フィットネス機能

加重和で最適化する場合、${\displaystyle O}$目標はまず正規化され、比較可能になります。これは、コストを利用するか、目標値を指定して現在の値を達成度として決定することによって行うことができます。コストまたは達成度は互いに比較でき、必要に応じて統一された適合度スケールにマッピングすることもできます。一般性を失うことなく、適合度は最大化すべき値を表すものと仮定します。各目標$\displaystyle o_{i}}$重みが割り当てられる${\displaystyle w_{i}}$パーセンテージ値として、全体的な生のフィットネス${\displaystyle f_{raw}}$加重和として計算できます。

${\displaystyle f_{raw}=\sum _{i=1}^{O}{o_{i}\cdot w_{i}}\quad {\mathsf {with}}\quad \sum _{i=1}^{O}{w_{i}}=1}$

違反${\displaystyle R}$制限$\displaystyle r_j}}$このように決定された適合度には、ペナルティ関数の形で含めることができる。この目的のために、関数${\displaystyle pf_{j}(r_{j})}$値を返す各制限に対して定義できます。${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle 1}$違反の程度に応じて、結果は${\displaystyle 1}$違反がない場合、以前に決定された生の適応度にペナルティ関数を乗算し、その結果が最終的な適応度となります。${\displaystyle f_{final}}$: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle f_{final}=f_{raw}\cdot \prod _{j=1}^{R}{pf_{j}(r_{j})}=\sum _{i=1}^{O}{(o_{i}\cdot w_{i})}\cdot \prod _{j=1}^{R}{pf_{j}(r_{j})}}$

このアプローチはシンプルで、任意の数の目的と制約を組み合わせることができるという利点があります。欠点は、異なる目的が互いに相殺し合う可能性があり、最適化の前に重みを定義する必要があることです。つまり、最適化の前に妥協線を定義する必要があるため、加重和による最適化は事前法とも呼ばれます。^{[ 12 ]}さらに、特定の解が得られない場合もあります。両方のタイプの最適化の比較に関するセクションを参照してください。

ある目的の改善が、少なくとも他の1つの目的の悪化を伴う場合にのみ可能な場合、その解はパレート最適であると呼ばれます。すべてのパレート最適解の集合（パレート集合とも呼ばれる）は、目的間のすべての最適な妥協点の集合を表します。右下の図は、2つの目的のパレート集合の例を示しています。${\displaystyle f_{1}}$そして${\displaystyle f_{2}}$最大化すべきもの。集合の要素はパレートフロンティア（緑線）を形成する。この集合から、人間の意思決定者は望ましい妥協解を選択しなければならない。^{[ 12 ]}制約はパレート最適化に含まれており、制約違反のない解は、違反のある解よりも本質的に優れている。比較する2つの解がそれぞれ制約違反を持っている場合、それぞれの違反の程度によって決まる。^{[ 14 ]}

EA は、同時に考慮される解集合により、パレート フロンティアを十分にカバーする解を 1 回の実行で見つけるのに適していることが早い段階で認識されました。^{[ 14 ] [ 15 ]}したがって、EA は、最適化とパレート フロンティアの決定後に人間の意思決定者が最終的な決定を行う多目的最適化の事後的方法に適しています。 ^{[ 12 ]} SPEA2 に加えて、^{[ 16 ]} NSGA-II ^{[ 17 ]}と NSGA-III ^{[ 18 ] [ 19 ]}が標準的な方法として確立されています。

パレート最適化の利点は、加重和とは対照的に、目的に関して同等のすべての代替案を全体的な解決策として提供することです。欠点は、目的が4つ以上になると、代替案の視覚化が困難または不可能になることです。さらに、労力は目的の数とともに指数関数的に増加します。^{[ 13 ]}目的が3つまたは4つを超える場合は、加重和またはその他の集約方法を使用して、いくつかを組み合わせる必要があります。^{[ 12 ]}

重み付き和を用いることで、適切な重みを選択することにより、凸である限り、全体のパレートフロンティアを得ることができる。^{[ 20 ]}これは、左側の隣の図に示されている。${\displaystyle {\mathsf {P}}}$緑色のパレート最適解は、重みによって到達されます。${\displaystyle w_{1}}$そして${\displaystyle w_{2}}$ただし、EAが最適解に収束することを前提とする。解集合の中で適合度の増加が最大となる方向。${\displaystyle Z}$描かれた矢印で示されています。

しかし、非凸面の場合、非凸面部分は加重和では到達できません。右側の隣の画像では、これは点間の部分です。${\displaystyle {\mathsf {A}}}$そして${\displaystyle {\mathsf {B}}}$これは、加重和の拡張であるカスケード加重和を使用することで、ある程度改善できます。^{[ 13 ]}

両方の評価アプローチを比較すると、タスクの可能な解決策についてほとんど知られておらず、最適化目標の数を最大でも 3 つ、多くても 4 つに絞り込める場合は、パレート最適化の使用が確かに有利です。しかし、同じタスクのバリエーションを繰り返し最適化する場合、望ましい妥協線は通常わかっており、パレートフロンティア全体を決定する努力はもはや正当化されません。これは、自動化された意思決定プロセスのように、最適化後に人間の決定が望まれない、または不可能な場合にも当てはまります。^{[ 13 ]}