Resonance

Resonance is a phenomenon that occurs when an object or system is subjected to an external force or vibration that matches its natural frequency. When this happens, the object or system absorbs energy from the external force and starts vibrating with a larger amplitude. Resonance can occur in various systems, such as mechanical, electrical, or acoustic systems, and it is often desirable in certain applications, such as musical instruments or radio receivers. However, resonance can also be detrimental, leading to excessive vibrations or even structural failure in some cases.^[3]

All systems, including molecular systems and particles, tend to vibrate at a natural frequency depending upon their structure; this frequency is known as a resonant frequency or resonance frequency. When an oscillating force, an external vibration, is applied at a resonant frequency of a dynamic system, object, or particle, the outside vibration will cause the system to oscillate at a higher amplitude (with more force) than when the same force is applied at other, non-resonant frequencies.^[4]

The resonant frequencies of a system can be identified when the response to an external vibration creates an amplitude that is a relative maximum within the system.^[4] Small periodic forces that are near a resonant frequency of the system have the ability to produce large amplitude oscillations in the system due to the storage of vibrational energy.

Resonance phenomena occur with all types of vibrations or waves: there is mechanical resonance, orbital resonance, acoustic resonance, electromagnetic resonance, nuclear magnetic resonance (NMR), electron spin resonance (ESR) and resonance of quantum wave functions. Resonant systems can be used to generate vibrations of a specific frequency (e.g., musical instruments), or pick out specific frequencies from a complex vibration containing many frequencies (e.g., filters).

共鳴（レゾナンス）という用語は、ラテン語の resonantia（「エコー」）とresonare（「響き渡る」）に由来し、音響学の分野、特に楽器で観察される共鳴（例えば、ある弦を弾いた後に別の弦が振動して音を出す場合）に由来しています。

共振は、システムが 2 つ以上の異なる保存モード (単純な振り子の場合の運動エネルギーと位置エネルギーなど) 間でエネルギーを保存し、簡単に転送できる場合に発生します。ただし、サイクルごとに減衰と呼ばれる損失があります。減衰が小さい場合、共振周波数はシステムの固有周波数(強制されていない振動の周波数)とほぼ等しくなります。一部のシステムには、複数の異なる共振周波数があります。

身近な例としては、遊び場のブランコが挙げられます。ブランコは振り子の役割を果たします。ブランコの自然な間隔（共振周波数）に合わせて人を押すと、ブランコはどんどん高くなります（最大振幅）。一方、ブランコをより速くまたは遅く押そうとすると、弧は小さくなります。^{[5] : p.2–24}これは、押すテンポがブランコ​​の自然振動と一致したときに、ブランコが吸収するエネルギーが最大化されるためです。

共鳴は自然界に広く見られ、多くの機器で利用されています。共鳴は、ほぼすべての正弦波と振動が生成されるメカニズムです。たとえば、金属、ガラス、木材などの硬い物体に衝撃を与えると、物体に短時間の共鳴振動が発生します。^{[5] : p.2–24}光やその他の短波長の電磁放射は、原子内の電子などの原子スケールでの共鳴によって生成されます。共鳴の他の例としては、次のものがあります。

• 現代の時計や腕時計の計時機構、例えば機械式時計のテンプやクオーツ時計の水晶振動子など
• ファンディ湾の潮汐共鳴
• 楽器の音響共鳴と人間の発声器官
• 正しい音程（共鳴周波数）の音楽音にさらされるとクリスタルワイングラスが割れる
• 摩擦音、例えばガラスの物体（ガラス、ボトル、花瓶）の縁を指先でこすって振動させるなど
• ラジオやテレビの同調回路の電気共振により、無線周波数を選択的に受信できる。
• レーザーキャビティ内の光共鳴によるコヒーレント光の生成
• 太陽系の巨大惑星のいくつかの衛星やプルティノスなどの共鳴グループに代表される軌道共鳴
• 原子スケールの物質共鳴は、凝縮物質物理学で使用されるいくつかの分光技術の基礎となっている。
  • 電子スピン共鳴
  • メスバウアー効果
  • 核磁気共鳴

共振は、多くの線形および非線形システムで平衡点の周りの振動として現れます。システムが正弦波の外部入力によって駆動されると、システムの測定出力がそれに応じて振動することがあります。出力の定常振動の振幅と入力の振動の比率はゲインと呼ばれ、ゲインは正弦波の外部入力の周波数の関数になります。特定の周波数でのゲインのピークは共振に対応し、測定出力の振動の振幅が不釣り合いに大きくなります。

振動する多くの線形および非線形システムは、平衡点付近の調和振動子としてモデル化されるため、駆動され減衰された調和振動子の共振周波数の導出を示します。RLC回路は、共振とシステムの伝達関数、周波数応答、極、およびゼロの間の接続を示すために使用されます。RLC 回路の例を基にして、複数の入力と出力を持つ高次線形システムのこれらの接続が一般化されます。

