リンドブラディアン

量子力学において、ゴリーニ・コサコフスキー・スダルシャン・リンドブラッド方程式（GKSL方程式、ヴィットーリオ・ゴリーニ、アンジェイ・コサコフスキー、ジョージ・スダルシャン、ヨーラン・リンドブラッドにちなんで名付けられた）、リンドブラッド形式のマスター方程式、量子リウビリアン、またはリンドブラッド方程式は、開いた量子系を記述するマルコフ マスター方程式の一般的な形式の一つである。これはシュレーディンガー方程式を開いた量子系、つまり周囲と接触している系に一般化したものだ。結果として生じるダイナミクスはもはやユニタリーではないが、トレース保存であり、任意の初期条件に対して完全に正であるという特性を満たしている。^[1]

シュレーディンガー方程式、あるいは実際にはフォン・ノイマン方程式は、GKSL方程式の特殊なケースであり、リンドブラッド方程式のさらなる応用と分析を通じて量子力学が生産的に拡張および拡大される可能性があるという推測につながっています。^{[2]シュレーディンガー方程式は}状態ベクトル を扱いますが、これは純粋な量子状態のみを記述できるため、混合状態も 記述できる密度行列よりも汎用性が低くなります。

量子システムとその環境との相互作用を理解することは、励起された原子からの光の自然放出や、レーザーのような多くの量子技術デバイスの性能など、一般的に観察される多くの現象を理解するために必要です。

量子力学の標準的な定式化では、システムの時間発展はユニタリダイナミクスによって支配されます。これは、プロセス全体を通じて減衰がなく位相の一貫性が維持されることを意味し、関与するすべての自由度が考慮されるという事実の結果です。ただし、実際の物理システムは環境と相互作用し、完全に孤立しているわけではありません。システムの外部にある自由度との相互作用により、エネルギーが周囲に散逸し、位相の減衰とランダム化が発生します。

量子システムとその環境との相互作用を扱うために、特定の数学的手法が導入されている。その 1 つが、密度行列とそれに関連するマスター方程式の使用である。原理的には、量子力学を解くこのアプローチはシュレーディンガー描像やハイゼンベルク描像と同等であるが、環境との相互作用を表す非コヒーレント過程をより簡単に含めることができる。密度演算子は、量子状態の古典的な混合を表すことができるという特性があり、そのため、いわゆるオープン量子システムのダイナミクスを正確に記述するために不可欠である。

システムの密度行列ρのリンドブラッドマスター方程式は次のように表される^{[1] （教育的な導入については[3]}を参照）。

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}}\right)}$

反交換子はどこにありますか。 ${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}$

${\displaystyle H}$はシステムハミルトニアンであり、ダイナミクスのユニタリな側面を記述します。

${\displaystyle \{L_{i}\}_{i}}$はジャンプ演算子の集合であり、ダイナミクスの散逸部分を記述します。ジャンプ演算子の形状は、環境がシステムにどのように作用するかを記述し、システム環境ダイナミクスの微視的モデルから決定されるか、現象論的にモデル化される必要があります。

${\displaystyle \gamma _{i}\geq 0}$は、減衰率と呼ばれる非負の実係数の集合です。これらをすべて足すと、ユニタリダイナミクスを記述するフォンノイマン方程式が得られます。これは、古典的なリウヴィル方程式の量子版です。 ${\displaystyle \gamma _{i}=0}$${\displaystyle {\dot {\rho }}=-(i/\hbar )[H,\rho ]}$

方程式全体は、スーパー演算子形式で記述することができ、これは古典的なリウヴィル方程式に似ています。このため、スーパー演算子はリンドブラッドスーパー演算子またはリウヴィルスーパー演算子と呼ばれます。^[3]$${\displaystyle {\dot {\rho }}={\mathcal {L}}(\rho )}$$ ${\displaystyle {\dot {\rho }}=\{H,\rho \}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

