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確率の古典的な定義または確率の古典的な解釈は、ヤコブ・ベルヌーイとピエール＝シモン・ラプラスの業績と同一視される[ 1 ]。
ある事象の確率は、その事象に有利な場合の数と、起こりうるすべての場合の数の比率である。ただし、これらの場合のうちどれか一つが他の場合よりも多く起こると予想されるような根拠は何もなく、したがって、私たちにとってはそれらすべてが等しく起こりうるものとみなされる。
—ラプラス、確率分析理論
この定義は、本質的に無差別原理の結果である。基本事象に等しい確率が割り当てられている場合、基本事象の論理和の確率は、論理和に含まれる事象の数を基本事象の総数で割った値となる。
確率の古典的な定義は、ジョン・ヴェンやジョージ・ブールなど、19世紀の数人の著述家によって疑問視された。[ 2 ]確率の頻度主義的定義は、彼らの批判、特にRAフィッシャーの著作を通して広く受け入れられるようになった。ベイズ確率への一般的な関心により、古典的な定義は一種の復活を遂げた。ベイズ法は事前確率分布を必要とし、無差別原理はそのような分布の1つの源を提供するからである。古典的な確率は、実験を行う前にしばしば適切と思われる無知を反映した事前確率を提供することができる。
数学の分野としての確率論は、例えば幾何学と比べると非常に遅れて出現したが、世界中の文化から人類がサイコロで遊んでいたという先史時代の証拠がある。[ 3 ] 確率論に関する初期の著述家の一人はジェロラモ・カルダーノである。彼は恐らく古典的確率論の最も初期の定義を著した人物であろう。[ 4 ]
確率論の持続的な発展は、1654年にブレーズ・パスカルが父の友人ピエール・ド・フェルマーと、同年初めにパスカルが旅行中に偶然同行したシュヴァリエ・ド・メレから聞いたギャンブルに関する2つの問題について書簡を交わしたことから始まった。1つの問題は、いわゆる「点数問題」と呼ばれるもので、当時すでに古典的な問題であった（ルカ・パチョーリが1494年には既に扱っており[ 5 ]、さらに遡ると1400年には匿名の写本で扱われている[ 5 ]）。これは、ゲームが途中で中断された場合に、賭け金を公平に分配する方法に関する問題である。もう1つの問題は、サイコロを1つから2つに増やしたゲームでは成り立たないように見える数学的な経験則に関するものであった。この最後の問題、あるいはパラドックスはメレ自身が発見したもので、彼によれば、数学を現実に適用することがいかに危険であるかを示している。[ 5 ] [ 6 ]彼らは旅行中に他の数学的・哲学的問題やパラドックスについても議論し、メレはそれが自身の一般的な哲学的見解を強化すると考えていた。
パスカルは、数学を美しく完璧だが現実とはほとんど関係のないものと捉えるメレの見解に異議を唱え、純粋数学の枠内でこれら2つの問題を解決することでメレの誤りを証明しようと決意した。すでに著名な数学者として認められていたフェルマーが同じ結論に達していたことを知ると、パスカルは問題が決定的に解決されたと確信した。この書簡は当時、他の学者たち、特にホイヘンス、ロベルヴァル、そして間接的にカラミュエル[ 5 ]の間で回覧され、数学者全般が偶然のゲームの問題を研究し始めた出発点となった。この書簡では「確率」については触れられておらず、公正な価格に焦点が当てられていた[ 7 ] 。
半世紀後、ヤコブ・ベルヌーイは確率に対する高度な理解を示した。彼は順列と組み合わせを巧みに扱い、古典的な定義を超えた例（個人的な決定、司法上の決定、財務上の決定など）を用いて確率の概念を論じ、試行回数が増えるにつれて不確実性が減少する反復試行によって確率を推定できることを示した。[ 7 ] [ 8 ]
ディドロとダランベールの古典『百科全書』の1765年版には、確率に関する長々とした議論と、当時の知識の要約が含まれている。確率は「自然そのものの考察から導き出される」（物理的）確率と「過去の経験のみに基づいて将来について確信を持って結論を導き出すことができる」（証拠的）確率とに区別されている。[ 9 ]
確率の明確かつ永続的な定義の源泉はラプラスであった。彼は1814年という比較的遅い時期に次のように述べている。
確率論は、同種の事象すべてを、等しく起こりうる一定数の事象、すなわち、その存在について等しく不確実な事象に絞り込み、確率を求めたい事象にとって有利な事象の数を決定することにある。この数と起こりうるすべての事象の数の比が確率の尺度であり、したがって、分子が有利な事象の数、分母が起こりうるすべての事象の数である分数となる。
—ピエール＝シモン・ラプラス、『確率論的哲学論文』[ 10 ]
この記述こそが、最終的に確率の古典的な定義となるものだった。ラプラスは半世紀にわたり、確率に関する複数の文書（専門書と一般向け解説書）を複数版にわたって出版した。彼の先駆者たち（カルダーノ、ベルヌーイ、ベイズなど）の多くは、死後に1つの文書を出版したに過ぎない。
確率の古典的な定義では、物理的な対称性に基づいて事象に等しい確率が割り当てられるが、これはコイン、カード、サイコロにとって自然なことである。
しかし、この定義には限界があるものの、かなりの確信が伴う。古典的な確率から著しく逸脱しているカジノは、その前提が破られた（誰かが不正をしている）と確信する。確率論の数学の多くは、この単純な定義に基づいて発展してきた。確率の別の解釈（例えば、頻度主義的確率や主観的確率）にも問題がある。
数学的確率論は抽象概念を扱うため、確率の解釈に伴う限界や哲学的複雑さを回避できる。