無限猿定理

無限猿定理とは、猿がタイプライターのキーボードを無作為に無限の時間叩くと、ウィリアム・シェイクスピアの全作品を含むあらゆるテキストをほぼ確実に入力できるという定理です。実際、猿はありとあらゆる有限テキストをほぼ確実に無限回入力します。この定理を一般化すると、無限の時間または無限の大きさの宇宙が与えられた場合、発生する確率がゼロではない一連のイベントはほぼ確実に無限回発生するという定理になります。

この文脈では、「ほぼ確実に」は、イベントが確率 1 で発生することを意味する数学用語であり、「猿」は実際の猿ではなく、文字と記号の無限のランダムなシーケンスを生成する抽象的な装置の比喩です。定理のバリエーションには、複数の、さらには無限の数のタイピストが含まれ、ターゲットテキストはライブラリ全体から 1 つの文までさまざまです。

「猿の比喩」が使われた最も古い例の一つは、1913年のフランスの数学者エミール・ボレルのものですが^[1]、最初の例はそれよりも前だったかもしれません。ホルヘ・ルイス・ボルヘスは、このアイデアの歴史を、アリストテレスの『生成と腐敗について』やキケロの『神々の本性について』からブレーズ・パスカルやジョナサン・スウィフト、そして象徴的な類人猿やタイプライターを使った現代の発言まで追跡しました^[2] 。20世紀初頭、ボレルとアーサー・エディントンは、この定理を使用して、統計力学の基礎に暗黙的に含まれる時間スケールを説明しました。

この定理には簡単な証明があります。導入として、2 つのイベントが統計的に独立している場合、両方が発生する確率は、それぞれが独立して発生する確率の積に等しいことを思い出してください。たとえば、将来の特定の日にモスクワで雨が降る確率が 0.4 で、特定の日にサンフランシスコで地震が発生する確率が 0.00003 である場合、両方が独立していると 仮定すると、両方が同じ日に発生する確率は0.4 × 0.00003 = 0.000012になります。

50 個のキーがあるタイプライターでbananaという単語を入力する確率を考えてみましょう。キーがランダムかつ独立して押されると仮定します。つまり、各キーは、以前にどのキーが押されたかに関係なく、同じ確率で押されます。最初に入力された文字が「b」である確率は 1/50、2 番目に入力された文字が「a」である確率も 1/50 です。したがって、最初の 6 文字がbananaである確率は次のようになります。

(1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) = (1/50) ⁶ = 1/156 億 2500 万。

結果は 150 億分の 1 未満ですが、ゼロではありません。

上記から、6 文字のブロックでbanana を入力しない確率は 1 − (1/50) ⁶です。各ブロックは独立して入力されるため、最初のn個の 6 文字のブロックのいずれにもbanana を入力しない確率X _nは次のようになります。

${\displaystyle X_{n}=\left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{n}.}$

nが大きくなるにつれて、X _{n は}小さくなります。n = 100 万の場合、X _nはおよそ 0.9999 ですが、n = 100 億の場合はX _nはおよそ 0.53、n = 1000 億の場合はおよそ 0.0017 です。n が無限に近づくにつれて、確率X _{n は} ゼロに近づきます。つまり、n を十分に大きくすることで、X _{n を}必要なだけ小さくすることができ、^[3] bananaと入力する確率は100% に近づきます。^{[a]したがって、無限のキー入力シーケンスのある時点で}bananaという単語が出現する確率は 1 に等しくなります。

同じ議論は、1 匹の猿が n ブロックの連続したテキストを入力するのを、n 匹の猿がそれぞれ 1 ブロックずつ (同時に、かつ独立して) 入力することに置き換えた場合にも当てはまります。この場合、X _n = (1 − (1/50) ⁶ ) ⁿは、最初のn匹の猿のいずれも最初の試行でbanana を正しく入力しない確率です。したがって、無限の数の猿のうち少なくとも 1 匹は (確率 1 で)、完全に正確な人間のタイピストが元のテキストをコピーした場合と同じ速さでテキストを生成します。