外部から正弦波の力を受けて動くバネ上の減衰質量を考えてみましょう。ニュートンの第二法則は次のようになります。

ここで、mは質量、xは平衡点からの質量の変位、F ₀は駆動振幅、ωは駆動角周波数、kはバネ定数、cは粘性減衰係数である。これは次のように書き直すことができる。

どこ

• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$振動子の非減衰角周波数または固有振動数と呼ばれる。
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$は減衰比と呼ばれます。

多くの情報源では、 ω _0を共振周波数とも呼んでいます。ただし、以下に示すように、変位x ( t ) の振動を解析する場合、共振周波数はω ₀に近いですが、同じではありません。一般に、共振周波数は自然周波数に近いですが、必ずしも同じではありません。^[6]次のセクションのRLC回路の例では、同じシステムの異なる共振周波数の例を示します。

式（ ２）の一般解は、初期条件に依存する過渡解と、初期条件に依存せず駆動振幅F0、駆動周波数_ω 、非減衰角周波数ω0、および減衰比_{ζのみに依存する}定常解の和である。過渡解は比較的短時間で減衰するため、共振を研究するには定常解を考慮すれば十分である。

x ( t )の定常解は、誘導位相変化φ を伴う駆動力に比例する関数として表すことができる。

どこ${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi .}$

位相値は通常、-180° から 0 の間で取られるため、arctan 引数の正の値と負の値の両方の位相遅れを表します。

共振は、特定の駆動周波数で、 x ( t )の定常振幅が他の駆動周波数での振幅に比べて大きい場合に発生します。バネ上の質量の場合、共振は物理的には、特定の駆動周波数で質量の振動がバネの平衡位置から大きく変位することに対応します。駆動周波数ωの関数としてx ( t ) の振幅を見ると、振幅は駆動周波数で最大になります。 $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$$

ω _{r は}このシステムの共振周波数です。繰り返しますが、共振周波数は振動子の減衰されていない角周波数ω ₀と等しくありません。これらは比例しており、減衰率がゼロになると同じになりますが、減衰率がゼロでない場合は同じ周波数ではありません。図に示すように、共振はω ₀を含む共振周波数付近の他の周波数でも発生する可能性がありますが、最大応答は共振周波数で発生します。

また、ω _{r は}の場合にのみ実数かつ非ゼロとなるため、このシステムは調和振動子が著しく減衰不足の場合にのみ共振します。減衰比が非常に小さく、駆動周波数が共振周波数に近いシステムの場合、定常振動は非常に大きくなる可能性があります。 ${\textstyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$

バネの質量の例と運動方程式が正確に一致しない他の駆動減衰調和振動子の場合、共振周波数はそのままですが 、 ω ₀とζ の定義はシステムの物理的性質に基づいて変化します。長さℓと小さな変位角θの振り子の場合、式 ( 1 ) は次のようになります 。$${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}},}$$$${\displaystyle m\ell {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{0}\sin(\omega t)-mg\theta -c\ell {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$$

そしてそれゆえ

• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{\ell }}},}$
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2m}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$

抵抗Rの抵抗器、インダクタンスLのインダクタ、容量Cのコンデンサが直列に接続され、電流i ( t )が流れ、電圧v _in ( t )の電圧源によって駆動される回路を考える。回路周辺の電圧降下は

このセクションでは、上記のバネ上の質量の例のようにこの方程式の候補解を分析するのではなく、この回路の周波数応答を分析します。式( 4 ) のラプラス変換を取ります。ここで、 I ( s )とVin ( s )_はそれぞれ電流と入力電圧のラプラス変換であり、sはラプラス領域における 複素周波数パラメータです。項を整理すると、$${\displaystyle sLI(s)+RI(s)+{\frac {1}{sC}}I(s)=V_{\text{in}}(s),}$$$${\displaystyle I(s)={\frac {s}{s^{2}L+Rs+{\frac {1}{C}}}}V_{\text{in}}(s).}$$

直列のRLC回路では、出力電圧を測定する場所についていくつかの選択肢があります。対象となる出力電圧がコンデンサの両端の電圧降下であるとします。上に示したように、ラプラス領域ではこの電圧は または $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {1}{sC}}I(s)}$$$${\displaystyle V_{\text{out}}={\frac {1}{LC(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}})}}V_{\text{in}}(s).}$$

この回路の固有振動数と減衰比を定義します。 $${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$$ $${\displaystyle \zeta ={\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}.}$$

出力電圧と入力電圧の比は $${\displaystyle H(s)\triangleq {\frac {V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}}={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}}$$

H ( s ) は入力電圧と出力電圧の間の伝達関数です。この伝達関数には、伝達関数の分母の多項式の根である 2つの極があります。

伝達関数の分子には多項式の根である零点はありません。さらに、ζ ≤ 1の場合、これらの極の大きさは固有振動数ω _{0であり、調和振動子の例における共振の条件である}ζ < 1/${\displaystyle {\sqrt {2}}}$の場合、極は実軸よりも虚軸に近くなります。

