位相空間

物理システムの位相空間は、与えられたパラメータ化によって記述されるシステムのすべての可能な物理状態の集合である。それぞれの可能な状態は、位相空間内の点に一意に対応する。機械システムの場合、位相空間は通常、位置パラメータと運動量パラメータのすべての可能な値から構成される。これは、直接空間と逆空間の直積である。^{[説明が必要]位相空間の概念は、19世紀後半に}ルートヴィヒ・ボルツマン、アンリ・ポアンカレ、ジョサイア・ウィラード・ギブスによって発展した。^[1]

位相空間では、システムのすべての自由度またはパラメータが多次元空間の軸として表されます。1 次元システムは位相線と呼ばれ、2 次元システムは位相平面と呼ばれます。システムのすべての可能な状態、またはシステムのパラメータ値の許容される組み合わせに対して、1 つの点が多次元空間に含まれます。時間の経過に伴うシステムの進化状態は、高次元空間を通るパス (システムの位相空間軌跡) をトレースします。位相空間軌跡は、特定の 1 つの初期条件から開始する場合に適合する状態のセットを表し、任意の初期条件から開始する場合に適合する状態のセットを表す完全な位相空間内にあります。全体として、位相図はシステムの可能性をすべて表し、その形状によって、他の方法では明らかでないシステムの品質を簡単に説明できます。位相空間には、多数の次元を含めることができます。たとえば、多くの分子を含むガスでは、各粒子のx、y、zの位置と運動量に別々の次元が必要になる場合があります (理想的な単原子ガスの場合は 6 次元)。また、より複雑な分子システムでは、分子結合の振動モードや 3 軸の周りの回転を記述するために追加の次元が必要になります。位相空間は、さまざまな回転軸や並進軸の周りやそれに沿った動きに制限された機械システムの挙動を解析する場合に使いやすくなります。たとえば、ロボット工学では、ロボット アームの可動範囲を解析したり、特定の位置/運動量の結果を達成するための最適なパスを決定したりする場合などです。

古典力学では、位置の一般化座標 q _i (つまり、配置空間上の座標)の選択は、共役の一般化運動量 p _{i を}定義し、これらが一緒に位相空間上の座標を定義します。より抽象的に、古典力学では、位相空間は配置空間の余接束であり、この解釈では、上記の手順は、配置空間上の局所座標の選択が、余接空間上の標準的なシンプレクティック構造の自然な局所ダルブー座標の選択を誘導することを表しています。

この空間におけるシステムの集合の運動は、古典統計力学によって研究される。このようなシステムにおける点の局所密度はリウヴィルの定理に従うため、一定とみなすことができる。古典力学のモデルシステムのコンテキスト内では、任意の時点におけるシステムの位相空間座標は、システムのすべての動的変数で構成される。このため、ハミルトンまたはラグランジュの運動方程式を積分することにより、将来または過去の任意の時点におけるシステムの状態を計算することが可能である。

単純なシステムの場合、自由度は 1 つか 2 つしかありません。1つの変数で自律 常微分方程式がある場合、自由度が 1 つ発生します。その結果得られる 1 次元システムは位相線と呼ばれ、システムの質的動作は位相線からすぐに確認できます。最も単純で自明でない例としては、指数関数的成長モデル/ 減衰 (不安定/安定平衡が 1 つ) とロジスティック成長モデル(平衡が 2 つ、1 つは安定、もう 1 つは不安定) があります。 ${\displaystyle dy/dt=f(y),}$

2 次元システムの位相空間は位相平面と呼ばれ、これは古典力学において 1 次元で運動する単一の粒子に対して発生し、2 つの変数は位置と速度です。この場合、位相図のスケッチにより、図に示されているファンデルポール振動子のリミット サイクルなど、システムのダイナミクスに関する定性的な情報が得られます。

ここで、水平軸は位置を示し、垂直軸は速度を示します。システムが進化するにつれて、その状態は相図上の線 (軌道) の 1 つに従います。

位置と運動量の変数を時間の関数としてプロットしたものは、位相図または相図と呼ばれることがあります。ただし、後者の「相図」という表現は、物理科学では、圧力、温度、組成 からなる化学システムの熱力学的相のさまざまな安定領域を示す図を指すためによく使用されます。

数学において、位相図とは、位相平面における力学系の軌道の幾何学的表現である。初期条件の各セットは、異なる点または曲線によって表される。

位相図は、動的システムを研究する上で非常に貴重なツールです。位相図は、位相空間における典型的な軌跡のプロットで構成されます。これにより、選択したパラメータ値に対してアトラクター、リペラー、またはリミット サイクルが存在するかどうかなどの情報が明らかになります。位相等価性の概念は、2 つの異なる位相図が同じ質的な動的動作を表す場合を特定することで、システムの動作を分類する上で重要です。アトラクターは「シンク」とも呼ばれる安定したポイントです。リペラーは「ソース」とも呼ばれる不安定なポイントと見なされます。

