幾何化予想

数学において、サーストンの幾何化予想（現在は定理）は、特定の3次元位相空間にはそれぞれ固有の幾何学的構造が関連付けられることを述べている。これは、2次元曲面の一様化定理の類似物であり、一様化定理は、すべての単連結リーマン面には3つの幾何学（ユークリッド幾何学、球面幾何学、双曲幾何学）のいずれかを与えることができると述べている。

3次元空間では、位相空間全体に単一の幾何学を割り当てることは必ずしも可能ではありません。代わりに、幾何化予想は、すべての閉じた3次元多様体は、それぞれが8種類の幾何学的構造のいずれかを持つ断片に標準的な方法で分解できると述べています。この予想は、ウィリアム・サーストン（1982年）が24の質問の一部として提唱したもので、ポアンカレ予想やサーストンの楕円化予想など、他のいくつかの予想を暗示しています。 

サーストンの 双曲化定理は、ハーケン多様体が幾何化予想を満たすことを示唆している。サーストンは1980年代にその証明を発表し、それ以来、いくつかの完全な証明が出版されている。

グリゴリー・ペレルマンは、 2003年にプレプリントサーバーarxiv.orgに投稿した2つの論文で、手術を伴うリッチフローを用いて完全幾何化予想の証明を発表した。ペレルマンの論文は複数の独立した研究グループによって研究され、彼の議論の詳細を補完する書籍やオンライン原稿が作成された。検証は、ペレルマンがその業績で2006年のフィールズ賞を受賞するのに間に合うようにほぼ完了し、2010年にはクレイ数学研究所からポアンカレ予想の解決に対して100万ドルの賞金が授与されたが、ペレルマンはどちらの賞も辞退した。

ポアンカレ予想と球面空間形式予想は幾何化予想の系であるが、幾何化予想には至らない、ポアンカレ予想のより短い証明も存在する。

3次元多様体は、コンパクトであり、「穴」や「欠落した端点」がなく、境界（「エッジ」）を持たない場合に、閉じた多様体と呼ばれる。

すべての閉じた 3 次元多様体は素分解を持ちます。これは、素 3 次元多様体の連結和(「貼り合わせ」)であることを意味します。^{[ a ]}これにより、3 次元多様体の研究の多くは、非自明な連結和として書けない素 3 次元多様体の場合に帰着します。

サーストンの推測を以下に述べる。

向き付けられた任意の素数閉3次元多様体は2次元トーラスに沿って切断することができ、その結果得られる各多様体の内部は有限体積の幾何学的構造を持つ。

3次元空間には8種類の幾何学的構造が存在する。既約な向き付けられた3次元多様体をトーラスに沿ってザイフェルト多様体またはアトーラス状の断片に分割する唯一の最小限の方法があり、これをJSJ分解 と呼ぶ。これは幾何化予想における分解とは厳密には異なる。なぜなら、JSJ分解で得られる断片の中には、有限体積の幾何学的構造を持たないものがあるからである。（例えば、トーラスのアノソフ写像の写像トーラスは有限体積の可解構造を持つが、そのJSJ分解では1つのトーラスに沿って切り開かれ、トーラスと単位区間の積が生成され、その内部には有限体積の幾何学的構造は存在しない。）

向き付けのない多様体の場合、幾何化予想を述べる最も簡単な方法は、まず向き付けのある二重被覆を取ることです。向き付け不可能な多様体を直接扱うことも可能ですが、これにはいくつかの追加的な複雑さが生じます。射影平面やクラインの壺、球面やトーラスに沿って切断する必要がある場合があり、射影平面境界成分を持つ多様体は通常、幾何学的構造を持ちません。

2次元では、すべての閉曲面は一定の曲率を持つ計量からなる幾何学的構造を持ち、多様体を最初に分割する必要はありません。具体的には、すべての閉曲面はS ²、E ²、またはH ²の商空間と微分同相です。^{[ 1 ]}

モデルジオメトリとは、単連結な滑らかな多様体Xと、コンパクトな安定化群を持つリー群GのXへの推移的作用との組み合わせである。

モデルジオメトリは、Gがコンパクト安定化群を持つX上で滑らかかつ推移的に作用する群の中で最大である場合に、最大であると呼ばれる。この条件は、モデルジオメトリの定義に含まれる場合もある。

