集中定数モデル

定常状態の熱伝導条件に達した後に熱伝達アプリケーションで使用される有用な概念は、熱回路と呼ばれるものによる熱伝達の表現です。熱回路は、回路の各要素における熱の流れに対する抵抗を、あたかも電気抵抗器であるかのように表現したものです。伝達される熱は電流に、熱抵抗は電気抵抗器に相当します。さまざまな熱伝達モードの熱抵抗の値は、開発された方程式の分母として計算されます。さまざまな熱伝達モードの熱抵抗は、複合的な熱伝達モードの解析に使用されます。次の純粋な抵抗の例では、「容量性」要素がないため、回路のどの部分もエネルギーを吸収したり、温度分布を変化させたりしません。これは、定常状態の熱伝導（または放射などの伝達）状態がすでに確立されていることを要求しているのと同等です。

前述のように、3つの熱伝達モードと定常状態におけるそれぞれの熱抵抗を表す方程式を、以下の表にまとめる。

異なる媒体（例えば、複合材料）を介して熱が伝達される場合、等価抵抗は、複合材料を構成する各成分の抵抗の合計となります。同様に、異なる熱伝達モードが存在する場合、総抵抗は各モードの抵抗の合計となります。熱回路の概念を用いると、任意の媒体を介して伝達される熱量は、温度変化と媒体の総熱抵抗の比となります。

例として、断面積が の複合壁を考えてみましょう。${\displaystyle A}$複合材料は${\displaystyle L_{1}}$熱係数の高い長尺セメントプラスター${\displaystyle k_{1}}$そして${\displaystyle L_{2}}$長い紙で覆われたグラスファイバー、熱係数$\displaystyle k_2}}$壁の左側面は${\displaystyle T_{i}}$対流係数の空気にさらされた${\displaystyle h_{i}}$壁の右側面は${\displaystyle T_{o}}$対流係数を持つ空気にさらされる${\displaystyle h_{o}}$。

熱抵抗の概念を用いると、複合材料を通る熱の流れは次のようになります。 $${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {T_{i}-T_{o}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}+R_{o}}}={\frac {T_{i}-T_{1}}{R_{i}}}={\frac {T_{i}-T_{2}}{R_{i}+R_{1}}}={\frac {T_{i}-T_{3}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{R_{1}}}={\frac {T_{3}-T_{o}}{R_{0}}}}$$ どこ${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{h_{i}A}}}$、${\displaystyle R_{o}={\frac {1}{h_{o}A}}}$、${\displaystyle R_{1}={\frac {L_{1}}{k_{1}A}}}$、 そして${\displaystyle R_{2}={\frac {L_{2}}{k_{2}A}}}$

ニュートンの冷却法則は、イギリスの物理学者アイザック・ニュートン卿（1642年～1727年）に帰せられる経験的な法則です。この法則を非数学的な形で表すと次のようになります。

物体の熱損失率は、物体とその周囲との温度差に比例する。

または、記号を使って： $$冷却速度 \sim \Delta T$$

周囲とは異なる温度にある物体は、最終的には周囲と同じ温度になります。比較的高温の物体は、周囲を温めながら冷却され、低温の物体は周囲によって温められます。物体がどれくらいの速さで（あるいはゆっくり）冷却されるかを考える際には、冷却速度、つまり単位時間あたりの温度変化率を用います。

物体の冷却速度は、その物体が周囲の温度よりどれだけ高いかによって決まります。熱いアップルパイを冷凍庫に入れた場合、台所のテーブルに置いた場合よりも、1分あたりの温度変化は大きくなります。冷凍庫の中でパイが冷えると、パイと周囲の温度差が大きくなるためです。寒い日には、暖かい家は、室内と室外の温度差が大きいほど、外へ熱が逃げやすくなります。そのため、寒い日に室内を高温に保つことは、低温に保つよりもコストがかかります。温度差を小さく保てば、冷却速度もそれに応じて遅くなります。

ニュートンの冷却法則によれば、物体の冷却速度は、伝導、対流、放射のいずれによる場合でも、温度差ΔTにほぼ比例します。冷凍食品は、寒い部屋よりも暖かい部屋の方が早く温まります。寒い日に感じる冷却速度は、風による対流効果が加わることで増加することに注意してください。これは風冷効果と呼ばれます。たとえば、風冷効果が-20  ℃ということは、風がない場合と同じ速度で熱が失われていることを意味します 。