より一般的には、GKSL方程式は次の形式をとる。

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{n,m}h_{nm}\left(A_{n}\rho A_{m}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{A_{m}^{\dagger }A_{n},\rho \right\}}\right)}$

ここで、は任意の演算子であり、h は正の半正定値行列です。後者は、ダイナミクスがトレース保存され、完全に正であることを保証するための厳格な要件です。演算子の数は任意であり、特別な特性を満たす必要はありません。ただし、システムが次元の場合、マスター方程式は、演算子の空間の基底を形成する演算子のセットによって完全に記述できることが示されています^[1]。 ${\displaystyle \{A_{m}\}}$${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{2}-1}$

実のところ、一般形式はより一般的ではなく、特殊形式に簡約することができます。行列hは半正定値であるため、ユニタリ変換uで対角化できます。

${\displaystyle u^{\dagger }hu={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&\cdots &0\\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}}}$

ここで、固有値γ _{i は}非負である。別の正規直交演算子基底を定義すると、

${\displaystyle L_{i}=\sum _{j}u_{ji}A_{j}}$

これにより、マスター方程式は前と同じ形式になります。$${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)}$$

リンドブラディアンによって様々な時間に対して生成されるマップは、総称して量子力学的半群と呼ばれます。これは、半群の性質 に従う単一の時間パラメータによってインデックス付けされた密度行列の空間上の量子力学的マップ の族です。${\displaystyle \phi _{t}}$${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \phi _{s}(\phi _{t}(\rho ))=\phi _{t+s}(\rho ),\qquad t,s\geq 0.}$

リンドブラッド方程式は次のように得られる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )=\mathrm {lim} _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi _{\Delta t}(\rho )-\phi _{0}(\rho )}{\Delta t}}}$

これは の線型性により線型超作用素である。半群は次のように復元できる。 ${\displaystyle \phi _{t}}$

${\displaystyle \phi _{t+s}(\rho )=e^{{\mathcal {L}}s}\phi _{t}(\rho ).}$

リンドブラッド方程式はリンドブラッド演算子と定数の任意のユニタリ変換vに対して不変である。

${\displaystyle {\sqrt {\gamma _{i}}}L_{i}\to {\sqrt {\gamma _{i}'}}L_{i}'=\sum _{j}v_{ij}{\sqrt {\gamma _{j}}}L_{j},}$

また、不均一変換の下でも

${\displaystyle L_{i}\to L_{i}'=L_{i}+a_{i}I,}$

${\displaystyle H\to H'=H+{\frac {1}{2i}}\sum _{j}\gamma _{j}\left(a_{j}^{*}L_{j}-a_{j}L_{j}^{\dagger }\right)+bI,}$

ここで、 a _iは複素数、bは実数です。ただし、最初の変換は演算子L _iの正規直交性を破壊し(すべてのγ _iが等しい場合を除く)、2 番目の変換はトレースレス性を破壊します。したがって、γ _i間の退化を除き、リンドブラッド方程式の対角形式のL _{i は、}正規直交かつトレースレスであることが要求される限り、ダイナミクスによって一意に決定されます。

シュレーディンガー描像における密度行列のリンドブラッド型の発展は、各量子観測量Xに対して 次の（対角化された）運動方程式^{[4]を使用して}ハイゼンベルク描像で同等に記述できる。

${\displaystyle {\dot {X}}={\frac {i}{\hbar }}[H,X]+\sum _{i}\gamma _{i}\left(L_{i}^{\dagger }XL_{i}-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},X\right\}\right).}$

同様の方程式は、エーレンフェストの定理によって与えられる観測量の期待値の時間発展を記述します。シュレーディンガー描像リンドブラッド方程式のトレース保存特性に対応して、ハイゼンベルク描像方程式は単位的、つまり恒等演算子を保存します。

リンドブラッドマスター方程式は、マルコフリザーバーに弱く結合したシステムなど、さまざまな種類の開放量子システムの進化を記述します。^[1]方程式に現れるH は、必ずしも裸のシステムハミルトニアンに等しいわけではなく、システムと環境の相互作用から生じる有効なユニタリーダイナミクスを組み込むこともできること に注意してください。