これは、有限のアルファベットから選択された文字のシーケンスである文字列の観点から、より一般的かつ簡潔に述べることができます。

• 各文字が均一にランダムに選択される無限文字列が与えられた場合、任意の有限文字列はほぼ確実にどこかの位置で部分文字列として出現します。
• 無限文字列の無限シーケンスが与えられ、各文字列の各文字が均一にランダムに選択される場合、任意の有限文字列は、ほぼ確実にこれらの文字列のいずれかのプレフィックスとして出現します。

どちらも、第2のボレル・カンテリの補題から簡単に導かれます。第2の定理では、k番目の文字列が指定されたテキストで始まるイベントをE _kとします。これには一定の非ゼロ確率pが発生するため、E _kは独立しており、以下の合計は発散します。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(E_{k})=\sum _{k=1}^{\infty }p=\infty ,}$

E _kが無限に発生する確率は1 です。最初の定理も同様に示されます。ランダムな文字列を目的のテキストのサイズに合わせて重複しないブロックに分割し、k番目のブロックが目的の文字列に等しいイベントをE _k^{にすることができます。 [b]}

しかし、物理的に意味のある数の猿が物理的に意味のある時間タイピングすると、結果は逆になります。観測可能な宇宙の原子と同じ数の猿が、宇宙の寿命の何兆倍もの期間、超高速でタイピングするとしたら、猿がシェイクスピアの1 ページを再現する確率は計り知れないほど小さくなります。

句読点、スペース、大文字小文字を無視すると、文字を一様にランダムに入力するサルがHamletの最初の文字を正しく入力する確率は 26 分の 1 です。最初の 2 文字を入力する確率は 676 分の 1 (26 × 26) です。確率は指数関数的に減少するため、20 文字の時点ですでに 26 分の 1 の確率しかありません²⁰ = 19,928,148,895,209,409,152,340,197,376 ^[c] (ほぼ 2 × 10 ^{28 )。} Hamletの全文の場合、確率は考えられないほど小さくなります。Hamletの本文には約 130,000 文字が含まれています。^[d]したがって、最初の試行で本文を正しく入力する確率は 3.4 × 10 ^183,946分の 1 です。テキストが表示されるまでに入力する必要がある平均文字数も 3.4 × 10 ^183,946文字です^[e]。句読点を含めると 4.4 × 10 ^{360,783文字になります[f]}。

観測可能な宇宙（およそ 10 ^80と推定）のすべての陽子がタイプライターを持った猿で、ビッグバンから宇宙の終わり（陽子が存在しなくなるかもしれないとき）までタイプを打っていたとしても、成功の確率が 10 ^{500 分}の 1 であっても、はるかに長い時間（36 万桁以上）が必要になる。言い換えれば、成功の確率が 1 兆分の 1 であるためには、陽子猿でできた観測可能な宇宙が 10 ^{360,641 個}必要になる。 ^[g]キッテルとクローマーは熱力学の教科書で、統計的基礎に基づいてタイピング猿に関する最初の説明がなされたとして次のように述べている。 ^{[5] 「したがって、}ハムレットの確率は、イベントのあらゆる操作上の意味においてゼロである...」。また、猿が最終的には成功しなければならないという記述は、「非常に大きな数について誤った結論を導く」。

実際、サルでできた宇宙が、たった79文字の文書を入力できる確率は、1兆分の1未満です。^[h]

オンラインのデモンストレーションでは、短いランダムプログラムは、古典的な確率が示唆するよりも頻繁に高度に構造化された出力を生成できることが示されました。これは、グレゴリー・チャイティンの現代定理と一致し、レイ・ソロモノフとレオニード・レビンによるアルゴリズム情報理論とアルゴリズム確率に基づいています。^[6]デモンストレーションでは、特定のバイナリシーケンスを生成する可能性がシーケンスの長さの2を底とする対数よりも短くないことが示されており、アルゴリズム確率と古典的な確率の違い、およびランダムプログラムとランダムな文字や数字の違いが示されています。

