スネルの法則

スネルの法則（スネル・デカルトの法則、イブン・サールの 法則、^[1]屈折の法則とも呼ばれる）は、水、ガラス、空気など2つの異なる等方性媒体の境界を通過する光やその他の波について、入射角と屈折角の関係を説明するために使用される公式です。光学では、この法則は光線追跡で入射角や屈折角を計算するために、また実験光学では材料の屈折率を見つけるために使用されます。この法則はメタマテリアルでも満たされており、メタマテリアルでは、負の屈折率を持つ負の屈折角で光を「後方に」曲げることができます。

この法則は、与えられた媒質のペアについて、入射角（）と屈折角（ ）の正弦の比が、最初の媒質に対する2番目の媒質の屈折率（ ）に等しく、これは2つの媒質の屈折率の比（ ）に等しい、または同等に、2つの媒質の位相速度の比（）に等しいと述べています。^[2]${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle n_{21}}$${\displaystyle {\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}}$${\displaystyle {\tfrac {v_{1}}{v_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}=n_{21}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}}$

この法則はフェルマーの最小時間原理から導かれ、フェルマーの最小時間原理は光が波として伝播することから導かれます。

エジプトのアレクサンドリアのプトレマイオス^[3]は屈折角に関する関係を発見したが、それは小さな角度では不正確だった。プトレマイオスは、理論に合うようにデータをわずかに変更した結果、正確な経験法則を発見したと確信していた（確証バイアスを参照）。^[4]

この法則は、984年にペルシャの科学者イブン・サールによってバグダッドの宮廷で初めて発見されましたが、最終的にはスネルにちなんで名付けられました。 ^{[6] [7] [8]}サールは、原稿『燃焼鏡とレンズについて』の中で、この法則を使用して、幾何学的収差のない光を焦点にするレンズの形状を導き出しました。^[9]

アルハゼンは『光学書』（1021年）の中で屈折の法則を再発見しそうになったが、結局この段階には至らなかった。^[10]

この法則は1602年にトーマス・ハリオットによって再発見されたが^{[11] 、ハリオットはこの主題について}ケプラーと文通していたにもかかわらず、その結果は公表しなかった。1621年、オランダの天文学者ウィレブロード・スネル（1580–1626）（通称スネル）は、数学的に同等な形式を導出したが、それは生涯公表されなかった。ルネ・デカルトは、1637年の論文『視力』の中で、正弦関数による発見的な運動量保存の議論を用いて独自にこの法則を導き、さまざまな光学的問題を解くのに使用した。ピエール・ド・フェルマーは、デカルトの解を否定し、自身の最小時間原理のみに基づいて同じ解に到達した。デカルトは光速が無限大であると仮定したが、スネルの法則を導出する際には、媒体の密度が高いほど光速が速くなるとも仮定した。フェルマーは、光の速度は有限であるという相反する仮定を支持し、彼の導出は、光の速度がより密度の高い媒体ではより遅くなるという仮定に依存していた。^{[12] [13]}フェルマーの導出では、最大値、最小値、接線を求めるために微分積分と同等の数学的手順である等式の発明も利用した。^{[14] [15]}

デカルトは、彼の影響力の大きい数学書『幾何学』で、ペルガのアポロニウスとアレクサンドリアのパップスが取り組んだ問題を解いている。n本の直線Lと各直線上の点P(L)が与えられたとき、線分QP(L)の長さが特定の条件を満たすような点Qの軌跡を求めよ。例えば、n = 4のとき、直線a、b、c、dと、a上の点A、b上の点Bなどが与えられたとき、積QA*QBが積QC*QDに等しくなるような点Qの軌跡を求めよ。直線がすべて平行でない場合、パップスは軌跡が円錐曲線であることを示したが、デカルトがより大きなnを考えると、3次曲線やより高次の曲線が得られた。3次曲線が興味深いことを示すために、彼はスネルの法則から光学において3次曲線が自然に生じることを示した。^[16]

ダイクスターハウスによれば、^[17]「イザーク・フォシウスは『光の性質と性質』（1662年）の中で、デカルトがスネルの論文を見て独自の証明をでっち上げたと述べている。今ではこの非難は不当なものだとわかっているが、それ以来何度も採用されてきた。」フェルマーとホイヘンスはどちらもデカルトがスネルを模倣したというこの非難を繰り返した。フランス語では、スネルの法則は「デカルトの法則」と呼ばれることがあり、より一般的には「スネル・デカルトの法則」と呼ばれる。

クリスティアーン・ホイヘンスは、1678年に著した『光論』の中で、いわゆるホイヘンス・フレネルの原理を用いて、光の波動性によってスネルの正弦法則がどのように説明されるか、あるいは光の波動性から導かれるかを示しました。