発見的な導出、例えばPreskillのノート^[5]では、より一般的な形の開放量子システムから始めて、マルコフ仮定を立てて短時間で展開することで、それをリンドブラッド形に変換します。より物理的に動機付けられた標準的な処理^{[6] [7]}では、システムと環境の両方に作用するハミルトニアンから始めて、リンドブラッドの一般的な3種類の導出、すなわち弱結合限界（詳細は後述）、低密度近似、特異結合限界を取り上げます。これらはそれぞれ、環境の相関関数などに関する特定の物理的仮定に依存しています。たとえば、弱結合限界導出では、通常、(a) システムと環境の相関はゆっくりと発達する、(b) システムによって引き起こされる環境の励起は急速に減衰する、(c) 対象のシステムの時間スケールと比較して高速に振動する項は無視できる、と仮定します。これら3つの近似は、それぞれボルン、マルコフ、回転波と呼ばれます。^[8]

弱結合極限導出では、有限数の自由度を持つ量子系が、無限数の自由度を持つ浴と結合していると仮定する。系と浴はそれぞれ、全ヒルベルト空間のそれぞれの部分空間にのみ作用する演算子で記述されたハミルトニアンを持つ。これらのハミルトニアンは、結合されていない系と浴の内部ダイナミクスを支配する。系と浴の演算子の積を含む第3のハミルトニアンがあり、系と浴を結合する。このハミルトニアンの最も一般的な形式は、

${\displaystyle H=H_{S}+H_{B}+H_{BS}\,}$

システム全体のダイナミクスは、リウヴィルの運動方程式 で記述できます。この方程式は、無限の自由度を含むため、非常に特殊な場合を除いて解析的に解くことは不可能です。さらに、特定の近似では、浴の自由度を考慮する必要がなく、システム密度行列 によって有効なマスター方程式を導くことができます。この問題は、ユニタリ変換 によって定義される相互作用図に移すことで、より簡単に解析できます。ここで、は任意の演算子であり、 です。また、 はシステム全体の全ユニタリ演算子であることにも注意してください。リウヴィル方程式が次の式になることは簡単に確認できます。 ${\displaystyle {\dot {\chi }}=-i[H,\chi ]}$${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{B}\chi }$${\displaystyle {\tilde {M}}=U_{0}MU_{0}^{\dagger }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U_{0}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}}$${\displaystyle U(t,t_{0})}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS},{\tilde {\chi }}]\,}$

ここでハミルトニアンは時間依存である。また、相互作用図によれば、 である。この式は直接積分して次のように表すことができる。 ${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}H_{BS}e^{-i(H_{S}+H_{B})t}}$${\displaystyle {\tilde {\chi }}=U_{BS}(t,t_{0})\chi U_{BS}^{\dagger }(t,t_{0})}$${\displaystyle U_{BS}=U_{0}^{\dagger }U(t,t_{0})}$

${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\chi }}(0)-i\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]}$

この暗黙の方程式をリウヴィル方程式に代入すると、正確な微分積分​​方程式が得られる。 ${\displaystyle {\tilde {\chi }}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS}(t),{\tilde {\chi }}(0)]-\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]}$

相互作用が で開始され、その時点ではシステムと浴の間に相関関係がないと仮定して導出を進めます。これは、初期条件が として因数分解可能であることを意味します。ここで、は初期の浴の密度演算子です。 ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \chi (0)=\rho (0)R_{0}}$${\displaystyle R_{0}}$

前述の微分積分方程式の 自由度をトレースすると、次の式が得られる。${\displaystyle \operatorname {tr} _{R}{\tilde {\chi }}={\tilde {\rho }}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]\}}$