ランダムに生成された無限のテキスト文字列に特定の有限部分文字列が含まれる確率は 1 です。ただし、部分文字列が存在しないことが「不可能」であることを意味するわけではありません (部分文字列が存在しない事前確率は 0 です)。たとえば、不死の猿は、最初の文字として G を、2 番目の文字として G を、その後のすべての文字として G をランダムに入力して、G の無限の文字列を生成することができます。猿は、他の文字を入力するように「強制」されることはありません (そうでないと仮定すると、ギャンブラーの誤謬を意味します) 。ランダムに生成された有限の文字列がどれだけ長くても、同じ文字が繰り返される可能性はわずかですがゼロではありません。文字列の長さが無限に近づくにつれて、この可能性はゼロに近づきます。このような単調なシーケンスについては、説明が簡単であるという点を除いて特別なことはありません。同じ事実は、「RGRGRG」が永遠に繰り返されたり、「ab-aa-bb-aaa-bbb-...」や「3、6、9、12...」など、名前の付けられる特定のシーケンスにも当てはまります。

この架空のサルが、数字と句読点を含む 90 個の均等に確率の高いキーを備えたタイプライターを持っている場合、最初に入力されるキーは「3.14」(円周率の最初の 3 桁) になる可能性が (1/90) ⁴、つまり 1/65,610,000 になります。「GGGG」、「mATh」、「q%8e」など、タイプライターで許可されている他の 4 文字の文字列も同様に確率が高いです。ランダムに入力される 100 個のキーが円周率の最初の 99 桁 (区切りキーを含む) またはその長さの他の特定のシーケンスである確率は、はるかに低く、(1/90) ¹⁰⁰です。サルに割り当てられたテキストの長さが無限である場合、円周率の数字のみを入力する可能性は 0 であり、これは Gs のみを入力する可能性 (これも確率 0) と同じくらい可能性が高く (数学的に確率が高い) です。

同じことは、ハムレットの特定のバージョンを入力し、その後にハムレット自体のコピーが無限に続くイベント、またはハムレットの直後に円周率のすべての数字を入力するイベントにも当てはまります。これらの特定の文字列は、長さが同じように無限であり、思考問題の条件によって禁止されておらず、それぞれの事前確率は 0 です。実際、不死の猿が入力する特定の無限シーケンスは、猿が何かを入力しなければならない場合でも、事前確率は 0 に なります。

これは、有限のランダム テキスト文字列が特定の文字列である確率は、それが長くなるほど低くなるという原理の拡張です (ただし、すべての特定の文字列の可能性は等しく低くなります)。この確率は、文字列が無限に近づくにつれて 0 に近づきます。したがって、猿が 90 キーのキーボードで円周率のすべての桁を順番に入力するなど、際限なく長い文字列を入力する確率は (1/90) ^∞であり、これは (1/∞) に等しく、基本的に 0 です。同時に、文字列に特定の部分列 (MONKEY という単語、円周率の 12 桁目から 999 桁目、または欽定訳聖書のバージョンなど)が含まれる確率は、文字列全体が長くなるにつれて高くなります。この確率は文字列全体が無限に近づくにつれて 1 に近づくため、元の定理は正しいことになります。

この思考実験を簡略化すると、サルは 1 と 0 の 2 つのキーだけを備えたタイプライターを持つことになる。このようにして生成される無限長の文字列は、 0 から 1 までの特定の実数の2 進数字に対応する。文字列の可算無限集合は無限の繰り返しで終わるため、対応する実数は有理数である。例としては、3 分の 1 (010101...)、6 分の 5 (11010101...)、8 分の 5 (1010000...) に対応する文字列が挙げられる。このような実数文字列のサブセット (可算無限サブセットではあるが) のみがハムレット全体を含む (テキストがASCIIなどの数値エンコードの対象であると仮定)。