この法則は、大きな熱容量と大きな熱伝導率を持つ物体が、熱伝導率が比較的低い均一な浴に突然浸される多くの状況を説明しています。これは、1つの抵抗要素と1つの容量要素を持つ熱回路の一例です。この法則が正しいためには、物体内部のすべての点の温度が、表面温度を含めて、各時点でほぼ同じでなければなりません。したがって、物体と周囲との温度差は、物体のどの部分を選択するかに依存しません。なぜなら、物体のすべての部分が実質的に同じ温度だからです。このような状況では、物体の材質は、物体の他の部分を熱の流れから「断熱」する働きをせず、状況における熱の流れの速度を制御する重要な断熱（または「熱抵抗」）はすべて、物体と周囲との接触領域に存在します。この境界を越えると、温度値は不連続に変化します。

このような状況では、物体の外部から内部へ、断熱境界を越えて熱が伝達される。ただし、境界が物体の内部に比べて比較的熱伝導率が低いことが条件となる。境界を越えて熱を伝達するプロセスが、物体内部（または対象領域、すなわち上述の「塊」内部）における熱伝導に比べて「遅い」限り、物理的な断熱材の存在は必須ではない。

このような状況では、物体は「容量性」回路要素として機能し、境界における熱接触部の抵抗は（単一の）熱抵抗器として機能します。電気回路では、このような組み合わせは、時間に対して単純な指数法則に従って入力電圧に向かって充電または放電します。熱回路においても、この構成は温度に関して同様の挙動、すなわち物体の温度が浴槽の温度に指数関数的に近づくという結果をもたらします。

ニュートンの法則は、単純な1階微分方程式によって数学的に表される。 $${\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}=-h\cdot A(T(t)-T_{\text{env}})=-h\cdot A\Delta T(t)}$$ どこ

• Qはジュール単位の熱エネルギーです。
• hは表面と流体間の熱伝達係数である。
• Aは熱が伝達される表面積である。
• Tは物体の表面温度と内部温度を表す（この近似ではこれらは同じ温度である）。
• Tenv_は環境温度です
• ΔT ( t ) = T ( t ) - Tenv_は、環境と物体間の時間依存の温度勾配である。

熱伝達をこのような形で表現することは、システム内の熱伝導率の比率によっては、必ずしも良い近似とは言えない場合があります。差が大きくない場合は、システム内の熱伝達を正確に定式化するために、不均質媒体または伝導率の低い媒体における（過渡的な）熱伝達方程式に基づいた熱流解析が必要になることがあります。

全身を、総熱量が単純な総熱容量に比例する集中容量熱貯蔵庫として扱うと、${\displaystyle C}$、 そして${\displaystyle T}$体の温度、または${\displaystyle Q=CT}$物体の温度は時間とともに指数関数的に減少すると予想される。

熱容量の定義から${\displaystyle C}$関係が${\displaystyle C=dQ/dT}$この方程式を時間に関して微分すると、次の恒等式が得られます（物体内の温度が任意の時点で均一である限り有効です）。 ${\displaystyle dQ/dt=C(dT/dt)}$この表現は、置き換えるために使用できます。${\displaystyle dQ/dt}$このセクションの冒頭にある最初の式において、もし${\displaystyle T(t)}$時刻におけるそのような物体の温度は${\displaystyle t}$、 そして${\displaystyle T_{\text{env}}}$は、体の周囲の環境温度です。 $${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}=-r(T(t)-T_{\text{env}})=-r\Delta T(t)}$$ どこ${\displaystyle r=hA/C}$はシステムの正の定数特性であり、単位は でなければならない。$\displaystyle s^{-1}}$そのため、特性時定数で表現されることもある。$t0$提供元:${\displaystyle t_{0}=1/r=-\Delta T(t)/(dT(t)/dt)}$したがって、熱システムでは、${\displaystyle t_{0}=C/hA}$（総熱容量）${\displaystyle C}$システムの特性は、質量比熱容量によってさらに表すことができる。${\displaystyle c_{p}}$その質量を掛けた${\displaystyle m}$そうすれば時定数は$t0$は、${\displaystyle mc_{p}/hA}$)

この微分方程式を、標準的な積分法と境界条件の代入法によって解くと、次のようになる。 $${\displaystyle T(t)=T_{\mathrm {env} }+(T(0)-T_{\mathrm {env} })\ e^{-rt}.}$$

もし：

${\displaystyle \Delta T(t)\quad }$は次のように定義されます 。${\displaystyle T(t)-T_{\mathrm {env} }\ ,\quad }$どこ${\displaystyle \Delta T(0)\quad }$は時刻 0 における初期温度差です。

すると、ニュートン解は次のように表される。 $${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\ e^{-rt}=\Delta T(0)\ e^{-t/t_{0}}.}$$

初期微分方程式を で表すと、この同じ解がほぼすぐに明らかになります。${\displaystyle \Delta T(t)}$解くべき唯一の関数として。 $${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{t_{0}}}\Delta T(t)}$$