H ( s ) を虚軸s = iωに沿って評価すると、伝達関数はこの回路の周波数応答を記述します。同様に、周波数応答は、ラプラス変換の代わりに式 ( 4 ) のフーリエ変換を行うことで解析できます。伝達関数も複素数であり、ゲインと位相として表すことができます。 $${\displaystyle H(i\omega )=G(\omega )e^{i\Phi (\omega )}.}$$

周波数ωの正弦波入力電圧は、同じ周波数でG ( ω )でスケーリングされ、位相シフトΦ ( ω ) を持つ出力電圧になります。ゲインと位相は、ボード線図で周波数に対してプロットできます。RLC回路のコンデンサ電圧の場合、伝達関数H ( iω ) のゲインは

ここでのゲインと式（3）の振幅の類似性に注目してください。ここでもゲインは共振周波数で最大になります。 $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$$

ここで、共振は、他の駆動周波数での振幅と比較して、コンデンサ両端の電圧の定常振動の振幅が比較的大きいことに物理的に対応します。

共振周波数は、必ずしも上記の例のような形をとる必要はありません。RLC回路の場合、代わりに、対象となる出力電圧はインダクタの両端の電圧であると仮定します。上記のように、ラプラス領域では、インダクタの両端の電圧は $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)=sLI(s),}$$ $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}}}V_{\text{in}}(s),}$$ $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}V_{\text{in}}(s),}$$

前の例と同じω ₀とζの定義を用いる。インダクタを介した V _in ( s )とこの新しいV _out ( s )の間の伝達関数は$${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$$

この伝達関数は、前の例の伝達関数と同じ極を持ちますが、分子のs = 0に2つのゼロ点も持ちます。虚軸に沿って H ( s ) を評価すると、そのゲインは次のようになります。$${\displaystyle G(\omega )={\frac {\omega ^{2}}{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

コンデンサ電圧を出力として用いた式（ 6 ）のゲインと比較すると、このゲインは分子に ω ^{2の係数を持ち、したがってゲインを最大化する異なる共振周波数を持つことになる。その周波数は}$${\displaystyle \omega _{r}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}},}$$

したがって、同じ RLC 回路でインダクタの両端の電圧を出力とすると、共振周波数は固有周波数よりも大きくなりますが、減衰率がゼロに近づくにつれて、依然として固有周波数に近づく傾向があります。同じ回路で出力の選択によって異なる共振周波数を持つことができることは矛盾ではありません。式 ( 4 ) に示すように、回路全体の電圧降下は 3 つの回路要素に分割され、各要素は異なるダイナミクスを持ちます。コンデンサの電圧は、時間の経過とともに電流を積分することによってゆっくりと増加するため、より低い周波数に対してより敏感ですが、インダクタの電圧は電流が急速に変化すると増加するため、より高い周波数に対してより敏感です。回路全体には振動する傾向がある固有周波数がありますが、各回路要素の異なるダイナミクスにより、各要素はわずかに異なる周波数で共振します。

関心のある出力電圧が抵抗器の両端の電圧であると仮定します。ラプラス領域では、抵抗器の両端の電圧は $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)=RI(s),}$$ $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {Rs}{L\left(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}V_{\text{in}}(s),}$$

コンデンサの例と同じ固有振動数と減衰比を使用すると、伝達関数は次のようになります。 $${\displaystyle H(s)={\frac {2\zeta \omega _{0}s}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$$

この伝達関数も、前のRLC回路の例と同じ極を持ちますが、分子のゼロはs = 0の1つだけです。この伝達関数のゲインは $${\displaystyle G(\omega )={\frac {2\zeta \omega _{0}\omega }{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

このゲインを最大化する共振周波数は であり 、この周波数でのゲインは 1 であるため、抵抗器の両端の電圧は回路の固有周波数で共振し、この周波数では抵抗器の両端の電圧の振幅は入力電圧の振幅と等しくなります。 $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0},}$$

一部のシステムでは、共振と同じ方法で分析できる反共振が見られます。反共振の場合、特定の周波数でのシステムの応答振幅は、不釣り合いに大きくなるのではなく、不釣り合いに小さくなります。RLC 回路の例では、インダクタとコンデンサの両方を組み合わせて分析することで、この現象を観察できます。

RLC回路で対象となる出力電圧が、直列に接続されたインダクタとコンデンサの両端の電圧であると仮定します。式（4）は、3つの回路要素の両端の電圧の合計が入力電圧になることを示しました。したがって、出力電圧をインダクタとコンデンサの電圧の合計として測定すると、v _{in から}抵抗器の両端の電圧降下を引いたものと同じになります。前の例では、システムの固有周波数では、抵抗器の両端の電圧降下の振幅がv _inの振幅に等しく、したがってインダクタとコンデンサを合わせた両端の電圧の振幅はゼロになることを示しました。これは伝達関数で示すことができます。

