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数学において、微分方程式とは、1つ以上の未知の関数とその導関数を関連付ける方程式である。[ 1 ]応用においては、関数は一般的に物理量を表し、導関数はその変化率を表し、微分方程式は両者の関係を定義する。このような関係は数学モデルや科学法則によく見られるため、微分方程式は工学、物理学、経済学、生物学など多くの分野で重要な役割を果たしている。
微分方程式の研究は、主にその解（各方程式を満たす関数の集合）とその解の性質の研究から成ります。明示的な公式で解けるのは最も単純な微分方程式のみですが、与えられた微分方程式の解の多くの性質は、厳密に計算しなくても判断できます。
解の閉形式表現が得られない場合、コンピュータを用いて数値的に近似解を求めることがよくあり、一定の精度で解を求めるための多くの数値解法が開発されてきた。力学系の理論は、解の定性的な側面、例えば長時間にわたる平均的な挙動などを分析する。
微分方程式は、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツによる微積分学の発明とともに誕生した。ニュートンは1671年の著書『Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum 』の第2章で、3種類の微分方程式を挙げている。[ 2 ]
これらの場合すべてにおいて、yはx（またはx₁とx₂ ）の未知関数であり、fは既知の関数である。彼はこれらの例やその他の問題を無限級数を用いて解き、解の非一意性について論じた。
ヤコブ・ベルヌーイは1695年にベルヌーイ微分方程式を提唱した。 [ 3 ]これは次の形式の常微分方程式である。
翌年、ライプニッツはそれを単純化することで解を得た。[ 4 ]
歴史的に、楽器のような振動する弦の問題は、ジャン・ル・ロン・ダランベール、レオンハルト・オイラー、ダニエル・ベルヌーイ、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって研究された。[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] 1746年にダランベールは一次元波動方程式を発見し、10年以内にオイラーは三次元波動方程式を発見した。[ 9 ]
オイラー・ラグランジュ方程式は、 1750年代にオイラーとラグランジュが等時曲線問題の研究に関連して開発したものです。等時曲線問題とは、重りをつけた粒子が、出発点に関係なく、一定時間内に一定の点に落下する曲線を求める問題です。ラグランジュはこの問題を1755年に解決し、その解をオイラーに送りました。両者はラグランジュの方法をさらに発展させ、力学に応用しました。これがラグランジュ力学の定式化につながりました。
1822年、フーリエは熱の流れに関する研究を『熱の解析理論』 （Théorie analytique de la chaleur）[ 10 ]で発表した。この中で彼は、隣接する2つの分子間の熱の流れは、それらの温度の極めて小さな差に比例するというニュートンの冷却法則に基づいて推論を行った。この本には、フーリエが提案した伝導による熱拡散の熱方程式が含まれている。この偏微分方程式は現在、数理物理学のカリキュラムで一般的に扱われている。
古典力学では、物体の運動は、時間とともに変化する位置と速度によって記述されます。ニュートンの法則によれば、これらの変数（位置、速度、および物体に作用する様々な力が与えられた場合）は、物体の未知の位置を時間の関数として表す微分方程式として動的に表現できます。
場合によっては、この微分方程式（運動方程式と呼ばれる）を明示的に解くことができる。
微分方程式を用いて現実世界の問題をモデル化する例として、重力と空気抵抗のみを考慮した、空中を落下するボールの速度を求めることが挙げられます。ボールの地面への加速度は、重力による加速度から空気抵抗による減速度を差し引いたものです。重力は一定とみなされ、空気抵抗はボールの速度に比例するとモデル化できます。つまり、ボールの加速度（速度の微分）は速度に依存し（そして速度は時間に依存します）、時間の関数として速度を求めるには、微分方程式を解き、その妥当性を検証する必要があります。
微分方程式は、さまざまな方法で分類できます。これらの分類は、方程式自体の性質を説明するだけでなく、解法の選択にも役立ちます。一般的に用いられる分類としては、方程式が常微分方程式か偏微分方程式か、線形か非線形か、同次方程式か異次方程式かなどが挙げられます。このリストは網羅的なものではなく、他にも多くの性質やサブクラスが存在し、特定の状況において非常に有用です。
