常微分方程式の種類
数学 では 、 常微分方程式は、 次の形式の場合、
ベルヌーイ微分方程式 と呼ばれます。
y
′
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
y
n
,
{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n},}
ここで は 実数 である 。著者によっては任意の実数 を認めるが [ 1] [2]、 が0 または 1 でない ことを条件とする著者もいる。 [3] [4] この方程式は 1695 年の著作で ヤコブ・ベルヌーイによって初めて議論され、ベルヌーイの名前の由来となった。しかし、最も古い解法は ゴットフリート・ライプニッツ によって提案され 、彼は同年にその結果を発表し、彼の方法は現在でも使用されている。 [5]
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
ベルヌーイ方程式は、正確な解がわかっている非線形微分方程式 であるため特別です 。ベルヌーイ方程式の注目すべき特殊なケースは、 ロジスティック微分方程式 です。
のとき 、微分方程式は 線形 です。 のとき 、微分方程式は 分離可能 です。これらの場合、それらの形式の方程式を解くための標準的な手法を適用できます。 およびの場合 、置換により、 任意のベルヌーイ方程式が 線形微分方程式に簡約されます。
n
=
0
{\displaystyle n=0}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
n
≠
0
{\displaystyle n\neq 0}
n
≠
1
{\displaystyle n\neq 1}
u
=
y
1
−
n
{\displaystyle u=y^{1-n}}
d
u
d
x
−
(
n
−
1
)
P
(
x
)
u
=
−
(
n
−
1
)
Q
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {du}{dx}}-(n-1)P(x)u=-(n-1)Q(x).}
たとえば、 の場合、 微分方程式に を代入すると 、線形微分方程式である という
方程式が生成されます。
n
=
2
{\displaystyle n=2}
u
=
y
−
1
{\displaystyle u=y^{-1}}
d
y
d
x
+
1
x
y
=
x
y
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}}
d
u
d
x
−
1
x
u
=
−
x
{\displaystyle {\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x}
解決 させて 、
x
0
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle x_{0}\in (a,b)}
{
z
:
(
a
,
b
)
→
(
0
,
∞
)
,
if
α
∈
R
∖
{
1
,
2
}
,
z
:
(
a
,
b
)
→
R
∖
{
0
}
,
if
α
=
2
,
{\displaystyle {\begin{cases}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty ),&{\text{if }}\alpha \in \mathbb {R} \smallsetminus \{1,2\},\\[4pt]z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \smallsetminus \{0\},&{\text{if }}\alpha =2,\end{cases}}}
線形微分方程式の解である
z
′
(
x
)
=
(
1
−
α
)
P
(
x
)
z
(
x
)
+
(
1
−
α
)
Q
(
x
)
.
{\displaystyle z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).}
すると、次の解が
得られる。
y
(
x
)
:=
[
z
(
x
)
]
1
/
(
1
−
α
)
{\displaystyle y(x):=[z(x)]^{1/(1-\alpha )}}
y
′
(
x
)
=
P
(
x
)
y
(
x
)
+
Q
(
x
)
y
α
(
x
)
,
y
(
x
0
)
=
y
0
:=
[
z
(
x
0
)
]
1
/
(
1
−
α
)
.
{\displaystyle y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{1/(1-\alpha )}.}
そして、そのような微分方程式すべてに対して、 の解が 得られます 。
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
y
≡
0
{\displaystyle y\equiv 0}
y
0
=
0
{\displaystyle y_{0}=0}
例 ベルヌーイ方程式を考えてみよう
y
′
−
2
y
x
=
−
x
2
y
2
{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}
（この場合、より具体的には リカッチ方程式 ）。定数関数は 解である。で 割る
と、
y
=
0
{\displaystyle y=0}
y
2
{\displaystyle y^{2}}
y
′
y
−
2
−
2
x
y
−
1
=
−
x
2
{\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}
変数を変えると方程式が得られる
u
=
1
y
,
u
′
=
−
y
′
y
2
−
u
′
−
2
x
u
=
−
x
2
u
′
+
2
x
u
=
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}\;&,~u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\[5pt]-u'-{\frac {2}{x}}u&=-x^{2}\\[5pt]u'+{\frac {2}{x}}u&=x^{2}\end{aligned}}}
これは積分因子を 使って解くことができる
M
(
x
)
=
e
2
∫
1
x
d
x
=
e
2
ln
x
=
x
2
.
{\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.}
を掛けると 、
M
(
x
)
{\displaystyle M(x)}
u
′
x
2
+
2
x
u
=
x
4
.
{\displaystyle u'x^{2}+2xu=x^{4}.}
左辺は 積分則を 逆
にすることで の 導関数 として表すことができます。 連鎖律 を適用し、両辺を について積分すると、次の式が得られます。
u
x
2
{\displaystyle ux^{2}}
x
{\displaystyle x}
∫
(
u
x
2
)
′
d
x
=
∫
x
4
d
x
u
x
2
=
1
5
x
5
+
C
1
y
x
2
=
1
5
x
5
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \left(ux^{2}\right)'dx&=\int x^{4}\,dx\\[5pt]ux^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\\[5pt]{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{aligned}}}
解決策 は
y
{\displaystyle y}
y
=
x
2
1
5
x
5
+
C
.
{\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.}
注記
参考文献 Bernoulli、Jacob (1695)、「Actis sup. de Curva Elastica、Isochrona Paracentrica、Velaria、hinc inde memorata、および paratim controversa Legundur; ubi de Linea mediarum directum、alliisque novis における説明、注釈、および追加」、 アクタ・エルディトルム Hairer、Nørsett、Wanner (1993)に引用。 ハイラー、エルンスト。ノーセット、シベール・ポール。 Wanner、Gerhard (1993)、 常微分方程式の解法 I: Nonstiff 問題 、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag 、 ISBN 978-3-540-56670-0 。
外部リンク 
![{\displaystyle {\begin{cases}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty ),&{\text{if }}\alpha \in \mathbb {R} \smallsetminus \{1,2\},\\[4pt]z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \smallsetminus \{0\},&{\text{if }}\alpha =2,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3445c58b0b5a1610f20f8a0ed36faf16fc5896)
![{\displaystyle y(x):=[z(x)]^{1/(1-\alpha )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766d4f218d646a3a7554205a2a1e3aa6e9e29241)
![{\displaystyle y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z (x_{0})]^{1/(1-\alpha )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a34d0b0b8f031548097c4f5015e31a817f7ae1cf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}\;&,~u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\[5pt]-u'-{\frac {2}{x}}u&=-x^{2}\\[5pt]u'+{\frac {2}{x}}u&=x^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f9c86e3784079b43bca4756eaeadf12974b462)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \left(ux^{2}\right)'dx&=\int x^{4}\,dx\\[5pt]ux^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\\[5pt]{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4cb793962b9fa7d23ee641e01c72277ae644914)
