抽象微分方程式

数学において、抽象微分方程式とは、未知の関数とその導関数が何らかの一般的な抽象空間 (ヒルベルト空間、バナッハ空間など) で値を取る微分方程式のことです。この種の方程式は、たとえば偏微分方程式の研究で発生します。変数の 1 つに特権的な位置 (たとえば、熱方程式または波動方程式における時間) を与え、他のすべての変数をまとめると、証拠として与えられた変数に関する通常の「微分」方程式が得られます。境界条件を追加することは、多くの場合、いくつかの便利な関数空間での解を考慮するという観点から翻訳できます。

最も頻繁に遭遇する古典的な抽象微分方程式は、次の式である^[1]。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f}$

ここで、未知の関数は何らかの関数空間に属し、はこの空間に作用する演算子(通常は線形演算子)です。定数演算子による同次 ( ) ケースの徹底的な処理は、 C ₀半群の理論によって与えられます。多くの場合、他の抽象微分方程式の研究は (たとえば、1 次方程式の集合への還元によって) この方程式の研究に相当します。 ${\displaystyle u=u(t)}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle 0\leq t\leq T\leq \infty }$${\displaystyle A:X\to X}$${\displaystyle f=0}$

抽象微分方程式の理論は、アイナー・ヒレがいくつかの論文と著書『関数解析と半群』で確立しました。他の主な貢献者は、 ^[2] 吉田耕作、ラルフ・フィリップス、宮寺勇、セリム・グリゴリエヴィチ・クラインです。 ^[3]

とを、バナッハ空間に作用する、定義域とを持つ2つの線型作用素とする。^{[4] [5] [6]}関数が点で強微分（またはフレシェ微分可能、あるいは単に微分可能）であるとは、次を満たす元が存在する場合を言う。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle D(A)}$${\displaystyle D(B)}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle u(t):[0,T]\to X}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle y\in X}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left\|{\frac {u(t_{0}+h)-u(t_{0})}{h}}-y\right\|=0}$

そしてその導関数は です。 ${\displaystyle u'(t_{0})=y}$

方程式の 解

${\displaystyle B{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au}$

は次のような関数です。 ${\displaystyle u(t):[0,\infty )\to D(A)\cap D(B)}$

• ${\displaystyle (Bu)(t)\in C([0,\infty );X),}$
• 任意の に対して強微分が存在し、${\displaystyle u'(t)}$${\displaystyle \forall t\in [0,\infty )}$${\displaystyle u'(t)\in D(B)}$${\displaystyle t}$
• 前の等式が成り立ちます。${\displaystyle \forall t\in [0,\infty )}$

コーシー問題は、初期条件を満たす方程式の解を見つけることです。 ${\displaystyle u(0)=u_{0}\in D(A)\cap D(B)}$

アダマールの適切問題の定義によれば、コーシー問題は、次の場合に適切（または正しい）であると言われます。 ${\displaystyle [0,\infty )}$

• いずれの場合も、独自の解決策があり、${\displaystyle u_{0}\in D(A)\cap D(B)}$
• この解は初期データに連続的に依存する。つまり、（）ならば、対応する解は${\displaystyle u_{n}(0)\to 0}$${\displaystyle u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)}$${\displaystyle u_{n}(t)\to 0}$${\displaystyle t\in [0,\infty ).}$

適切コーシー問題は、各有限区間 において一様であることを意味する場合、一様適切であると言われます。 ${\displaystyle u_{n}(0)\to 0}$${\displaystyle u_{n}(t)\to 0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle [0,T]}$

抽象的なコーシー問題には、演算子の半群、すなわち、パラメータ（） に依存する有界線型演算子の族を関連付けることができ、${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0<t<\infty }$

${\displaystyle U(t_{1}+t_{2})=U(t_{1})U(t_{2})\quad (0<t_{1},t_{2}<\infty ).}$

時点 におけるコーシー問題 ( ) の解の値を要素に割り当てる演算子について考えます。コーシー問題が適切であれば、演算子は上で定義され、半群を形成します。 ${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)}$${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle u(0)=u_{0}}$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$