インダクタとコンデンサの電圧の合計は $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)=(sL+{\frac {1}{sC}})I(s),}$$ $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {s^{2}+{\frac {1}{LC}}}{s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}}}V_{\text{in}}(s).}$$

前の例と同じ固有振動数と減衰率を使用すると、伝達関数は次のようになります。 $${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}+\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$$

この転送は前の例と同じ極を持ちますが、零点は

虚軸に沿って伝達関数を評価すると、そのゲインは $${\displaystyle G(\omega )={\frac {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

共振、すなわちゲインのピークを探すのではなく、ω = ω ₀でゲインがゼロになることに注目してください。これは、抵抗器の電圧の分析を補完します。これは反共振と呼ばれ、共振とは逆の効果があります。この出力を選択したこの回路は、この周波数で不釣り合いに大きい出力をもたらすのではなく、この周波数ではまったく応答しません。フィルタリングされた周波数は、式（7）に示され、虚軸上にある伝達関数のゼロに正確に対応しています。

これらの RLC 回路の例は、共振がシステムの周波数応答とどのように関係しているかを示しています。具体的には、これらの例は次のことを示しています。

• 共振周波数は、例えばボード線図でシステムの入力と出力の間の伝達関数のゲインのピークを探すことによってどのように見つけられるか
• 単一システムの共振周波数がシステム出力の選択によってどのように異なるか
• システムの固有振動数、システムの減衰比、システムの共振周波数の関係
• システムの固有振動数と伝達関数の極の大きさとの関係は式（５）で指摘されており、したがって極と共振周波数との関係は
• 伝達関数のゼロと周波数の関数としてのゲインの形状との関係、したがってゼロとゲインを最大化する共振周波数との関係
• 伝達関数のゼロと反共振の関係

次のセクションでは、これらの概念を一般線形システムにおける共鳴に拡張します。

次に、複数の入力と出力を持つ任意の線形システムを考えます。たとえば、状態空間表現では、3 つの入力と 2 つの出力を持つ3 次線形時間不変システムは次のように記述されます 。 ここで、u _i ( t ) は入力、x _i ( t ) は状態変数、 y _i ( t ) は出力、A、B、C、およびD は変数間のダイナミクスを記述する行列です。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\{\dot {x}}_{3}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+B{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\end{bmatrix}}=C{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+D{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$$

このシステムには、さまざまな入力と出力の間の伝達関数を要素とする伝達関数行列があります。たとえば、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}Y_{1}(s)\\Y_{2}(s)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{11}(s)&H_{12}(s)&H_{13}(s)\\H_{21}(s)&H_{22}(s)&H_{23}(s)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}(s)\\U_{2}(s)\\U_{3}(s)\end{bmatrix}}.}$$

各H _ij ( s ) は、入力の 1 つを出力の 1 つにリンクするスカラー伝達関数です。上記の RLC 回路の例には 1 つの入力電圧があり、コンデンサ、インダクタ、抵抗、直列に結合したコンデンサとインダクタの 4 つの出力電圧が示され、それぞれに独自の伝達関数があります。RLC 回路がこれら 4 つの出力電圧すべてを測定するように設定されている場合、そのシステムには 1 つの入力を 4 つの出力のそれぞれにリンクする 4×1 伝達関数マトリックスがあります。

虚軸に沿って評価すると、各H _ij ( iω )はゲインと位相シフトとして表すことができ、 $${\displaystyle H_{ij}(i\omega )=G_{ij}(\omega )e^{i\Phi _{ij}(\omega )}.}$$

システムが安定していると仮定すると、特定の周波数でのゲインのピークは、その伝達関数の入力と出力間の共振に対応します。

各伝達関数H _ij ( s )は、分子と分母がsの多項式である分数として表すこともできます。 $${\displaystyle H_{ij}(s)={\frac {N_{ij}(s)}{D_{ij}(s)}}.}$$

分子の複素根は零点、分母の複素根は極と呼ばれる。安定したシステムの場合、複素平面上のこれらの極と零点の位置は、システムが共振するか反共振するか、またどの周波数で共振するかについての何らかの指標を与える。特に、虚数成分を持つ安定または限界安定な複素共役極のペアは、式（ 5 ） のように、固有周波数と減衰比で表すことができる 。その極の固有周波数ω _{0 は}、複素平面上の極の位置の大きさであり、その極の減衰比はその振動がどれだけ速く減衰するかを決定する。一般に、^[6]$${\displaystyle s=-\zeta \omega _{0}\pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$$

• 虚軸近くの複素共役極ペアは、極の固有周波数付近の周波数応答のピークまたは共振に対応します。 極ペアが虚軸上にある場合、その周波数でのゲインは無限大です。
• 虚軸近くの複素共役ゼロのペアは、ゼロの周波数、つまりゼロの振幅に等しい周波数付近の周波数応答のノッチまたは反共振に対応します。ゼロのペアが虚軸上にある場合、その周波数でのゲインはゼロになります。