現代の光学および電磁気理論の発展により、古代のスネルの法則は新たな段階に進みました。1962年、ニコラス・ブロンベルゲンは、非線形媒体の境界では、スネルの法則は一般的な形で記述されるべきであることを示しました。^[18] 2008年と2011年には、プラズモニックメタサーフェスが光線の反射と屈折の方向を変えることも実証されました。^{[19] [20]}

スネルの法則は、屈折率の異なる屈折媒体を通過する光線の方向を決定するために使用されます。 などのラベルが付けられた媒体の屈折率は、真空中の速度と比較して、ガラスや水などの屈折媒体を通過するときに光線の速度が減少する係数を表すために使用されます。 ${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$

光が媒体の境界を通過すると、2 つの媒体の相対的な屈折率に応じて、光は小さい角度または大きい角度に屈折します。これらの角度は、境界に対して垂直に表される法線を基準にして測定されます。空気から水中に移動する光の場合、光は水中で減速されるため法線に向かって屈折します。一方、水から空気に移動する光は法線から離れて屈折します。

2 つの表面間の屈折は可逆的とも呼ばれます。これは、すべての条件が同一であれば、反対方向に伝播する光の角度は同じになるためです。

スネルの法則は、一般に等方性または鏡面反射性の媒体（ガラスなど）にのみ当てはまります。一部の結晶などの異方性媒体では、複屈折によって屈折光線が 2 つの光線に分割されることがあります。1つはスネルの法則に従う常光線またはo光線で、もう 1 つは入射光線と同一平面ではない 異常光線またはe光線です。

関係する光やその他の波が単色、つまり単一の周波数である場合、スネルの法則は 2 つの媒体の波長の比で表すこともできます 。${\displaystyle \lambda_{1}}$${\displaystyle \lambda_{2}}$

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {\ラムダ _{1}}{\ラムダ _{2}}}}$

スネルの法則はさまざまな方法で導き出すことができます。

スネルの法則は、光は最短時間の経路を進むというフェルマーの原理から導き出せます。光路長の導関数を取ることで、光がたどる経路を与える静止点が見つかります。(光が最短時間の経路を取らずにフェルマーの原理に違反する状況もあります。たとえば、(球面)鏡での反射などです。) 典型的な例えで言うと、屈折率の低い領域を砂浜に、屈折率の高い領域を海に置き換えると、砂浜にいる救助者が海で溺れている人のところまで最も早くたどり着く方法は、スネルの法則に従う経路に沿って走ることです。

右の図に示すように、媒体 1 と媒体 2 の屈折率がそれぞれとであるとします。光は媒体 1 から点 O を経由して媒体 2 に入ります。 ${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$

${\displaystyle \theta _{1}}$は入射角、は法線に対する屈折角です。 ${\displaystyle \theta _{2}}$

媒質1と媒質2における光の位相速度は

${\displaystyle v_{1}=c/n_{1}}$そして

${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}}$それぞれ。

${\displaystyle c}$ 真空中の光の速度です。

光が点 Q から点 O を経由して点 P まで移動するのに必要な時間を T とします。

${\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(lx)^{2}}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+l^{2}-2lx+x^{2}}}{v_{2}}}}$

ここで、a、b、l、x は右図に示されているとおりであり、x は可変パラメータです。

これを最小限に抑えるには、次のように区別します。

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(lx)}{v_{2}{\sqrt {(lx)^{2}+b^{2}}}}}=0}$（静止点）

ご了承ください ${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$

そして${\displaystyle {\frac {lx}{\sqrt {(lx)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}}$

したがって、

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}$

${\displaystyle {\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}}$

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$

あるいは、スネルの法則は、光源から観測者までの光波のあらゆる経路の干渉を使用して導くことができます。その結果、位相の極値（干渉が建設的）を除くすべての場所で破壊的干渉が発生し、実際の経路になります。

スネルの法則を導くもう一つの方法は、電磁放射と誘導に対するマクスウェル方程式の一般境界条件を適用することです。

スネルの法則を導くもう一つの方法は、並進対称性の考慮に基づいています。^[21]たとえば、z方向に垂直な均質な表面は、横方向の運動量を変えることができません。伝播ベクトルは 光子の運動量に比例するため、横方向の伝播方向は両方の領域で同じままでなければなりません。一般性を失うことなく、平面に入射面があると仮定します。波数が媒体の屈折率に依存するというよく知られた依存性を使用して、スネルの法則を直ちに導きます。 ${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle (k_{x},k_{y},0)}$${\displaystyle z,x}$${\displaystyle k_{x{\text{領域}}_{1}}=k_{x{\text{領域}}_{2}}}$