一方、そのような繰り返しで終わらない文字列の無数集合があり、これらは無理数に対応します。これらは、ハムレットを含むものと含まないものの 2 つの無数無限部分集合に分類できます。ただし、すべての実数の「最大」部分集合は、ハムレットを含むだけでなく、任意の長さのその他のすべての文字列を含み、そのような文字列が均等に分布しているものです。これらの無理数は正規数と呼ばれます。ほぼすべての数が正規数であるため、ほぼすべての可能な文字列には、すべての可能な有限部分文字列が含まれます。したがって、サルが正規数を入力する確率は 1 です。サルが選択できるキーの数に関係なく、同じ原則が適用されます。90 キーのキーボードは、90 進数で書かれた数字の生成器と見なすことができます。

確率論者が現在知っているこの定理の形態の 1 つとして、その「ダクティログラフ」[つまり、タイプライター] の猿 (フランス語: singes dactylographes、フランス語のsinge は猿と類人猿の両方を含む) は、エミール・ボレルの 1913 年の論文「静的力学と不可逆性」^[1]と 1914 年の著書「Le Hasard」[ ^7]に登場しました。彼の「猿」は実際の猿ではなく、むしろ、大規模でランダムな文字列を生成する架空の方法の比喩です。ボレルは、100 万匹の猿が 1 日に 10 時間タイプしたとしても、その出力が世界で最も豊富な図書館の本すべてと正確に一致する可能性は極めて低いと述べました。しかし、それと比較して、統計力学の法則がたとえ短時間であっても破られる可能性はさらに低いでしょう。

物理学者アーサー・エディントンは『物質世界の性質』 （1928年）の中でボレルのイメージをさらに引用し、次のように書いている。

もし私がタイプライターのキーの上で指をぼんやり動かしていたら、私の長文が理解可能な文章になるかもしれない。猿の軍団がタイプライターを弾いていたなら、大英博物館にある本をすべて書くかもしれない。彼らがそうする可能性は、分子が容器の半分に戻る可能性よりも明らかに高い。^{[8] [9]}

これらのイメージは、読者に、有限だが多数の猿が有限だが長時間働いて重要な作品を生み出すという信じられないほどの不可能性について考えさせ、これをさらに起こりそうにない特定の物理的イベントと比較させます。そのような猿の成功よりも可能性が低い物理的プロセスは事実上不可能であり、そのようなプロセスは決して起こらないと言っても過言ではありません。^{[5]文脈から、エディントンはこれが起こる可能性を真剣に検討する価値があると示唆しているのではないことは明らかです。逆に、これは、特定のレベルの確率を下回ると、}ありそうにないという言葉は機能的に不可能と同義であるという事実を修辞的に示していました。

1939年にアルゼンチンの作家ホルヘ・ルイス・ボルヘスは「総合図書館」と題するエッセイで、無限猿のコンセプトをアリストテレスの『形而上学』にまで遡って論じた。世界は原子のランダムな組み合わせによって生じたとするレウキッポスの見解を説明する中で、アリストテレスは原子自体は均質であり、その可能な配置は形、位置、順序のみが異なると指摘している。『生成と腐敗について』で、このギリシャの哲学者はこれを悲劇と喜劇が同じ「原子」、つまりアルファベット文字で構成されていることに例えている。^[10] 3世紀後、キケロの『神々の本性について』はエピクロスの原子論的世界観に反論した。

人間はこれらのものを見て、特定の固体や個々の物体が自然の力と重力によって動き、それらの偶然の集まりによってこのように美しく飾られた世界が作られたと想像できるでしょうか。これを信じる人は、金または他の物質で作られた21文字の文字を大量に地面に投げたら、エンニウスの年代記を判読できるほどの順序で落ちてくると信じるのと同じです。運がそれらから1つの詩を作ることができるかどうかは疑問です。^[11]

ボルヘスは、ブレーズ・パスカルとジョナサン・スウィフト^[12]を通じてこの議論の歴史をたどり、自分の時代には語彙が変化していたと述べている。1939年までに、慣用句は「タイプライターを備えた6匹の猿が、数永劫の歳月をかけて、大英博物館にあるすべての本を生み出す」というものだった。（ボルヘスは「厳密に言えば、不死の猿が1匹いれば十分だ」と付け加えている。）ボルヘスは、この事業が極限まで推し進められた場合に生み出される総合図書館の内容を想像している。

