真に大きな数の法則

ペルシ・ディアコニスとフレデリック・モステラーに帰せられる真に大きい数の法則（統計学の 格言）は、独立標本が十分に多い場合、非常にありそうにない（つまり、単一の標本ではありそうにないが、どの標本でも0より厳密に大きい一定の確率）結果が観察される可能性が高いと述べています。^[1]ありそうな出来事が起こっても注目しないので、ありそうにない出来事を強調して、より注目します。この法則は、さまざまな疑似科学的主張を偽造するためによく使用されます。そのため、異端の科学者から批判されることがあります。^{[2] [3]}

この法則は「大きな数字は人を騙す」と言い換えることもできる。より具体的には、懐疑論者のペン・ジレットは「ニューヨーク（人口約800万人）では1日に8回、100万分の1の確率で起こる」と述べている。^[4]

この法則の簡単な例として、あるイベントが 1 回の試行で 0.1% の確率で発生すると仮定します。この場合、このいわゆる起こりそうにないイベントが 1 回の試行で発生しない確率(起こり得ない確率) は 99.9% (0.999) です。

しかし、1,000回の独立した試行のみのサンプルでは、​​イベントが1回も発生しない確率（起こりにくい確率）は、 ^[5] 0.999 ¹⁰⁰⁰ ≈  0.3677、つまり36.77%に過ぎません。次に、イベントが1,000回の試行で少なくとも1回発生する確率は、  （1 − 0.999 ¹⁰⁰⁰ ≈  0.6323、つまり）  63.23%です。これは、この「起こりにくいイベント」が1,000回の独立した試行で発生する確率が63.23%であることを意味します。試行回数を 10,000 回に増やした場合、10,000 回のうち少なくとも 1 回発生する確率は ( 1 − 0.999 ¹⁰⁰⁰⁰ ≈  0.99995、つまり )  99.995% に上昇します。言い換えると、試行ごとに一定の回数の抽選を行う十分な数の独立した試行が行われると、非常に起こりそうにないイベントが発生する可能性がさらに高くなります。

0.0000001%という非常に低い確率で発生するイベントX（単一のサンプルでは、​​ほとんど発生しないという点も参照）の場合、1,000,000,000を「本当に大きい」数の独立サンプルと考えると、Xの発生確率は1 − 0.999999999 ^1000000000 ≈ 0.63 = 63%となり、独立サンプルの数が人間の人口（2021年）と等しい場合、イベントXの確率は1 − 0.99999999 ^7900000000 ≈ 0.9996 = 99.96%となる。^[6]

これらの計算は数学的な言葉で次のように定式化できます。「Nが本当に大きい場合、1回の試行でイベントXが発生する確率がどれだけ小さくても、N回の独立した試行で発生する可能性の低いイベントXの確率は1に任意に近づく可能性があります。」^[7]

たとえば、起こりそうにない事象 X の確率が小さな定数ではなく、N の関数として減少する場合は、グラフを参照してください。

高可用性システムでは、非常に起こりそうにないイベントも考慮する必要があり、直列システムでは、単一要素の障害確率が非常に低くても、それらを多数接続すると、システム全体の障害確率が上昇します（システム障害の可能性を低くするために冗長性を使用することができます。このような並列システムでは、信頼性の低い冗長部品を多数接続しても、故障しない確率が要求される高いレベルまで上昇します）。^[8]

この法則は疑似科学に対する批判で取り上げられ、ジーン・ディクソン効果と呼ばれることもあります（ポストディクションも参照）。これは、霊能者が予言を多くすればするほど、そのうちの1つが「当たる」確率が高くなるというものです。したがって、1つが当たれば、霊能者は起こらなかった大部分のことを私たちが忘れることを期待します（確証バイアス）。^[9]人間はこの誤謬に陥りやすいです。

この法則のもう一つの類似した現れはギャンブルにも見られる。ギャンブルでは、ギャンブラーは勝ちは覚えているが負けは忘れる傾向がある^[10]。たとえ後者が前者をはるかに上回っていたとしても（ただし、人によっては、プレイシステムを微調整するために負けをさらに分析する必要があると考える場合は、その逆のことも当てはまるかもしれない^[11]）。ミカル・オースヴェドはこれを「選択的記憶バイアス」と結び付け、ギャンブラーが実際の勝ち（または逆の場合は負け - 「どちらの方向にも選択的記憶バイアス」）を過大評価することで、ギャンブルの結果から精神的に距離を置くことができるとしている ^{[11] 。}

• Weisstein、Eric W.「真に大きな数の法則」。MathWorld。
• Diaconis, P. ; Mosteller, F. (1989). 「偶然の一致の研究方法」(PDF) . Journal of the American Statistical Association . 84 (408): 853–61. doi :10.2307/2290058. JSTOR  2290058. MR 1134485. 2010-07-12 にオリジナル(PDF) からアーカイブ。2009-04-28に取得。
• エヴェリット、BS (2002)。ケンブリッジ統計辞典（第2版）。ISBN 978-0521810999。
• デイビッド・J・ハンド（2014年）『不可能性原理：なぜ偶然、奇跡、稀な出来事が毎日起こるのか』

• 数学は、ありそうな大当たり、奇跡、宝くじ当選を説明する（抜粋）サイエンティフィック・アメリカン、デイビッド・ハンド著、2014年
• skepdic.com の「本当に大きな数の法則」
• 真に大きな数の法則について
• 整数列のオンライン百科事典 – 関連する整数列