多様体 M上の幾何学的構造とは、あるモデル幾何学Xに対して、 MからX /Γへの 微分同相写像のことです。ここで、Γ はGの離散部分群であり、 Xに自由に作用します。これは、完全な( G , X )-構造の特殊な場合です。与えられた多様体が幾何学的構造を持つ場合、そのモデルが極大となるような構造も持ちます。 

3次元モデル幾何学Xが幾何学化予想に関連するのは、それが極大であり、かつXをモデルとした幾何学的構造を持つコンパクト多様体が少なくとも1つ存在する場合である。サーストンはこれらの条件を満たす8つのモデル幾何学を分類した。それらは以下に列挙されており、サーストン幾何学と呼ばれることもある。（コンパクト商を持たないモデル幾何学も無数に存在する。）

ビアンキ群、すなわち3次元リー群 との関連性がある。ほとんどのサーストン幾何学は、ビアンキ群上の左不変計量として実現できる。しかし、 S ² × R は実現できず、ユークリッド空間は2つの異なるビアンキ群に対応し、可解な非ユニモジュラービアンキ群は数えきれないほど存在し、そのほとんどはコンパクトな代表元を持たないモデル幾何学を与える。

閉じた3次元多様体は、上記の8種類の幾何構造のうち最大で1種類しか持ちませんが、有限体積の非コンパクト3次元多様体は、時として複数の種類の幾何構造を持つことがあります。（ただし、多様体は同じ種類の幾何構造を多数持つことができます。例えば、種数が2以上の曲面は、異なる双曲計量の連続体を持ちます。）より正確には、Mが有限体積の幾何構造を持つ多様体である場合、幾何構造の種類は、基本群π ₁ ( M )に関して、ほぼ次のように決定されます。

• π ₁ ( M ) が有限であれば、 M上の幾何学的構造は球形であり、Mはコンパクトである。
• π ₁ ( M ) が実質的に巡回的であるが有限でない場合、M上の幾何学的構造はS ² × Rであり、Mはコンパクトである。
• π ₁ ( M ) が実質的にアーベルであるが実質的に巡回的ではない場合、 M上の幾何学的構造はユークリッドであり、Mはコンパクトである。
• π ₁ ( M ) が実質的に冪零であるが実質的に可換でないならば、 M上の幾何学的構造は零幾何学であり、Mはコンパクトである。
• π ₁ ( M ) が実質的に可解であるが実質的に冪零でないならば、 M上の幾何学的構造は可解幾何学であり、Mはコンパクトである。
• π ₁ ( M ) が無限正規巡回部分群を持つが、実質的に解けない場合、M上の幾何学的構造はH ² × Rまたは SL(2, R )の普遍被覆のいずれかになります。多様体Mはコンパクトまたは非コンパクトのいずれかです。コンパクトな場合、2 つの幾何学は、π ₁ ( M ) が正規巡回部分群と他のものの半直積として分割される有限指数部分群を持つかどうかによって区別できます。多様体が非コンパクトな場合、基本群は 2 つの幾何学を区別できず、多様体がどちらのタイプの有限体積幾何学的構造を持つ可能性がある例 (三つ葉結びの補集合など) があります。
• π ₁ ( M ) が無限正規巡回部分群を持たず、かつ実質的に解けない場合、 M上の幾何学的構造は双曲的であり、M はコンパクトまたは非コンパクトのいずれかである。

無限体積多様体は、様々な種類の幾何学的構造を持つことができます。例えば、R ³は、上記の 8 つのモデル幾何学のうち 6 つが R 3 と同相であるため、6 種類の異なる幾何学的構造を持つことができます。さらに、体積が有限である必要がない場合、コンパクトモデルを持たない新しい幾何学的構造が無限に存在します。例えば、ほとんどすべての非ユニモジュラー3 次元リー群の幾何学などが挙げられます。

閉じた3次元多様体を幾何学的構造を持つ断片に分解する方法は複数存在する可能性がある。例えば：

• S ³の複数のコピーとの連結和を取っても、多様体は変化しない。
• 2つの射影3次元空間の連結和はS2 × R^{の幾何学を持ち、} S3^の幾何学を持つ2つの部分の連結和でもある。
• 負の曲率を持つ曲面と円の積は幾何学的構造を持つが、トーラスに沿って切断することで、同様に幾何学的構造を持つより小さな断片を生成することもできる。ザイフェルトファイバー空間にも、同様の例が数多く存在する。