あらゆるものがその盲目の書物の中に収められている。あらゆるもの、すなわち、未来の詳細な歴史、アイスキュロスの『エジプト人』、ガンジス川の水がハヤブサの飛行を映した正確な回数、ローマの秘密で本当の名前、ノヴァーリスが作成したであろう百科事典、1934年8月14日の夜明けに私が見た夢と半ば夢想的なもの、ピエール・フェルマーの定理の証明、エドウィン・ドルードの書かれなかった章、ガラマンテス族が話していた言語に翻訳された同じ章、時間に関してバークリーが発明したが公表しなかったパラドックス、ユリゼンの鉄の本、千年の周期の前では意味をなさないであろうスティーブン・デダラスの早すぎる啓示、バシレイデスのグノーシス福音書、セイレーンが歌った歌、図書館の完全な目録、その目録の不正確さの証明。すべて。しかし、意味のある文章や正確な事実ごとに、無意味な不協和音、言葉の寄せ集め、たわ言が何百万もあるだろう。すべて。しかし、目がくらむような棚 ― 一日を消し去り、混沌が横たわる棚 ― が、人類のあらゆる世代を、耐えられるだけのページで報いてくれることはないだろう。^[13]

ボルヘスの総合図書館構想は、1941 年に広く読まれた短編小説「バベルの図書館」の主要テーマであり、この小説では、アルファベットの文字といくつかの句読点から構成できるあらゆる書籍を収めた、連結した六角形の部屋から成る想像を絶するほど広大な図書館が描かれています。

2002年^{[14] 、}プリマス大学メディアラボ芸術コースの講師と学生は、芸術評議会からの2,000ポンドの助成金を利用して、実際のサルの文学作品を研究した。彼らは5月1日から6月22日まで、イギリスのデボン州ペイントン動物園のセレベスマカクザル6頭の囲いの中にコンピューターのキーボードを置き、その結果をウェブサイトで放送するための無線リンクを張った。^[15]

サルたちは、主に「S」の文字からなる合計5ページ^{[16]しか生成しなかっただけでなく、 [14]}先頭のオスのサルが石でキーボードを叩き始め、他のサルがそれに続いて機械に排尿と排便を行った。^[17]同大学のデジタル芸術技術研究所（i-DAT）所長マイク・フィリップス氏は、アーティストが資金提供したこのプロジェクトは主にパフォーマンスアートであり、サルたちはそこから「非常に多くのこと」を学んだと述べた。同氏は、サルは「ランダム生成器ではない。それよりも複雑だ。…サルは画面に非常に興味を持ち、文字を入力すると何かが起こるのを見た。そこには意図のレベルがあった」と結論付けた。^{[15] [18]}

エディントンのライバルであるジェイムズ・ジーンズは、 1931年の著書『神秘の宇宙』の中で、猿の寓話は「ハクスリー」、おそらくトーマス・ヘンリー・ハクスリーの作であるとしている。この帰属は誤りである。^[19]今日では、ハクスリーがこの例え話を、1860年6月30日にオックスフォードで行われた英国科学振興協会の会合で、オックスフォードの英国国教会主教サミュエル・ウィルバーフォースとチャールズ・ダーウィンの『種の起源』をめぐる今では伝説となっている論争に応用したとさらに伝えられることもある。この話は証拠の欠如だけでなく、1860年にはタイプライターがまだ市販されていなかったという事実も問題である。^[20]

当初の混乱にもかかわらず、猿とタイプライターの議論は進化論をめぐる議論で今ではよく見られる。キリスト教弁証論の例として、ダグ・パウエルは、猿が偶然ハムレットの文字をタイプしたとしても、意思疎通の意図がないためハムレットを生み出すことはできなかったと主張した。彼は、自然法則ではDNAの情報内容を生み出すことはできないと示唆している。^[21]より一般的な議論は、ジョン・F・マッカーサー牧師によって代表され、彼は、アメーバから条虫を生み出すために必要な遺伝子変異は、猿がハムレットの独白をタイプするのと同じくらいありそうになく、したがってすべての生命の進化に対する確率を克服することは不可能であると主張した。^[22]