この方程式は、システム密度行列の時間ダイナミクスについては正確ですが、浴の自由度のダイナミクスに関する完全な知識が必要です。ボルン近似と呼ばれる単純化された仮定は、浴の大きさと結合の相対的な弱さに基づいています。つまり、システムと浴の結合によって浴の固有状態が大幅に変わることはないということです。この場合、完全な密度行列は、すべての時間について として因数分解可能です。マスター方程式は次のようになります。 ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\rho }}(t)R_{0}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t')R_{0}]]\}}$

この方程式はシステムの自由度で明示的になりましたが、解くのは非常に困難です。最後の仮定は、密度行列の時間微分が過去ではなく現在の状態にのみ依存するというボルン・マルコフ近似です。この仮定は、浴内の相関が極めて急速に失われる高速浴ダイナミクスの下で有効であり、方程式の右辺で を置き換えることに相当します。 ${\displaystyle \rho (t')\rightarrow \rho (t)}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

相互作用ハミルトニアンが次の形式であると仮定すると

${\displaystyle H_{BS}=\sum _{i}\alpha _{i}\Gamma _{i}}$

システム演算子とバス演算子の場合、マスター方程式は 次のようになります。${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \Gamma _{i}}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=\sum _{i}{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\Gamma }}_{i}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{i}(t),[{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{j}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

これは次のように展開できる。

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\left[\left({\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t)-{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t')\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{j}(t')\rangle +\left({\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\alpha }}_{i}(t)-{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{i}(t)\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{i}(t)\rangle \right]}$

期待値は、浴の自由度に関するものです。これらの相関関係が急速に減衰すると仮定すると（理想的には）、上記の Lindblad スーパー演算子 L の形式が達成されます。 ${\displaystyle \langle \Gamma _{i}\Gamma _{j}\rangle =\operatorname {tr} \{\Gamma _{i}\Gamma _{j}R_{0}\}}$${\displaystyle \langle \Gamma _{i}(t)\Gamma _{j}(t')\rangle \propto \delta (t-t')}$

最も単純なケースでは、ジャンプ演算子は1つだけで、ユニタリー進化はありません。この場合、リンドブラッド方程式は ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )={F\rho F^{\dagger }}-{\frac {1}{2}}\left(F^{\dagger }F\rho +\rho F^{\dagger }F\right)}$

このケースは、量子光学において、貯蔵庫からの光子の吸収または放出をモデル化するためによく使用されます。

吸収と放出の両方をモデル化するには、それぞれにジャンプ演算子が必要です。これは、ジャンプ演算子を使用して、熱浴に結合された量子調和振動子（たとえば、ファブリ・ペロー共振器を表す）の減衰を記述する最も一般的なリンドブラッド方程式につながります。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&=a,&\gamma _{1}&={\tfrac {\gamma }{2}}\left({\overline {n}}+1\right),\\F_{2}&=a^{\dagger },&\gamma _{2}&={\tfrac {\gamma }{2}}{\overline {n}}.\end{aligned}}}$

ここで、振動子を減衰させるリザーバー内の励起の平均数であり、γ は減衰率です。 ${\displaystyle {\overline {n}}}$

光子の 周波数を持つ量子調和振動子ハミルトニアンをモデル化するには、さらにユニタリー進化を追加することができます。${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-i[\omega _{c}a^{\dagger }a,\rho ]+\gamma _{1}{\mathcal {D}}[F_{1}](\rho )+\gamma _{2}{\mathcal {D}}[F_{2}](\rho ).}$

追加の Lindblad 演算子を追加して、さまざまな形式の位相ずれと振動緩和をモデル化できます。これらの方法は、グリッドベースの密度行列伝播法に組み込まれています。

• 量子マスター方程式
• レッドフィールド方程式
• オープン量子システム
• 量子ジャンプ法
• ソホーツキー・プレメリ定理 § ハイトラー関数

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• Matlab 用量子光学ツールボックス
• mcsolve QuTiP の量子ジャンプ (モンテカルロ) ソルバー。
• QuantumOptics.jl は、Julia の量子光学ツールボックスです。
• リンドブラッドのマスター方程式