RLC回路の例では、極と共振を関連付ける最初の一般化は式( 5 )に見られます。零点と反共振を関連付ける2番目の一般化は式( 7 )に見られます。調和振動子、RLC回路コンデンサ電圧、およびRLC回路インダクタ電圧の例では、「虚軸に近い極」は、著しく減衰が不十分な条件ζ<1/に対応します。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

物理システムは、自由度と同じ数の固有振動数を持つことができ、それぞれの固有振動数の近くで共鳴することができます。自由度が 1 つのバネの上の質量は、1 つの固有振動数を持ちます。自由度が 2 つの二重振り子は、2 つの固有振動数を持つことができます。結合した調和振動子の数が増えると、エネルギーを 1 つから次の振動子に伝達するのにかかる時間が重要になります。自由度が非常に大きいシステムは、離散振動子を持つのではなく、連続していると考えることができます。 ^{[引用が必要]}

エネルギーは、波の形で 1 つの振動子から次の振動子に伝達されます。たとえば、ギターの弦やボウルの水面は、結合した小さな振動子の連続体としてモデル化でき、波は振動子に沿って移動できます。多くの場合、これらのシステムは特定の周波数で共鳴し、固定位置で大きな振幅の振動を伴う定在波を形成する可能性があります。定在波の形での共鳴は、楽器が発する音、レーザーや電子レンジで使用される電磁空洞、原子のエネルギーレベルなど、多くの身近な現象の基礎となっています。^{[引用が必要]}

一定の長さの弦を特定の周波数で駆動すると、弦に沿って同じ周波数で波が伝播します。波は弦の端で反射し、最終的には両方向に波が伝わる定常状態に達します。波形は波の重ね合わせです。 ^[7]

特定の周波数では、定常波形は弦に沿って移動しないように見える。節と呼ばれる固定位置では、弦は移動しない。節の間で弦は振動し、節のちょうど中間、つまり反節と呼ばれる位置で振動は最大振幅を持つ。^{[8] [9] [10]}

固定端を持つ長さの弦の場合、時間における軸に垂直な弦の変位は^[7]${\displaystyle L}$${\displaystyle y(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$ $${\displaystyle y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin(kx)\cos(2\pi ft),}$$

どこ

• ${\displaystyle y_{\text{max}}}$左波と右波が干渉して定在波を形成する振幅である。
• ${\displaystyle k}$は波数であり、
• ${\displaystyle f}$周波数です。

共鳴して定在波を形成する周波数は弦の長さと関係があり、^{[11] [9]} $${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}$$ $${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$$

ここで は波の速度であり、整数は異なるモードまたは高調波を表します。n = 1の定在波は基本周波数で振動し、弦の長さの 2 倍の波長を持ちます。振動の可能なモードは高調波列を形成します。^[11]${\displaystyle v}$${\displaystyle n}$

結合調和振動子の複雑なネットワークへの一般化は、そのようなシステムがネットワーク自体の位相構造に関連した有限個の固有共振周波数を持つことを示しています。特に、そのような周波数はネットワークのラプラシアン行列の固有値に関連しています。ネットワークの位相構造を記述する隣接行列を、対応するラプラシアン行列とします。ここで、はネットワークのノードの次数の対角行列です。次に、古典的な同一の調和振動子のネットワークでは、正弦波駆動力が特定のノードに適用された場合、ネットワークのグローバル共振周波数は で与えられます。ここで、はラプラシアン の固有値です。^[12]${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle {\bf {L}}={\bf {K}}-{\bf {A}}}$${\displaystyle {\bf {K}}={\rm {diag}}\,\{k_{i}\}}$${\displaystyle f(t)=F_{0}\sin \omega t}$${\displaystyle \omega _{i}={\sqrt {1+\mu _{i}}}}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle {\bf {L}}}$

機械共振とは、機械システムの振動周波数がシステムの固有振動周波数と一致すると、他の周波数の場合よりも多くのエネルギーを吸収する傾向のことです。橋、建物、電車、航空機など、不適切に建設された構造物では、激しい揺れや壊滅的な故障を引き起こす可能性があります。物体を設計する際、エンジニアは 構成部品の機械共振周波数がモーターやその他の振動部品の駆動振動周波数と一致しないようにする必要があります。この現象は共振災害と呼ばれます。

共鳴災害の回避は、あらゆる建物、塔、橋の 建設プロジェクトにおける主要な懸念事項です。対策として、ショックマウントを設置して共振周波数を吸収し、吸収されたエネルギーを消散させることができます。台北 101ビルは、660 トンの振り子 (730 ショートトン)、つまり同調質量ダンパーを使用して共鳴を打ち消しています。さらに、この構造は、通常は発生しない周波数で共鳴するように設計されています。地震帯にある建物は、多くの場合、予想される地動の振動周波数を考慮して建設されます。さらに、エンジンを搭載した物体を設計するエンジニアは、構成部品の機械的共振周波数が、モーターやその他の強く振動する部品の駆動振動周波数と一致しないようにする必要があります。