進化生物学者 リチャード・ドーキンスは、著書『盲目の時計職人』で、タイピング モンキーの概念を用いて、自然選択がランダムな突然変異から生物学的複雑性を生み出す能力を実証しています。シミュレーション実験で、ドーキンスは、ランダムにタイプされた親から始めて、後続の世代を「繁殖」し、ランダムな突然変異を持つ親のコピーである子孫から常に最も近い一致を選択することにより、イタチ プログラムにハムレットのフレーズMETHINKS IT IS LIKE A WEASEL を生成させます。1 つのステップでターゲット フレーズが出現する確率は極めて小さいですが、ドーキンスは、フレーズの累積選択を使用して、それを迅速に (約 40 世代で) 生成できることを示しました。ランダムな選択は原材料を提供し、累積選択は情報を与えます。しかし、ドーキンスが認めているように、イタチ プログラムは進化の不完全なアナロジーであり、「子孫」フレーズは「遠い理想的なターゲットとの類似性の基準に従って」選択されたためです。対照的に、ドーキンスは進化には長期計画はなく、遠い目標（人間など）に向かって進むこともない、と断言している。イタチプログラムは、むしろ非ランダムな累積選択とランダムな単一ステップ選択の違いを示すためのものである。^[23] タイピング猿のアナロジーで言えば、これは、非ランダムなダーウィン型選択の制約下に置かれれば、ロミオとジュリエットが比較的早く生み出される可能性があることを意味する。なぜなら、適応度関数は、ターゲットテキストに一致する文字をそのまま保存する傾向があり、タイピング猿の世代が進むにつれて改善されるからである。

進化と制約のない猿との類似性を探る別の方法は、猿が他の文字とは無関係に一度に 1 文字だけを入力するという問題にあります。ヒュー・ペトリーは、生物学的進化ではなくアイデアの進化の場合、より洗練された設定が必要であると主張しています。

適切な類推を得るためには、サルにもっと複雑なタイプライターを持たせる必要がある。タイプライターにはエリザベス朝の文章や考えがすべて含まれていなければならない。人間の行動パターンとその原因に関するエリザベス朝の信念、エリザベス朝の道徳と科学、そしてこれらを表現する言語パターンも含まれていなければならない。おそらく、エリザベス朝の人物の特定の例として、シェイクスピアの信念構造を形成した経験の種類の説明も含まれていなければならないだろう。そうすれば、おそらく、サルにそのようなタイプライターで遊んでもらい、さまざまなバリエーションを作らせることができるだろうが、シェイクスピア劇が不可能であることはもはや明らかではない。バリエーションがあるということは、すでに獲得された知識の多くを実際に包含しているのだ。^[24]

ジェームズ・W・バレンタインは、古典的な猿の課題は不可能であることを認めながらも、別の意味では書き言葉の英語と後生動物のゲノムの間に価値のある類似点があることを発見した。つまり、どちらも「組み合わせの階層構造」を持ち、アルファベットレベルでの膨大な数の組み合わせを大幅に制限しているということである。^[25]

ジップの法則は、単語の出現頻度は出現頻度順位のべき乗関数であると述べている。ここで、は実数である。サルが各文字キーまたは空白を打つ確率が一定かつゼロではない状態でランダムに入力していると仮定すると、サルが生成するテキストはジップの法則に従う。^[26]$${\displaystyle {\text{word frequency}}\propto {\frac {1}{({\text{word rank}}+b)^{a}}}}$$${\displaystyle a,b}$

RGコリンウッドは1938年に芸術は偶然に生み出されるものではないと主張し、批評家たちへの皮肉な余談として次のように書いた。

... この命題を否定する者もいる。猿がタイプライターで遊べば、シェイクスピアの全文が書けるだろうと指摘する。何もすることがない読者なら、賭ける価値がある確率に達するまでにどれくらいの時間がかかるか計算して楽しむことができる。しかし、この提案の興味深いところは、シェイクスピアの「作品」を本のページに印刷された一連の文字で特定できる人の精神状態を明らかにすることにある... ^[27]