常微分方程式（ODE ）とは、実数または複素数の変数xの未知関数、その導関数、およびxの既知の関数を含む方程式です。未知関数は一般に従属変数（多くの場合yで表される）で表され、したがって従属変数はxに依存します。そのため、 xはしばしば方程式の独立変数と呼ばれます。「常微分方程式」という用語は、複数の独立変数に関する偏微分方程式という用語と対比して使用されます。
一般的に、微分方程式の解は閉じた形式の式で表すことができないため、微分方程式をコンピュータ上で解くには数値解法がよく用いられる。
偏微分方程式（PDE ）とは、未知の多変数関数とその偏導関数を含む微分方程式のことです。PDEは、複数の変数を含む関数の問題を定式化するために用いられ、閉じた形で解かれるか、関連するコンピュータモデルを用いて解かれます。
偏微分方程式は、音、熱、静電気、電気力学、流体の流れ、弾性、量子力学など、自然界のさまざまな現象を記述するために使用できます。これらの一見異なる物理現象は、偏微分方程式の観点から同様に定式化できます。常微分方程式がしばしば一次元力学系をモデル化するのと同様に、偏微分方程式はしばしば多次元系をモデル化します。確率偏微分方程式は、ランダム性をモデル化するために偏微分方程式を一般化したものです。
線形微分方程式とは、未知関数とその導関数に関して線形である微分方程式のことです。その理論は十分に確立されており、多くの場合、解を積分を用いて表現することができます。
物理学で遭遇する微分方程式の多くは線形であり、例えば放射性崩壊を記述する常微分方程式や、熱拡散による熱伝達を表す偏微分方程式などが挙げられる。これらは、線形微分方程式の解として定義できる特殊関数につながる（ホロノミック関数を参照）。
非線形微分方程式とは、未知関数とその導関数に関して線形方程式ではない微分方程式のことである（関数の引数の線形性または非線形性はここでは考慮しない）。非線形微分方程式を厳密に解く方法は非常に少なく、知られている方法は通常、方程式が特定の対称性を持つことに依存している。非線形微分方程式は、長い時間間隔にわたって非常に複雑な挙動を示すことがあり、これはカオスの特徴である。非線形微分方程式の解の存在と一意性という基本的な問題でさえ難しい問題であり、特殊な場合におけるそれらの解決は、数学理論における重要な進歩と考えられている（ナビエ・ストークス方程式の存在と滑らかさを参照）。しかし、微分方程式が意味のある物理過程を正しく定式化した表現であれば、解が存在すると期待される。[ 11 ]
場合によっては、非線形微分方程式を線形微分方程式で近似できることがあります。これらの近似は、限られた条件下でのみ有効です。例えば、調和振動子方程式は、振幅の小さい振動に対して有効な非線形振り子方程式の近似です。同様に、非線形微分方程式の固定点解または定常解が見つかった場合、その安定性を調べると線形微分方程式が得られます。
微分方程式の次数は、微分方程式に現れる未知関数の導関数の最高次数です。たとえば、 1次導関数のみを含む方程式は1次微分方程式、 2次導関数を含む方程式は2次微分方程式、といった具合です。 [ 12 ] [ 13 ]
未知関数とその導関数に関する多項式方程式として記述する場合、微分方程式の次数は、文脈に応じて、未知関数の最高階導関数に関する多項式次数[ 14 ]、または未知関数とその導関数に関する全次数となります。特に、線形微分方程式はどちらの意味でも次数が1ですが、非線形微分方程式は最初の意味では1級であるが、2番目の意味ではそうではない。
自然現象を記述する微分方程式は通常、1階と2階の導関数のみを含みますが、薄膜方程式のように4階偏微分方程式である例外もあります。
線形微分方程式は、方程式の各項に従属変数またはその導関数のいずれかが含まれている場合、同次方程式と呼ばれます。そうでない場合、つまり従属変数自体またはその導関数を含まない項が存在する場合、その方程式は不同次方程式または異種方程式と呼ばれます。以下の例のセクションを参照してください。
最初の例群は常微分方程式であり、uはxの未知関数、cとωは既知と仮定される定数である。これらの例は、上で定義した線形微分方程式と非線形微分方程式、および同次微分方程式と非同次微分方程式の違いを示している。
次の例は偏微分方程式です。未知の関数u は、2 つの変数xとt、またはxとyに依存します。
1 階常微分方程式の一般解には定数が含まれており、これは積分定数と考えることができます。同様に、階常微分方程式には定数。