時計は、テンプ、振り子、または水晶の機械的共鳴によって時間を計ります。

ランナーの歩調は、下肢に蓄えられた弾性エネルギーとランナーの質量との共鳴により、エネルギー的に有利になるという仮説が立てられている。^[13]

国際宇宙ステーション（ISS）のロケットエンジンは、自動操縦装置によって制御されている。通常、ズヴェズダモジュールのエンジン制御システムを制御するためにアップロードされたパラメータにより、ロケットエンジンは国際宇宙ステーションをより高い軌道に押し上げる。ロケットエンジンはヒンジマウントされており、通常、乗組員は動作に気付かない。しかし、2009年1月14日、アップロードされたパラメータにより、自動操縦装置はロケットエンジンを0.5Hzの周波数でどんどん大きく揺らした。これらの振動はビデオに記録されており、142秒間続いた。^[14]

音響共鳴は機械的共鳴の分野であり、人間の聴覚の周波数範囲、つまり音の機械的振動に関係しています。人間の聴覚は通常、約20  Hzから20,000 Hz（20  kHz）の間の周波数に限定されています。^[15] 多くの物体や材料は、この範囲内の共鳴周波数を持つ共鳴体として機能し、叩かれると機械的に振動し、周囲の空気を押して音波を生成します。これが、私たちが聞く多くの打楽器音の源です。

ほとんどのアコースティック楽器は、バイオリンの弦や本体、フルートの管の長さ、ドラムの膜の形状や張力など、 共鳴体を使用しているため、音響共鳴は楽器製作者にとって重要な考慮事項です。

機械的共鳴と同様に、音響共鳴も共鳴時に物体の壊滅的な破損を引き起こす可能性があります。この典型的な例は、ワイングラスをそのグラスの正確な共鳴周波数の音で割ることですが、これは実際には困難です。^[16]

電気共振は、回路のインピーダンスが直列回路では最小、並列回路では最大（通常は伝達関数の絶対値がピークになる）のときに、特定の共振周波数で電気回路内で発生します。回路内の共振は、テレビ、携帯電話、ラジオなどの無線通信の送信と受信の両方に使用されます。

光キャビティは光共振器とも呼ばれ、光波の定在波キャビティ共振器を形成するミラーの配置です。光キャビティはレーザーの主要コンポーネントで、ゲイン媒体を取り囲み、レーザー光のフィードバックを提供します。また、光パラメトリック発振器や一部の干渉計でも使用されます。キャビティ内に閉じ込められた光は複数回反射し、特定の共振周波数の定在波を生成します。生成された定在波パターンは「モード」と呼ばれます。縦モードは周波数のみが異なりますが、横モードは周波数によって異なり、ビームの断面全体で異なる強度パターンを持ちます。リング共振器やウィスパリングギャラリーは、定在波を形成しない光共振器の例です。

異なる共振器タイプは、2 つのミラーの焦点距離とミラー間の距離によって区別されます。平面ミラーは、正確に位置合わせするのが難しいため、あまり使用されません。形状 (共振器タイプ) は、ビームが安定しているように、つまり、ビーム サイズが反射ごとに大きくなり続けないように選択する必要があります。共振器タイプは、ビーム ウェストが最小であることや、キャビティ内に焦点がないこと (したがって、その点に強い光がないこと) など、他の基準を満たすようにも設計されます。

光共振器は非常に大きなQ値を持つように設計されています。^{[17]ビームはほとんど}減衰することなく多数回反射するため、ビームの周波数線幅はレーザーの周波数に比べて小さくなります。

追加の光共鳴には導波モード共鳴と表面プラズモン共鳴があり、共鳴時に異常反射と高いエバネッセント場が生じます。この場合、共鳴モードは導波路の導波モードまたは誘電体と金属の界面の表面プラズモンモードです。これらのモードは通常、サブ波長格子によって励起されます。

天体力学では、軌道共鳴は、 2 つの軌道上の物体が互いに規則的で周期的な重力の影響を及ぼし合うときに発生します。これは通常、それらの軌道周期が 2 つの小さな整数の比で関連しているためです。軌道共鳴により、物体の相互の重力の影響が大幅に強化されます。ほとんどの場合、これは不安定な相互作用をもたらし、物体は運動量を交換し、共鳴が存在しなくなるまで軌道を移動します。状況によっては、共鳴システムが安定して自己修正されるため、物体は共鳴状態を維持できます。例として、木星の衛星ガニメデ、エウロパ、イオの 1:2:4 共鳴や、冥王星と海王星の 2:3 共鳴があります。土星の内側の衛星との不安定な共鳴により、土星のリングに隙間が生じます。 1:1 共鳴（同様の軌道半径を持つ天体間）の特殊なケースでは、太陽系の大きな天体が、その周囲のほぼすべてのものを放出することで、その軌道の周囲を一掃します。この効果は、現在の惑星の定義に使用されています。