ネルソン・グッドマンは反対の立場をとり、キャサリン・エルギンとともにボルヘスの『ドン・キホーテの作者ピエール・メナール』を例に挙げて自分の主張を説明した。

メナールが書いたものは、単にテキストの別の碑文に過ぎない。印刷機やコピー機もそうであるように、誰でも同じことができる。実際、無限の数の猿がいれば、最終的にはテキストの複製が作られると言われている。その複製は、セルバンテスの原稿、メナールの原稿、そしてこれまでに印刷された、またはこれから印刷される本のそれぞれのコピーと同じくらい、ドン・キホーテという作品の実例となるだろうと私たちは主張する。^[28]

グッドマンは別の著作で、「猿がランダムにコピーを作成したと仮定しても、何の違いもありません。それは同じテキストであり、同じ解釈が可能です...」と詳しく述べています。ジェラール・ジュネットはグッドマンの議論を論点先取であると一蹴しています。^[29]

ホルヘ・J・E・グラシアにとって、テキストの同一性という問いは、作者という別の問いにつながる。意味を意図せず作者としての資格を失っているにもかかわらず、猿がハムレットをタイプできるのであれば、テキストには作者は必要ないようである。考えられる解決策としては、テキストを見つけてハムレットであると特定した者が作者である、あるいはシェイクスピアが作者で、猿がその代理人で、発見者はテキストの単なる使用者である、というものがある。これらの解決策には、テキストが他の代理人とは別の意味を持っているように見えるという点で、独自の困難がある。もし猿がシェイクスピアが生まれる前に活動していたら、シェイクスピアが生まれていなかったら、あるいは誰も猿のタイプ原稿を見つけなかったらどうなるだろうか？^[30]

この定理は、膨大な時間とリソースが必要になると予測されるため、実際には完全に実行できない 思考実験に関するものです。しかし、有限ランダムテキスト生成への取り組みに影響を与えています。

ニューヨーカー誌の記事によると、アリゾナ州スコッツデールのダン・オリバーが実行したコンピュータプログラムは、2004年8月4日に次のような結果を出した。グループが42兆1625億兆猿年かけて作業した後、1匹の「猿」が次のように入力した。バレンタイン。やめてくださいIdor:eFLP0FRjWK78aXzVOwm)-';8.tこのシーケンスの最初の19文字は『ヴェローナの二紳士』に見られます。他のチームは『アテネのタイモン』から18文字、『トロイラスとクレシダ』から17文字、『リチャード2世』から16文字を再現しました。^[31]

2003 年 7 月 1 日に開設されたThe Monkey Shakespeare Simulatorという Web サイトには、大勢の猿がランダムにタイピングする様子をシミュレートするJava アプレットが含まれていました。その目的は、仮想の猿がシェイクスピア劇を最初から最後まで完全に書き上げるのにどのくらいの時間がかかるかを確認することでした。たとえば、このアプレットは『ヘンリー 4 世 第 2 部』の次の部分的な行を生成し、24 個の一致する文字に到達するまでに「2,737,850 兆兆兆兆兆猿年」かかったと報告しています。

噂。耳を傾けてください。9r"5j5&?OWTY Z0d

処理能力の制限により、プログラムは実際にランダムなテキストを生成してシェイクスピアと比較するのではなく、確率モデル（乱数ジェネレータまたはRNGを使用）を使用しました。シミュレータが「一致を検出」すると（つまり、RNGが特定の値または特定の範囲内の値を生成した場合）、シミュレータは一致したテキストを生成することで一致をシミュレートしました。^[32]

理想的なサルが特定の文字列をどのくらいの頻度で入力すると予想されるかを示す統計に関する疑問は、乱数生成器の実用的なテストに変換されます。これらは単純なものから「非常に高度なもの」まであります。コンピュータサイエンスの教授であるGeorge MarsagliaとArif Zaman は、このようなテストの 1 つのカテゴリを講義で「重複 mタプルテスト」と呼んでいたと報告しています。これは、連続する要素の m タプルがランダムなシーケンスで重複していることを扱っているためです。しかし、彼らは、それらを「サル テスト」と呼ぶことで、学生にアイデアを理解させるのに役立つことを発見しました。彼らは 1993 年に、さまざまな RNG に対するテストのクラスとその結果に関するレポートを発表しました。^[33]

