 の上限を見つけ、次にこの上限を満たす のセットを見つけます。前と同様に、Holevo 情報の最初の項を最大化するために、 は 0 に設定されます。ここから、バイナリ エントロピーがに関して減少しているという事実と、 がz に関して凸であるという事実を使用して、次の不等式を見つけます。 ${\displaystyle p_{k},\gamma _{k},\xi _{k}}$${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle H_{2}(z)}$${\displaystyle |1/2+z|}$${\displaystyle H_{2}(1+{\sqrt {1-z^{2}}}/2)}$

${\displaystyle \sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\geqslant H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )(\sum _{k}\xi _{k}p_{k})^{2}}}}{2}}\right)}$

p のすべての選択肢を最大化することで、C1 の上限は次のようになります。

${\displaystyle C_{1}\leqslant \max _{p\in [0,1]}{\Big \{}H_{2}\left(\eta \,p\right)-H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )\,p^{2}}}}{2}}\right){\Big \}}\;}$

この上限は C1 の値であることが判明しており、この上限を実現するパラメータは、、、およびです。 ${\displaystyle \xi _{k}=1/d\,\!}$${\displaystyle p_{k}=p\,\!}$${\displaystyle \gamma _{k}=e^{2\pi ik/d}{\sqrt {(1-p)p}}}$

さまざまな容量の式から、それらの数値解析を行うことができます。 が1 の場合、3 つの容量が最大化され、量子容量と古典容量は両方とも 1 になり、エンタングルメント支援古典容量は 2 になります。 前述のように、 が 0.5 未満の場合は量子容量は 0 ですが、が 0 の場合は古典容量とエンタングルメント支援古典容量は 0 になります。が 0.5 未満の場合は、量子情報が受信側に送信されるに は環境に情報が失われすぎます。${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta }$

振幅減衰チャネルの容量をチャネル効率の関数として計算すると、そのようなチャネルの有効性をエンコード サイトとデコード サイト間の距離の関数として分析できます。ボーズは、効率が の関数として低下することを実証しました。ここで、r はデコードの位置、s はエンコードの位置です。量子容量が 0.5 未満でゼロになるという事実により、これは、量子情報を伝送するには、送信者と受信者の間の距離が非常に短くなければならないことを意味します。したがって、長いスピン チェーンは量子情報の伝送には適していません。 ${\displaystyle |r-s|^{-2/3}}$${\displaystyle \eta }$

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