核磁気共鳴(NMR) は、外部磁場を印加した状態で原子核の特定の量子力学的 磁気特性を観察する物理的な共鳴現象に付けられた名前です。多くの科学技術では、NMR 現象を利用して、 NMR 分光法によって分子物理学、結晶、非結晶性材料を研究しています。NMR は、磁気共鳴画像(MRI) などの高度な医療用画像技術でも日常的に使用されています。

奇数の核子を含むすべての原子核は、固有の磁気モーメントと角運動量を持っています。NMR の重要な特徴は、特定の物質の共鳴周波数が、印加された磁場の強度に正比例することです。画像化技術では、この特徴が利用されています。サンプルが不均一な磁場内に置かれると、サンプルの原子核の共鳴周波数は磁場内の位置によって異なります。したがって、共鳴周波数によって粒子の位置を非常に正確に特定できます。

電子常磁性共鳴は、電子スピン共鳴(ESR)とも呼ばれ、NMR に似た分光技術ですが、代わりに不対電子を使用します。この技術を適用できる材料は、不対スピンを持ち、常磁性である必要があるため、はるかに限られています。

メスバウアー効果とは、固体状に結合した原子による 共鳴および反跳のないガンマ線光子の放出と吸収です。

粒子物理学における共鳴は、量子力学および量子場の理論のレベルで古典物理学と似た状況で現れます。共鳴は不安定な粒子と考えることもできます。Γが粒子の崩壊率でΩが粒子の質量Mである場合、この記事の「普遍的な共鳴曲線」セクションの式が適用されます。その場合、式は粒子の伝播関数から得られ、その質量は複素数M  +  iΓに置き換えられます。式は、光学定理によって粒子の崩壊率にさらに関連付けられます。

狭く構造的に柔軟な橋の上を兵士たちが規則的な足取りで行進すると、橋は危険なほど大きな振幅で 揺れる可能性がある。1831年4月12日、イギリスのサルフォード近郊のブロートン吊り橋は、イギリス軍兵士の一団が渡っている最中に崩落した。^[18]それ以来、イギリス軍は兵士たちが橋を渡る際には歩幅を緩めるよう常備命令を出している。これは、通常の行進パターンによる共鳴が橋に影響を及ぼすのを避けるためである。^{[19] [20]}

モーターやエンジンの振動は、その支持構造の固有振動数がエンジンの振動の固有振動数に近い場合、支持構造に共振振動を引き起こす可能性があります。一般的な例としては、エンジンをアイドリング状態にしたままにしておくとバスの車体がガタガタと鳴る音が挙げられます。

風によって誘発される吊り橋の構造共振は、橋の壊滅的な崩壊につながる可能性がある。ヨーロッパと米国の初期の吊り橋のいくつかは、中程度の風によって引き起こされた構造共振によって破壊された。 1940年11月7日のタコマナローズ橋の崩壊は、物理学では共振の典型的な例として特徴づけられている。^[21]ロバート・H・スキャンランらは、崩壊はむしろ空力弾性フラッター、つまり橋とそこを通過する風との間の複雑な相互作用によって引き起こされたと主張している。これは自己振動、または非線形振動理論で言及される一種の「自立振動」の例である。^[22]

Q値または品質係数は、発振器または共振器の減衰度合いを表す無次元パラメータであり、中心周波数に対する共振器の帯域幅を特徴付けます。 ^{[23] [24]} Q 値が高いほど、蓄積されたエネルギーに対するエネルギー損失率が低いことを示し、つまりシステムの減衰が小さいことを示します。このパラメータは、次の式で定義されます。 [ ^25]$${\displaystyle Q=2\pi {\text{ }}{\frac {\text{ maximum energy stored}}{\text{total energy lost per cycle at resonance}}}}$$

Q値が高いほど、共振周波数での振幅が大きくなり、帯域幅、つまり共振付近の周波数範囲が狭くなります。電気共振では、ラジオ受信機のQ値が高い回路は同調が難しくなりますが、選択性が高く、他の局からの信号をフィルタリングする能力が高くなります。Q値が高い発振器はより安定しています。^[25]

通常Q値が低い例としてはドアクローザー（Q=0.5）が挙げられます。Q値が高いシステムとしては 音叉（Q=1000）、原子時計、レーザー（Q≈10 ¹¹）などがあります。^[26]

共振の正確な応答、特に共振周波数から離れた周波数に対する応答は、物理システムの詳細に依存し、通常は上記の単純な調和振動子で示されているように、共振周波数に関して正確に対称ではありません。