無限猿定理とそれに関連するイメージは、確率の数学の一般的なことわざ的な例えと考えられており、正式な教育ではなく大衆文化を通じて伝えられたため、一般に広く知られています。^[i]これは、文字どおり猿がタイプライターのセットでカタカタと音を立てているイメージから生じる生来のユーモアによって助けられており、人気のある視覚的なギャグです。

ロバート・ウィレンスキーの1996年のスピーチから引用された^{[34] [35]}は、「100万匹の猿が100万個のキーボードを操作すればシェイクスピアの全作品が書けると聞いたことがあるが、今ではインターネットのおかげで、それが真実ではないことが分かっている」と述べている。

この定理が長く広く支持されていることは、2001年の論文「サル、タイプライター、ネットワーク：偶然の優秀さの理論から見たインターネット」の序文で言及されている。^{[36] 2002年、}ワシントンポスト紙の記事は「無数のサルが無数のタイプライターと無限の時間を使って、最終的にはシェイクスピアの作品を書くことができるという有名な考えを楽しんでいる人はたくさんいる」と述べている。^[37] 2003年には、前述の芸術評議会が資金提供した本物のサルとコンピューターのキーボードを使った実験が広く報道された。^[14] 2007年、この定理はWired誌の8つの古典的な思考実験のリストに掲載された。^[38]

アメリカの劇作家デイヴィッド・アイブスの短編一幕劇『 Words, Words, Words 』（全集『All in the Timing』収録）は、無限猿定理の概念を揶揄している。

2015年にBalanced SoftwareはMicrosoft StoreでMonkey Typewriterをリリースしました。^[39]このソフトウェアは、無限の猿定理の文字列式を使用してランダムなテキストを生成します。ソフトウェアは、生成されたテキストに対してユーザーが入力したフレーズを照会します。ただし、このソフトウェアは理論を忠実に表現したものではありません。これは、ランダムにテキストを生成する方法に関する科学的なモデルというよりも、理論の実用的なプレゼンテーションです。

• ボルツマン脳 – 哲学的思考実験
• 第二ボレル・カンテリの補題 – 確率の定理
• グランドホテルのヒルベルトのパラドックス - 無限集合の思考実験、無限を含むもう一つの思考実験
• 本当に大きな数の法則 – 統計の法則
• マーフィーの法則 – 一般的には「失敗する可能性のあることは、必ず失敗する」と述べられる格言
• 正規数 – すべての桁が等頻度である数
• 確率的オウム – 機械学習で使用される用語
• テキサス狙撃兵の誤謬 – 統計的誤謬
• エンジン – ガリバー旅行記に登場する架空の計算機
• 隠された現実：並行宇宙と宇宙の深遠な法則 – ブライアン・グリーン著
• 無限の猿の檻 – 科学とコメディのラジオ番組
• バベルの図書館 – ホルヘ・ルイス・ボルヘスの短編小説

• ブリッジ、アダム (1998 年 8 月)。「数学博士に聞く」。mathforum.org。記事 55871。
• 「猿のたとえ話」。2003 年 6 月 4 日のオリジナルからアーカイブ – angelfire 経由。– 引用文を載せた参考文献
• 「プランクモンキー」。2007年4月12日。– 宇宙に猿の粒子を埋め込むことについて
• 「PixelMonkeys.org」。– マット・ケインがピクセルに無限猿定理を適用して画像を作成しました。
• Christey, S. (2000). The Infinite Monkey Protocol Suite (IMPS). doi : 10.17487/RFC2795 . RFC 2795.–無限猿定理の実装に関するエイプリルフールの RFC。
• Woodcock, Stephen; Falletta, Jay (2024). 「有限モンキー定理の数値評価」. Franklin Open . 9. Elsevier BV: 100171. doi : 10.1016/j.fraope.2024.100171 . ISSN  2773-1863.