幾何学的構造を持つ断片への「標準的な」分解を選択することは可能であり、例えば、まず多様体を最小限の方法で素断片に分割し、次にそれらを可能な限り少ない数のトーラスを用いて分割することによって行うことができる。しかし、この最小限の分解は必ずしもリッチフローによって生成される分解とは限らない。実際、リッチフローは、初期計量の選択に応じて、多様体を幾何学的断片に分割する多くの異なる方法を取り得る。

サーストンは1982年にフィールズ賞を受賞したが、その理由の一つはハーケン多様体の幾何化予想を証明したことにある。

1982年、リチャード・S・ハミルトンは、正のリッチ曲率を持つ計量を持つ閉じた3次元多様体が与えられた場合、リッチフローによって多様体が有限時間内に一点に縮退することを示しました。これは、縮退直前に計量が「ほぼ円形」になるため、この場合の幾何化予想を証明するものです。彼は後に、手術を伴うリッチフローによって幾何化予想を証明するプログラムを開発しました。そのアイデアは、リッチフローは一般に特異点を生成するが、手術を用いて多様体のトポロジーを変更することで、特異点を超えてリッチフローを継続できる可能性があるというものです。大まかに言えば、リッチフローは正の曲率領域を収縮させ、負の曲率領域を拡張するため、「正の曲率」の幾何学S ³とS ² × Rを持つ多様体の部分を消滅させ、長時間経過後に残る部分は、双曲幾何学を持つ「厚い」部分と「薄い」グラフ多様体への厚い-薄い分解を持つはずです。

2003年、グリゴリー・ペレルマンは、リッチフローが特異点を超えて継続することができ、上述のような振る舞いを示すことを示すことで、幾何化予想の証明を発表した。

ペレルマンの証明の構成要素の 1 つは、リーマン幾何学における新しい縮退定理でした。ペレルマンはこの結果の証明の詳細を公表しませんでした (プレプ​​リント「3 次元多様体上の手術を伴うリッチフロー」の定理 7.4)。塩谷と山口を皮切りに、現在ではペレルマンの縮退定理のさまざまな証明、またはその変形がいくつか存在します。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}塩谷と山口の定式化は、ペレルマンの研究の最初の完全な詳細な定式化で使用されました。^{[ 8 ]}

ペレルマンの幾何化の証明の最後の部分への2番目のルートは、ローラン・ベシエールと共著者による方法^{[ 9 ] [ 10 ]}で、ハーケン多様体に対してはサーストンの双曲化定理を、3次元多様体に対してはグロモフのノルムを使用する^{[ 11 ] [ 12 ]} 。同じ著者による、彼らのバージョンの証明の詳細を完全に記載した書籍が欧州数学会から出版されている^{[ 13 ]}。

4次元では、幾何学的分解が可能な閉じた4次元多様体のかなり限られたクラスのみが存在します。 ^{[ 14 ]}しかし、最大モデル幾何学のリストは依然として与えることができます。^{[ 15 ]}

4 次元最大モデルジオメトリは、1983 年に Richard Filipkiewicz によって分類されました。それらは 18 個あり、さらに 1 つの可算無限族があります。^{[ 15 ]}それらの通常の名称は、E ⁴、 Nil ⁴、Nil ³ × E ¹、Sol ⁴ _m、n (可算無限族)、Sol ⁴ ₀、Sol ⁴ ₁、H ³ × E ¹です。${\displaystyle {\widetilde {\rm {SL}}}}$× E ¹、H ² × E ²、H ² × H ²、H ⁴、H ² ( C ) (複素双曲空間)、F ⁴ (双曲平面の接束)、S ² × E ²、S ² × H ²、S ³ × E 1 、S ⁴、CP ² (複素射影平面)、およびS ² × S ²。^{[ 14 ]}閉じた多様体でF ^{4 の幾何}学を持つものはありませんが、 F ⁴の部分を含む適切な分解を持つ多様体があります。^{[ 14 ]}

5次元最大モデル幾何学は、2016年にアンドリュー・ゲンによって分類されました。53個の個別幾何学と6つの無限族が存在します。低次元では見られないいくつかの新しい現象が発生し、その中には2つの非可算な幾何学族とコンパクト商を持たない幾何学が含まれます。^{[ 1 ]}

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