動的システムの位相図は、システムの軌跡 (矢印)、安定した定常状態(点)、および不安定な定常状態 (円) を位相空間で表します。軸は状態変数です。

古典統計力学（連続エネルギー）では、位相空間の概念は、位相積分として知られる分割関数（状態の合計）の古典的な類似物を提供します。 ^{[2]離散的に間隔を置いたエネルギー状態（各自由度に対して適切な整数}量子数で定義）にわたってボルツマン因子を合計する代わりに、連続位相空間にわたって積分することができます。このような積分は、基本的に2つの部分で構成されます。すべての自由度の運動量成分の積分（運動量空間）とすべての自由度の位置成分の積分（配置空間）です。位相積分がわかれば、単位位相空間あたりの量子エネルギー状態の数を表す正規化定数を乗算することで、古典的な分割関数に関連付けることができます。この正規化定数は、システムの自由度の数に等しい累乗されたプランク定数の逆数です。 ^[3]

カオス理論の相図の典型的な例は次のとおりです。

• ローレンツアトラクター
• 人口増加（ロジスティックマップ）
• マンデルブロ集合を持つ複素二次多項式のパラメータ平面。

量子力学では、位相空間の座標pとq は通常、ヒルベルト空間内のエルミート演算子になります。

しかし、それらの関数が新しい代数的な方法で合成されるならば（グローネウォルドの1946年のスター積を通じて）、それらは代わりに古典的な解釈を保持することができます。これは量子力学の不確定性原理と一致しています。すべての量子力学的観測可能量は、位相空間上の一意の関数または分布に対応し、逆に、ヘルマン・ワイル（1927）によって指定され、ジョン・フォン・ノイマン（1931）、ユージン・ウィグナー（1932）、そして壮大な統合においてH. J.グローネウォルド（1946）によって補足されました。J . E. モヤル（1949）とともに、これらは量子力学の位相空間定式化の基礎を完成させました。これは量子力学の完全かつ論理的に自律的な再定式化です。^[4]（その現代的な抽象化には、変形量子化と幾何量子化が含まれます。）

位相空間量子化における期待値は、ヒルベルト空間の密度行列を持つトレーシング演算子観測量と同型に得られます。つまり、観測量の位相空間積分によって得られ、ウィグナー準確率分布が実質的に尺度として機能します。

このように、量子力学を位相空間（古典力学と同じ範囲）で表現することにより、ワイル写像は、量子力学を、変形パラメータħ / S（ここでSは関連するプロセスの作用）を伴う古典力学の変形（一般化）として認識することを容易にする。（物理学におけるその他のよく知られた変形には、変形パラメータv / cを伴う古典ニュートン力学から相対論的力学への変形^{[出典が必要] 、}または変形パラメータシュワルツシルト半径/ 特性次元を伴うニュートン重力から一般相対論への変形が含まれる。）^{[出典が必要]}

古典力学で適用される従来の可換乗算が、量子力学を特徴づけ、その不確定性原理の基礎となる非可換スター乗算に一般化されるため、古典的な表現、観測量、および演算（ポアソン括弧など）は、ħ 依存の量子補正によって修正されます。

熱力学と統計力学の文脈では、「位相空間」という用語には 2 つの意味があります。1 つは、古典力学と同じ意味で使用されます。熱力学システムがN 個の粒子で構成されている場合、各粒子が 3 つの位置変数と 3 つの運動量変数に関連付けられているため、6 N次元の位相空間内の点は、そのシステム内のすべての粒子の動的状態を表します。この意味では、粒子が区別できる限り、位相空間内の点はシステムのミクロ状態であると言われています。(区別できない粒子の場合、ミクロ状態はN個の粒子のすべての可能な交換に対応するN ! 個の点の集合で構成されます。) Nは通常、アボガドロ数のオーダーであるため、システムをミクロレベルで記述することは多くの場合非現実的です。これにより、位相空間が異なる意味で使用されます。

位相空間は、圧力、温度などのシステムのマクロな状態によってパラメータ化される空間を指すこともあります。たとえば、圧力-体積図や温度-エントロピー図は、この位相空間の一部を記述するものと見なすことができます。この位相空間内の点は、それに応じてマクロ状態と呼ばれます。同じマクロ状態を持つミクロ状態が複数存在する可能性は十分にあります。たとえば、温度が固定されている場合、システムはミクロレベルで多くの動的構成を持つことができます。この意味で使用される場合、位相とは、問題のシステムが、たとえば液相や固相などにある位相空間の領域です。

ミクロ状態はマクロ状態よりはるかに多いため、第一の意味での位相空間は、通常、第二の意味での位相空間よりもはるかに大きな次元の多様体です。明らかに、システムの温度や圧力などを指定するだけよりも、分子または原子スケールに至るまでシステムのあらゆる詳細を記録するには、はるかに多くのパラメータが必要です。

位相空間は、照明に特化した光学分野である非結像光学^{[5]で広く利用されている。また、}ハミルトン光学でも重要な概念である。

医学やバイオエンジニアリングでは、位相空間法は多次元の生理学的反応を可視化するために使用されています。^{[6] [7]}

• ノルテ、DD（2015）。『現代ダイナミクス入門：カオス、ネットワーク、空間、時間』オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-965703-2。
• ノルテ、DD（2018）。『ガリレオの解放：生命、宇宙、そして万物への道』オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-880584-7。

• 「位相空間」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]