量子脱分極チャネル

量子脱分極チャネルは、量子システムにおける量子ノイズのモデルである。次元の脱分極チャネルは、 1つのパラメータに依存する完全に正のトレース保存マップとして見ることができ、これは状態をそれ自体と最大限に混合された状態との線形結合にマッピングする。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \Delta _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle \Delta _{\lambda }(\rho )=(1-\lambda )\rho +{\frac {\lambda }{d}}I.}$

完全な正値性の条件は、境界を満たすことを 必要とする。${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1+{\frac {1}{d^{2}-1}}.}$

単一量子ビットの脱分極チャネルは、密度行列上 の演算子和表現^{[1]を持ち、} ${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle \Delta _{\lambda }(\rho )=\sum _{i=0}^{3}K_{i}\rho K_{i}^{\dagger },}$

ここでクラウス演算子は次のように与えられる 。${\displaystyle K_{i}}$

${\displaystyle K_{0}={\sqrt {1-{\frac {3\lambda }{4}}}}I,K_{1}={\sqrt {\frac {\lambda }{4}}}X,K_{2}={\sqrt {\frac {\lambda }{4}}}Y,K_{3}={\sqrt {\frac {\lambda }{4}}}Z}$

と はパウリ行列である。トレース保存条件は、${\displaystyle \{I,X,Y,Z\}}$${\displaystyle \sum _{i}K_{i}^{\dagger }K_{i}=I.}$

幾何学的には、偏光解消チャネルは、 によってパラメータ化されたブロッホ球の均一な収縮として解釈できます。チャネルが任意の入力状態 に対して最大限に混合された状態を返す場合、これはブロッホ球の原点によって与えられた 単一点までの完全な収縮に対応します。${\displaystyle \Delta _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\frac {I}{2}}}$

HSW定理は、量子チャネルの古典的な容量は正規化されたHolevo情報として特徴付けられることを述べています。 ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\chi (\Psi ^{\otimes n}).}$

この量は計算が難しく、量子通信路に関する我々の無知を反映している。しかし、もしHolevo情報が通信路に対して加法的であれば、すなわち、 ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \chi (\Psi \otimes \Psi )=\chi (\Psi )+\chi (\Psi ).}$

次に、チャネルの Holevo 情報を計算することによって、その古典的な容量を取得できます。

すべてのチャネルに対するHolevo情報の加法性は量子情報理論における有名な未解決の予想であったが、この予想は一般には成り立たないことが現在では知られている。これは、すべてのチャネルに対する最小出力エントロピーの加法性が成り立たないことを示すことによって証明されたが、これは同等の予想である ^{[2] 。}

それにもかかわらず、ホレボ情報の加法性は量子脱分極チャネルに対して成り立つことが示されており、^[3]証明の概要を以下に示す。結果として、チャネルの複数の使用にわたるエンタングルメントは、古典的な容量を増やすことはできない。この意味で、チャネルは古典的なチャネルのように動作する。最適な通信速度を達成するには、メッセージをエンコードするための正規直交基底を選択し、受信側で同じ基底に投影する測定を実行するだけで十分である。

脱分極チャネルのHolevo情報の加法性は、Christopher Kingによって証明されました。^[3]彼は、脱分極チャネルの最大出力「p」ノルムが乗法性であることを示しました。これは、Holevo情報の加法性と同等の最小出力エントロピーの加法性を意味します。

Holevo情報の加法性のより強いバージョンは、脱分極チャネルに対して示されています。任意のチャネル${\displaystyle \Delta _{\lambda }}$${\displaystyle \Psi ,}$

${\displaystyle \chi (\Delta _{\lambda }\otimes \Psi )=\chi (\Delta _{\lambda })+\chi (\Psi ).}$

これは、最大出力pノルム（ と表記）の次の乗法性によって暗示されます。 ${\displaystyle v_{p}}$

${\displaystyle v_{p}(\Delta _{\lambda }\otimes \Psi )=v_{p}(\Delta _{\lambda })v_{p}(\Psi ).}$

上記のより大きいか等しい方向は自明であり、それぞれに対して最大のpノルムを達成する状態のテンソル積を取り、積状態を積チャネルに入力して出力pノルムを得るだけで十分である。他の方向の証明はより複雑である。 ${\displaystyle \Delta _{\lambda }}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle v_{p}(\Delta _{\lambda })v_{p}(\Psi )}$

証明の主なアイデアは、脱分極チャネルをより単純なチャネルの凸結合として書き直し、それらの単純なチャネルの特性を使用して、脱分極チャネルの 最大出力pノルムの乗法性を取得することです。

脱分極チャネルは次のように記述できることがわかります。

${\displaystyle \Delta _{\lambda }(\rho )=\sum _{n=1}^{2d^{2}(d+1)}c_{n}U_{n}^{*}\Phi _{\lambda }^{(n)}(\rho )Un}$

ここで、は正の数、はユニタリ行列、はいくつかの位相ずれチャネル、は任意の入力状態です。 ${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle U_{n}}$${\displaystyle \Phi _{\lambda }^{(n)}}$${\displaystyle \rho }$

したがって、製品チャネルは次のように記述できます。

${\displaystyle \left(\Delta _{\lambda }\otimes \Psi \right)(\rho )=\sum _{n=1}^{2d^{2}(d+1)}c_{n}(U_{n}^{*}\otimes I)\left(\Phi _{\lambda }^{(n)}\otimes \Psi \right)(\rho )\left(U_{n}\otimes I\right).}$

pノルムの凸性とユニタリー不変性により、より単純な境界を示すだけで十分である。

${\displaystyle \left\|\left(\Phi _{\lambda }^{(n)}\otimes \Psi \right)(\rho )\right\|_{p}\leq v_{p}(\Delta _{\lambda })v_{p}(\Psi ).}$

この境界の証明に使われる重要な数学的ツールの 1 つは、Lieb–Thirring 不等式です。これは、正の行列の積のpノルムの境界を提供します。証明の詳細と計算は省略しますので、興味のある読者は、上記の C. King の論文を参照してください。

この証明で使用された主な手法、すなわち、関心のあるチャネルを他のより単純なチャネルの凸結合として書き換えることは、以前にユニット量子ビットチャネルに対して同様の結果を証明するために使用された方法の一般化である。^[4]

脱分極チャネルの古典的容量がチャネルの Holevo 情報に等しいという事実は、エンタングルメントなどの量子効果を使用して古典的情報の伝送速度を向上させることは実際にはできないことを意味します。この意味で、脱分極チャネルは古典的チャネルとして扱うことができます。

しかし、Holevo 情報の加法性が一般には成立しないという事実は、加法性に違反するチャネル、言い換えれば、量子効果を利用して Holevo 情報を超えて古典的な容量を改善できるチャネルを見つけることなど、将来の研究のいくつかの領域を提案しています。

• King, C. (2003 年 1 月 14 日)、「量子脱分極チャネルの容量」、IEEE Transactions on Information Theory、49 (1): 221– 229、arXiv : quant-ph/0204172v2、doi :10.1109/TIT.2002.806153
• ヘイスティングス、MB（2009年3月15日）、「エンタングルド入力を用いた通信容量の超加法性」、ネイチャー物理学、5（4）：255-257、arXiv：0809.3972v4、Bibcode：2009NatPh...5..255H、doi：10.1038/nphys1224
• ワイルド、マーク M. (2017)、量子情報理論、ケンブリッジ大学出版局、arXiv : 1106.1445、Bibcode :2011arXiv1106.1445W、doi :10.1017/9781316809976.001