さらに、 がにおいて稠密である場合、演算子は空間 全体上で定義される有界線型演算子に拡張できます。この場合、任意の に対して、関数 を任意の に関連付けることができます。このような関数は、コーシー問題の 一般化解と呼ばれます。${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle U(t)x_{0}}$${\displaystyle t>0}$

が で稠密であり、コーシー問題が一様整定である場合、関連する半群は のC ₀半群です。 ${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle X}$

逆に、がC ₀半群の無限小生成元である場合、コーシー問題 ${\displaystyle A}$${\displaystyle U(t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

は一様整定であり、解は次のように与えられる。

${\displaystyle u(t)=U(t)u_{0}.}$

コーシー問題

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

の場合、 は非同次であるといわれます。次の定理は、解の存在に対する十分な条件を示しています。 ${\displaystyle f:[0,\infty )\to X}$${\displaystyle f(t)\neq 0}$

定理。がC ₀半群の無限小生成子であり、連続的に微分可能である場合、関数 ${\displaystyle A}$${\displaystyle T(t)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle u(t)=T(t)u_{0}+\int _{0}^{t}T(t-s)f(s)\,ds,\quad t\geq 0}$

は、（抽象的な）非同次コーシー問題に対する唯一の解です。

右側の積分はボッホナー積分として意図されています。

初期値問題の解を求める 問題^[7]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A),}$

ここで、未知数は関数、は与えられ、各 に対して、は与えられた、定義域 を持つ内の閉じた線形演算子であり、 から独立しており、 内で稠密である場合、これは時間依存のコーシー問題と呼ばれます。 ${\displaystyle u:[0,T]\to X}$${\displaystyle f:[0,T]\to X}$${\displaystyle t\in [0,T]}$${\displaystyle A(t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D[A(t)]=D}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$

（からまでのすべての有界線型作用素の空間）に値を持ち、 に対して で定義され、かつで強連続である作用素値関数は、次の条件を満たす場合、時間依存問題の 基本解と呼ばれます。${\displaystyle U(t,\tau )}$${\displaystyle B(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t,\tau }$${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$

• 偏微分はの強位相に存在し、に対してに属し、に対してで強連続である。${\displaystyle {\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B(X)}$${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$
• の範囲は です。${\displaystyle U(t,\tau )}$${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}+A(t)U(t,\tau )=0,\quad 0\leq \tau \leq t\leq T,}$そして
• ${\displaystyle U(\tau ,\tau )=I}$。

${\displaystyle U(\tau ,\tau )}$進化演算子、伝播演算子、解演算子、またはグリーン関数とも呼ばれます。

関数が積分表現を許容する場合、その関数は時間依存問題の マイルドな解と呼ばれる。${\displaystyle u:[0,T]\to X}$

${\displaystyle u(t)=U(t,0)u_{0}+\int _{0}^{t}U(t,s)f(s)\,ds,\quad t\geq 0.}$

発展演算子 の存在には、さまざまな十分な条件が知られています。文献で検討されているほとんどすべてのケースでは、は上のC ₀半群の無限小生成元であると想定されています。大まかに言えば、 が縮約半群の無限小生成元である場合、方程式は双曲型であると言われ、 が解析半群の無限小生成元である場合、方程式は放物型であると言われます。 ${\displaystyle U(t,\tau )}$${\displaystyle -A(t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle -A(t)}$${\displaystyle -A(t)}$

どちらかの解決策を見つける 問題^[7]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=f(t,u)\quad u(0)=u_{0}\in X}$

が与えられている場合、または ${\displaystyle f:[0,T]\times X\to X}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

ここで は定義域 を持つ非線形演算子であり、非線形コーシー問題と呼ばれます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle D(A)\in X}$

• コーシー問題
• C0 半群