${\displaystyle k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}\,}$

${\displaystyle n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\,}$

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,}$

ここで、は真空中の波数です。原子スケールでは表面は完全に均質ではありませんが、光の波長スケールで領域が均質である場合は、完全な並進対称性が優れた近似となります。 ${\displaystyle k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}={\frac {\omega }{c}}}$

正規化された光ベクトル（光源から表面に向かう）と正規化された平面法線ベクトルが与えられれば、入射角と屈折角の余弦を介して、正弦値や三角関数や角度を明示的に使用せずに、正規化された反射光線と屈折光線を計算することができる：[ ^22]${\displaystyle {\vec {l}}}$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

${\displaystyle \cos \theta _{1}=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}}$

注:は正である必要があります。が表面から光が来ている側、つまりインデックス の領域を指す法線ベクトルである場合は、 は正になります。 が負の場合、 は光のない側を指すため、 をその負の値に置き換えてやり直します。 ${\displaystyle \cos \theta _{1}}$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle \cos \theta _{1}}$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflect} }={\vec {l}}+2\cos \theta _{1}{\vec {n}}}$

この反射方向ベクトルは、光が来た表面の側を指します。

ここで、正弦比にスネルの法則を適用して、屈折光線の方向ベクトルの式を導出します。

${\displaystyle \sin \theta _{2}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)\sin \theta _{1}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\sqrt {1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle \cos \theta _{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\vec {l}}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right){\vec {n}}}$

三角関数名や角度名が表示されない ように、名前を変更した単純な値とを使用すると、式はより単純に見えるかもしれません。${\displaystyle r=n_{1}/n_{2}}$${\displaystyle c=-{\vec {n}}\cdot {\vec {l}}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=r{\vec {l}}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right){\vec {n}}}$

例：

${\displaystyle {\vec {l}}=\{0.707107,-0.707107\},~{\vec {n}}=\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9}$

${\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {reflect} }=\{0.707107,0.707107\},~{\vec {v}}_{\mathrm {refract} }=\{0.636396,-0.771362\}}$

コサイン値は保存され、結果として得られる光線の強度を計算するための フレネル方程式で使用されます。

全反射は、の式で負の根号によって示され、光線がより密度の低い媒体 ( ) に交差する場合にのみ発生します。 ${\displaystyle \cos \theta _{2}}$${\displaystyle n_{2}<n_{1}}$

光が屈折率の高い媒体から屈折率の低い媒体へ進むとき、スネルの法則によれば、場合によっては（入射角が十分に大きい場合）、屈折角の正弦が 1 より大きくなる必要があるようです。もちろんこれは不可能であり、そのような場合、光は境界で完全に反射されます。この現象は全反射と呼ばれます。屈折光線が生じる最大の入射角は臨界角と呼ばれ、この場合、屈折光線は 2 つの媒体の境界に沿って進みます。

例えば、入射角50°で水から空気に移動する光線を考えてみましょう。水と空気の屈折率はそれぞれ約1.333と1なので、スネルの法則は次の関係式を与えます。

${\displaystyle \sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}={\frac {1.333}{1}}\cdot \sin \left(50^{\circ }\right)=1.333\cdot 0.766=1.021,}$

これは満たすことは不可能です。臨界角 θ _{crit は}、 θ _{2 が}90° となる θ ₁の値です。

${\displaystyle \theta _{\text{crit}}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\sin \theta _{2}\right)=\arcsin {\frac {n_{2}}{n_{1}}}=48.6^{\circ }.}$

多くの波動伝播媒体では、波の速度は波の周波数または波長によって変化します。これは、真空以外のほとんどの透明物質における光の伝播に当てはまります。これらの媒体は分散性と呼ばれます。その結果、スネルの法則によって決定される角度も周波数または波長に依存するため、白色光などの混合波長の光線は拡散または分散します。ガラスや水中でのこのような光の分散は、異なる波長が異なる色として現れる 虹やその他の光学現象の起源の根底にあります。

光学機器では、分散によって色収差が発生します。色収差は色に依存するぼやけで、解像度を制限する効果になることもあります。これは、アクロマート対物レンズ が発明される前の屈折望遠鏡で特に顕著でした。

導電性媒体では、誘電率と屈折率は複素数値です。したがって、屈折角と波数ベクトルも同様です。これは、実位相が一定の表面は法線が界面法線と屈折角に等しい角度をなす平面であるのに対し、振幅が一定の表面は対照的に界面自体に平行な平面であることを意味します。これらの 2 つの平面は一般に一致しないため、波は不均質であると言われています。^[23]屈折波は指数的に減衰し、指数は屈折率の虚数成分に比例します。^{[24] [25]}

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