共振周波数を持つ軽度減衰線形振動子の場合、駆動周波数で駆動されたときの振動の強度は、通常、共振周波数を中心に対称となる次の式で近似されます。^[27]${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle I(\omega )\equiv |\chi |^{2}\propto {\frac {1}{(\omega -\omega _{0})^{2}+\left({\frac {\Gamma }{2}}\right)^{2}}}.}$$

磁化率は振動子の振幅と周波数空間における駆動力を結び付ける：^[28]${\displaystyle \chi (\omega )}$$${\displaystyle x(\omega )=\chi (\omega )F(\omega )}$$

強度は、振動の振幅の二乗として定義されます。これはローレンツ関数、またはコーシー分布であり、この応答は共振システムを含む多くの物理的状況で見られます。Γは、振動子の減衰に依存するパラメータであり、共振の線幅として知られています。減衰が大きい振動子は、線幅が広くなる傾向があり、共振周波数周辺のより広い範囲の駆動周波数に応答します。線幅は、共振の鋭さの尺度である Q係数に反比例します。

無線工学や電子工学では、この近似対称応答は普遍共振曲線として知られており、これは1932年にフレデリック・E・ターマンによって導入された概念で、さまざまな中心周波数とQ値を持つ無線回路のおおよその解析を簡素化するものでした。^{[29] [30]}

• Aspelmeyer, M ; Kippenberg, Tobias J.; Marquardt, Florian (2014 年 12 月 30 日). 「キャビティオプトメカニクス」 . Reviews of Modern Physics . 86 (4): 1391. arXiv : 1303.0733 . Bibcode :2014RvMP...86.1391A. doi :10.1103/RevModPhys.86.1391. hdl :11858/00-001M-0000-002D-6464-3. S2CID  119252645.
• Billah, K. Yusuf; Scanlan, Robert H (1991). 「共鳴、タコマナローズ橋の崩壊、および学部物理学教科書」(PDF) . American Journal of Physics . 59 (2): 118–124. Bibcode :1991AmJPh..59..118B. doi :10.1119/1.16590. 2000-09-19 にオリジナルからアーカイブ(PDF) . 2021年1月1日閲覧。
• ガタク、アジョイ(2005)。光学 (第 3 版)。ニューデリー：タタ・マグロウヒル。ISBN 978-0-07-058583-6。
• ハリデイ、デイビッド、レスニック、ロバート、ウォーカー、ジェール(2005)。物理学の基礎。第 2 巻 (第 7 版)。John Wiley & Sons Ltd. ISBN 978-0-471-71716-4。
• Hardt, David (2004). 「極と零点の理解」(PDF) . 2.14 フィードバック制御システムの分析と設計.マサチューセッツ工科大学. 2022-10-09 にオリジナルからアーカイブ(PDF) . 2020 年4 月 18 日閲覧。
• Harlow, James H. 編 (2004)。電力変圧器工学。ロンドン: CRC プレス。ISBN 978-0-8493-1704-0。
• 緒方勝彦（2005）。システムダイナミクス(第 4 版)。ハーロウ: ピアソン。ISBN 978-1-292-02608-4。
• オルソン、ハリー F. (1967)。音楽、物理学、工学。第 2 巻。ニューヨーク: Dover Publications。ISBN 978-0-486-21769-7。
• Serway, Raymond A.; Faughn, Jerry S. (1992). College Physics (第 3 版). Saunders College Publishing. ISBN 0-03-076377-0。
• シーバート、ウィリアム・マッケイ（1986）。回路、信号、システム。ロンドン、ニューヨーク：MITプレスのマグロウヒルブックカンパニー。ISBN 978-0-262-19229-3。
• ジーグマン、AE (1986)。レーザー。大学の科学書。ISBN 978-0-935702-11-8。
• Snyder , Kristine L .; Farley, Claire T. (2011). 「ランニングにおけるエネルギー的に最適なストライド頻度: 上り坂と下り坂の影響」。 実験生物学ジャーナル。214 (12): 2089–2095。Bibcode :2011JExpB.214.2089S。doi : 10.1242/jeb.053157。PMID 21613526。
• ターマン、フレデリック・エモンズ(1932)。『無線工学』（第 1 版）。ニューヨーク: McGraw-Hill Book Company。OCLC 1036819790  。
• Tooley, Michael H. (2006).電子回路: 基礎と応用. オックスフォード: Taylor & Francis. ISBN 978-0-7506-6923-8。

• ファインマン物理学講義 第 1 巻 第 23 章: 共鳴
• 共鳴 アーカイブ 2017-01-03 at the Wayback Machine - オンライン教科書の章
• グリーン、ブライアン、「弦の共鳴」。エレガントな宇宙、NOVA（PBS）
• 共鳴概念に関する超物理学セクション
• 共鳴と共鳴（用語の使用）
• チェンバロにおける木と空気の共鳴
• 音とともにガラスが割れる 2008-12-02にWayback Machineでアーカイブ。ガラスが割れる高速映像も収録