これらの定数の値を決定するには、追加の条件が必要です。独立変数が時間に対応する場合、この情報は初期条件という形で与えられます。例えば、粒子の運動を記述する2階常微分方程式の場合、初期条件は通常、初期時刻における粒子の位置と速度になります。この常微分方程式とその初期条件は、初期値問題として知られています。
空間的な独立変数の場合、これらの条件は一般に境界条件と呼ばれます。これらは多くの場合、独立変数の異なる値で指定されます。例としては、両端が固定された振動弦の運動が挙げられます。この場合、常微分方程式と境界条件は境界値問題につながります。
より一般的には、初期条件という用語は、独立変数の値が同一である場合に用いられ、境界条件という用語は、独立変数の値が異なる場合に用いられる。いずれの場合も、初期条件または境界条件の数は、微分方程式の次数と一致する必要がある。
与えられた微分方程式について、解が一意であるかどうか、あるいはそもそも解が存在するかどうかという問題は、特に興味深い研究テーマである。
1階初期値問題の場合、ペアノ存在定理は解が存在する条件の1つを示します。任意の点が与えられた場合、xy平面上に、長方形の領域を定義する。、したがってそして内部にある微分方程式が与えられた場合そしてその条件はいつこの問題には局所的に解が存在する。連続しているこの解は、中心が であるある区間に存在します。解は一意ではない場合があります。（その他の結果については、常微分方程式の項を参照してください。）
しかし、これは1階の初期値問題にしか役立ちません。n階の線形初期値問題を考えてみましょう。
そのため
ゼロ以外の任意の、 もしそしてある区間で連続している、存在し、ユニークである。[ 15 ]
微分方程式は差分方程式と密接に関連しており、差分方程式では独立変数は離散値のみをとり、未知関数のある点における値と近傍の点における値との関係を表します。オイラー法など、微分方程式の多くの数値解法では、微分方程式の解を対応する差分方程式の解で近似します。
微分方程式の研究は、純粋数学、応用数学、物理学、工学など、幅広い分野に及んでいます。これらの分野はすべて、様々な種類の微分方程式の性質に関心を寄せています。純粋数学は解の存在と一意性に焦点を当て、応用数学は直接的または近似的に解を求め、その挙動を研究することに関心を寄せています。微分方程式は、天体の運動から橋梁設計、ニューロン間の相互作用に至るまで、事実上あらゆる物理的、技術的、生物学的プロセスをモデル化する上で重要な役割を果たしています。現実世界の問題を解決するために用いられるような微分方程式は、閉形式の解を持たない場合があります。その代わりに、数値的手法を用いて解を近似することができます。
物理学や化学の多くの基本法則は、微分方程式として定式化できます。生物学や経済学では、微分方程式は複雑なシステムの挙動をモデル化するために用いられます。微分方程式の数学理論は、方程式が生まれた科学分野や、その結果が応用された科学分野とともに発展してきました。しかし、時には全く異なる科学分野に由来する多様な問題が、同一の微分方程式を生み出すことがあります。このような場合、方程式の背後にある数学理論は、多様な現象の背後にある統一原理と見なすことができます。例として、大気中の光と音の伝播、池の水面上の波を考えてみましょう。これらはすべて、同じ2階偏微分方程式である波動方程式で記述できます。この方程式によって、光と音を、水面に見られるおなじみの波のように、波の一種として考えることができます。ジョセフ・フーリエによって理論が開発された熱伝導は、別の2階偏微分方程式である熱方程式によって記述されます。多くの拡散過程は、一見異なっているように見えますが、同じ方程式で記述できることがわかっています。
様々な科学分野において、名前が付けられた微分方程式の数は、このテーマの重要性を示している。名前付き微分方程式の一覧を参照のこと。
一部のCASソフトウェアは微分方程式を解くことができます。主要なプログラムで使用されるコマンドは以下のとおりです。
ウィキメディア・コモンズにある微分方程式関連のメディア![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17bdcadcae4f4602463dba2e7ad439b31c3fa5b)
![{\displaystyle Z=[l,m]\times [n,p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515b71ad3b5fc01ff532df8cb71018baca811973)
